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常见格式问题

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常见格式问题

我已经开始自学 LaTeX，但正如你所看到的，常规格式有很多错误。我已经尽力了，但真的很希望得到一些帮助，以下是文本：

\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[german]{babel}
\usepackage{datetime}
\usepackage{amsmath}
\title{Lineare Algebra}
\author{Serie 1, Stefan G.}

\begin{document}

1.1 Gegeben sei A = 

$$\begin{pmatrix}
  5 & 3  \\
  0 & -4 \\
  \end{pmatrix}$$

Man soll A darstellen als Produkt zweier orthogonaler und einer diagonalen Matrix $\rightarrow$ Singul\"arwertzerlegung der Matrix A:

$$A = U \cdot \Sigma \cdot V^T = \begin{pmatrix} 5 & 3  \\  0 & -4 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{1}{\sqrt{5}}  \\  -\frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\sqrt{10} & 0 \\  0 & \sqrt{10} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}  \\  \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{pmatrix} $$

Weiter soll man die Operator 2-Norm, die Frobeniusnorm, sowie den Spektralradius von A und
$A^{-1}$ bestimmen. 
Die Operator 2-Norm berechnet sich mit $\sqrt{\lambda_{max}A^H*A}$ wobei $\lambda_{max}$ der maximale Eigenwert der Matrix ist und "H" in der Potenz für hermitesch bzw. im reellen Fall transponierte Matrix steht.
\"Uber die Berechnung des charakteristischen Polynomes von $A^H*A$ = 

$$\begin{pmatrix}
  34 & -12  \\
  -6 & 8 \\
  \end{pmatrix}$$

erh\"alt man für die 2-Norm $\sqrt{40}$. Die Frobeniusnorm berechnet sich aus aus der Wurzel der Summe aller quadrierten Einträge der Matrix und betr\"agt hier $\sqrt{50}$.
Für die Spektralradien berechnet man die Absolutbeträge der grössten Eigenwerte. 
Berechnung für A: Das charakteristische Polynom ist $\Chi(A) = (5-\lambda_1)(-4-\lambda_2)$ und damit
der grösste Betrag eines Eigenwertes und somit auch der Spektralradius = 5.

Die Inverse von A kann man mit dem Gauss-Algorithmus berechnen und erh\"alt $A^-1$ = 

$$\begin{pmatrix}
  5 & 3  \\
  0 & -4 \\
  \end{pmatrix}$$
Damit ist der Spektralradius von $A^-1 = \frac{1}{4}$.

Wo ist denn Proposition 0.50 im Skript? Nicht gesehen.

1.2. Gegeben seien  A = $\begin{pmatrix}
  0.005 & 1  \\
  1 & 1 \\
  \end{pmatrix}$
und der Vektor b = $\begin{pmatrix} 0.5 \\1  \end{pmatrix} $

Berechnen soll man f\"ur Ax = b den L\"osungsvektor x i) mit dem Gaussalgorithmus ii) in F(10,3,-10,10) ohne Pivotisierung und  iii) in F(10,3,-10,10) mit Pivotisierung.

i) Mit dem Gaussalgorithmus erh\"alt man für den L\"osungsvektor Folgendes:

$$\begin {pmatrix} 0.005&1&0.5\\1&1&1 \end {pmatrix}\to \begin {pmatrix} 0.005&1&0.5\\0&-199&-99 \end {pmatrix}\to \begin {pmatrix} 1&200&100\\0&1&\frac{99}{199} \end {pmatrix} \to\begin {pmatrix} 1&0&100-200\cdot \frac {99}{199}\\0&1&\frac{99}{199} \end {pmatrix}=\begin {pmatrix} 1&0&\frac {100}{199}\\0&1&\frac{99}{199} \end {pmatrix}$$

ii) Ohne ausf\"uhrlich den Rechenweg nochmals aufzuschreiben, welcher gleich ist wie bei i) ausser dass man nach pr\"ziser Berechnung auf die festgelegte Pr\"zision rundet erhalte ich f\"ur $x_1 = 0.497 $ und f\"ur $x_2 = 0.6 $

iii) Mit Pivotisierung erhalte ich $x_1 = 0.497$ and $x_2 = 0.503$.
Wohl weil 0.005 nicht mehr in der Diagonalen ist (und Runden wohl i.A. nicht assoziativ ist).


1.3 Zu beweisen:

a) $ \|A\|_2 \leq \|A\|_F \leq \sqrt{\operatorname{rank}(A)}\|A\|_2 $

b) $ \frac{1}{\sqrt{n}}\|A\|_\infty \leq \|A\|_2 \leq \sqrt{m}\|A\|_\infty  $

c) $ \frac{1}{\sqrt{m}}\|A\|_1 \leq \|A\|_2 \leq \sqrt{n}\|A\|_1  $


Zu a):Beide Normen sind invariant wenn  $\mathbf A$ mit einer unit\"aren Matrix multipliziert wird. Man kann also die Singul\"arwertzerlegung berechnen, anschliessend die unit\"aren Matrizen streichen und die Diagonalmatrizen beibehalten. Für eine gegebene Spektralnorm, ist die kleinste Frobenius Norm wenn nur ein einzelner Singul\"arwert diesen Wert und alle anderen Null sind, und die gr\"osste Norm wird erreicht wenn  alle Singul\"arwerte diesen Wert haben; also

$$\|\mathbf A\|_2 \leq \|\mathbf A \|_{\mathrm F} \leq \sqrt d\,\|\mathbf A\|_2\;,$$

also, $A=1$ and $B=\sqrt d$.

F\"ur b) und c) kann man von den entsprechenden Vektornormen Gebrauch machen, insbesondere gilt . Zusammen mit der Definition der Normen ergeben sich dann die \"Aquivalenzen. Insbesondere gilt zum Beispiel dass $ \|x\|_\infty \leq \|x\|_2 \leq \sqrt{n}\|x\|_\infty  $. Zusammen mit $\|A\|_2 = max \|Ax\|_2$ und $\|A\|_\infty = \max \sum |a_{ij}|$


1.4 Nicht gel\"ost 


1.5
Was soll man denn hier genau machen? Die analytische, i.e. geschlossene Form ist ja bereits gegeben mit der Rekursionsformel:

$$x^{n+1} = x^{n} - \frac{f(x^n)}{f'(x^{n})}$$

wobei man den angegebenen Startwert f\"ur x^0 einsetzen kann und die Ableitung der Funktion nat\"urlich
einfach x^4 - 2x^2 + 1 ist.

Einzige Nullstelle in $\mathbb R$ ist x = 0 wegen 
$$\frac{1}{5} x^5 - \frac{2}{3} x^3 + x= x( \frac{1}{5} x^4 - \frac{2}{3} x^2 +1) $$.
Ein paar Werte ausgerechnet: es sieht aus als w\"urde die Funktion oszillieren mit $x_0,-x_0,x_0..$ wegen des speziellen Startwertes.


F\"ur den zweiten Teil siehe bitte Matlab-Skript.




\end{document}

答案1

以下（仅）是我发现的导致您的文档无法完成的问题：

  • \usepackage{amsmath}在我添加了\usepackage{amssymb}允许诸如此类的事情之后\mathbb。我不是这方面的专家，所以可能会有其他更好的修复。
  • \Chi不是一个命令，因为许多希腊大写字母与拉丁大写字母相同。我用 解决了这个问题\newcommand{\Chi}{X}；@azetina 非常正确地推荐了一个更好的替代方案：（\DeclareMathOperator{\Chi}{X}我唯一的借口是我没有阅读上下文。）
  • 缺失\begin{document}(已由 lockstep 编辑)
  • 您有几个内联数学表达式，其中您忘记了开始和结束的 $ 符号：

wobei man den angegebenen Startwert f\"ur $x^0$ 
einsetzen kann und die Ableitung der Funktion nat\"urlich
einfach $x^4 - 2x^2 + 1$ ist.

在我看来，还有很多其他问题，但修复这里给出的问题将有助于您开始并询问有关您将在输出中看到的问题的其他问题。

欢迎来到奇妙但有时又神秘的 TeX 世界。

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