我正在尝试让 TikZ 绘制二维晶格的布里渊区，但到目前为止，我尝试过的所有方法都没有成功。布里渊区基本上是晶格中距离该点最近的点周围的空间区域，因此类似于Voronoi 图您可以在以下图像中看到它们的样子，其中绘制了第一、第二和第三布里渊区：
（来源：eelvex.net）
如果我要手工绘制这个，我会通过从晶格中心点向距离中心点 1 的每个点（将晶格点分开一个单位距离）画一条线来构建第一个布里渊区，这样它就是中心点的北、东、南和西。然后我会取每条线的垂直平分线（在物理学术语中，这些是布拉格平面）。第一个布里渊区将是垂直平分线所包围的区域（即上图中阴影部分的灰色区域）。更高的区域以相同的方式构建；给出了略有不同的解释在这个网站上。它在 Asymptote 中也有代码，但似乎只是硬编码的。
有没有办法在 TikZ 中做到这一点，有没有办法既可以对任何给定的晶格完成，也可以对任意数量的布里渊区完成？我尝试了几种方法，但都没有成功，包括尝试使用 Lua（我对此非常不熟练），但我真正能做到的唯一一件事就是绘制晶格点的方法，我在这里将其包含在方格中，但将其修改为六边形晶格并不太难。
\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
%%% For a square lattice
\begin{tikzpicture}
\foreach \x in {-2, ..., 2}{
\foreach \y in {-2, ..., 2}{
\fill [black] (\x, \y) circle (0.1);
}
}
\end{tikzpicture}
\end{document}
答案1
有没有办法在 TikZ 中做到这一点，有没有办法对任何给定的晶格和任意数量的布里渊区都做到这一点？
简短回答：是的！
较长的答案：不！对于高值来说，这项任务的计算成本可能非常高。您应该将计算与显示分开，因为（我想）您不想每次编译时都从头开始。如果您分开执行此操作，为什么不使用更适合的工具，该工具可以轻松存储和使用任何给定格子的先前计算的内容？！
详细答案“是”部分。以下算法可能有效，并且可以在 LaTeX 中实现（但实际上不应该）。它有点“黑客”，因为这个描述实际上并没有暗示着色的“封闭公式”（也许没有）。
我认为下面的应该可行。并且这个陈述是基于算法的归纳性质的。
- 计算垂直平分线。
- 计算每对角线的交点（如果有的话）。
- 创建一个数据结构它按交叉点进行索引，并为每个交叉点创建一个列表，其中包含经过它的线。
k=0从内部正方形（正方形）创建边列表。设k=1。- 根据边列表和交叉点（这里是向量及其叉积的无穷乐趣) 从船体上的每条边开始顺时针（如果是偶数，则逆时针） ，每次都
k向最左边（如果是偶数，则向最右边）移动，直到返回。现在您有一个区域。对每条边执行此操作。存储新的（船体）边列表，并在下一次迭代中使用它。您可以使用在步骤 3 中创建的索引来确定从交叉点可以去哪里以及哪个是最左边（最右边）。kk - 每次增加
k一，并根据需要重复 5-6 次。
这可以通过多种方式在算法上进行改进，但应该可以帮助您入门。
成功计算数据点后，您可以使用 tikz 命令绘制形状，如下所示：\fill[red] (0,-1) -- (1,0) -- (0,1) -- (-1,0) -- cycle;
另一种可能性是使用线条并逐像素计算 (位图) 图像的颜色。如果您的k图片很大但很小，这种方法会更好。
我已经为您的问题提供了悬赏，希望能找到比上述更好的方法。但没有成功。