使用 TikZ 生成曼德布洛特图像？

Question

在我正在撰写的论文中，我使用曼德布洛特生成器来测试我编写的应用程序。为了解释报告中讨论的某个问题，需要包含实际生成的图像。

由于到目前为止报告中的每个图形都是使用 TikZ 生成的，我想知道是否也可以使用 TikZ 生成曼德布洛特图像。但这可能吗？

Answer 1

库中有一个曼德布洛特集阴影shadings：

\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{shadings}
\begin{document}
\tikz\shade[shading=Mandelbrot set] (0,0) rectangle (4,4);
\end{document}

使用 Acrobat Reader 显示，因为 TeXworks PDF 预览器不显示高分辨率。

Mandelbrot 集由 PDF 渲染器计算和生成。该算法使用 PostScript 命令编写，PDF 支持 Postscript 运算符的子集，这就是为什么它应该比使用更高级的 pgf 或 TikZ 运算符计算要快得多。

Answer 2

这是一个使用 luatex 的相当粗糙的解决方案。请注意，计算没有经过任何优化，没有使用对称性或曼德布洛特集的任何其他属性。警告：即使在相当快的计算机上，代码也需要一段时间才能处理。

\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepackage{luacode}

\def\escapetime#1#2{\directlua{tex.print(escape_time(#1,#2))}}
\def\mandcolor#1#2{\directlua{mand_color(#1,#2)}}

\begin{document}
\begin{luacode}
local NUMITER=100

point_iter = function (a,b) 
   local n = 1
   local x = a
   local y = b
   return function ()
      if n > NUMITER then return nil end
      n = n+1
      x,y = x*x - y*y + a, 2*x*y + b
      return n, x*x + y*y
   end
end

escape_time = function (a,b)
   local esc_time
   for n, d in point_iter(a,b) do
      esc_time = n
      if d > 4 then break end
   end
   return esc_time
end

mand_color = function (a,b)
   local etime = escape_time(a,b)
   if etime == NUMITER+1 then tex.print("black") else tex.print("red!"..etime) end
end
\end{luacode}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
   \foreach \x in {-2,-1.99,...,.5}{
      \foreach \y in {-1.3,-1.29,...,1.3}{
      \draw[\mandcolor{\x}{\y},fill] (\x,\y) +(-.005,-.005) rectangle +(.005,.005);}}
\end{tikzpicture}
\end{document}

结果图像如下：

下一步将是直接从 lua 使用 mplib 来渲染图片。

Answer 3

对于那些对另一种方法（即使用 PSTricks）感兴趣的人：

\documentclass[border=12pt]{standalone}
\usepackage{pst-fractal}

\begin{document}
\psfractal[type=Mandel,baseColor=red,maxRadius=30,dIter=30,cx=-1.3,xWidth=4cm,yWidth=4cm](-3,-2)(2,2)
\end{document}

xelatex使用或序列编译上面的代码片段latex-dvips-ps2pdf。

Answer 4

我忍不住要推荐一个 MetaPost 版本。毕竟，MetaPost 嵌入在 LuaTeX 中，而且由于该软件包，luamplib我们可以直接访问它，所以如果不利用这一事实，那将是一种遗憾 :-)) 不过，所有荣誉都应归功于 Stephan Kottwitz（以及之前的 Herbert），因为以下代码几乎完全是他的 Lua 代码对 MetaPost 的改编。如果没有它，我可能就不可能画出这个，因为我对分形知之甚少。

注意指令对 MetaPost 新实现的浮点数系统的调用\mplibnumbersystem{double}。我认为这是必要的，因为计算量很大。

注意：编译以下代码可能需要几分钟！（对于我 5 年前的笔记本电脑来说需要 10 分钟。）

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{luamplib}
  \mplibnumbersystem{double}
  \mplibtextextlabel{enable}
\begin{document}
\begin{center}
  \leavevmode
  \begin{mplibcode} 
    u := 4cm;
    vardef mandelbrot(expr xa, xb, ya, yb, steps, max_iter, maxs) =
      save dx, dy, cx, cy, xtemp, ytemp, squaresum, iter; clearxy;
      dx := (xb-xa)/steps; 
      dy := (yb-ya)/steps; 
      cx := xa;
      forever:
        exitunless cx <= xb;
        cy := ya;
        forever:
          exitunless cy <= yb;
          squaresum := 0;
          x:= 0; y:= 0; iter := 0;
          forever:
            exitunless (squaresum <= maxs) and (iter < max_iter);
            xtemp := x**2 - y**2 + cx;
            ytemp := 2*x*y + cy;
            x := xtemp;
            y := ytemp;
            iter := iter + 1;
            squaresum := x**2 + y**2;
          endfor;
          if iter >= max_iter: draw u*(cx, cy); fi;
          cy := cy + dy;
        endfor;
        cx := cx + dx;
      endfor; 
    enddef;
    beginfig(0);
      % Coordinates and marks
      xmin = -2; xmax = 0.75; ymin = -1.25; ymax = 1.25; len := 6bp;
      draw u*(xmin, ymin) -- u*(xmax, ymin) -- u*(xmax, ymax) -- u*(xmin, ymax) -- cycle; 
      for i = -1.5 step .5 until .5:
        label.bot("$" & decimal i & "$", u*(i, ymin));
        draw u*(i, ymin) -- (i*u, ymin*u+len);
        draw u*(i, ymax) -- (i*u, ymax*u-len);
      endfor;
      for j = -1 step 1 until 1:
        label.lft("$"&decimal j&"$", u*(xmin, j));
        draw u*(xmin, j) -- (xmin*u+len, j*u);
        draw u*(xmax, j) -- (xmax*u-len, j*u);
      endfor;
      % Mandelbrot fractal
      pickup pencircle scaled 1bp;
      mandelbrot(-2, 1, -2, 2, 500, 1000, 4);
    endfig;
  \end{mplibcode}
\end{center}
\end{document}