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拉格朗日乘数的图示

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拉格朗日乘数的图示

我想用 pgfplots 和/或 tikz 绘制拉格朗日乘数的图示。

提醒一下，拉格朗日乘数用于优化这样的事情：

min_x f(x) 使得 g(x)=0

基本上，我需要能够绘制与 f(x) 相对应的 3D 表面，这很容易。

但我还需要在该曲面上画一条与 f(x) 和 g(x) 交点相交的曲线。但我不知道该怎么做。

答案1

除了用符号方式解决约束之外，您还可以用数字方式解决它们。为此，您可以使用任何轮廓算法并计算级别 Z = 0：

\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz,pgfplots}

\pgfplotsset{compat=1.12}
\begin{document}

\begin{tikzpicture}[
        declare function={f(\x,\y)=20*\x*exp(-\x^2-\y^2);},
    ]
    \begin{axis}[
        width=300pt,
        height=300pt,
        domain=-2:2,
        view={-60}{30},
    ]
        \addplot3 [surf, opacity=.3, samples=50] {f(x,y)};

        % needed just once... it has no output    
        \addplot3 [samples=50,mark=none, contour gnuplot={labels=false,levels={5},handler/.style={only marks}}] {(x+1)^2+(y-1)^2};

        \addplot3[black] table[x index=0, y index=1, z expr={f(x,y)}] {P_contourtmp0.table};

    \end{axis}
\end{tikzpicture}

\end{document}

在此处输入图片描述

由于 0 = g(x,y) = (x+1)^2+(y-1)^2 的解是 (-1, 1)，我选择 g(x,y) = 5 作为约束。

-shell-escape由于使用了，因此需要使用 进行编译gnuplot。请注意，gnuplot每次排版图形时，输出实际上都会重新计算——没有必要。您可以gnuplot在第一次运行后取消注释该指令。handler/.style={only marks}指示contour处理程序仅显示已配置的mark（此处默认为无）。

关键思想是将结果叠加到表面的绘图指令是使用z expr={f(x,y)}。在这种情况下，“ x”和“ y”是从输入文件读取的坐标，f是通用声明。

您可以在这里安全地使用compat=1.11而不是1.12（使用 进行编译时，1.12 只需要一半的时间lualatex）。

答案2

我找到了解决方案。它包括将解 g(x)=0 转换为极坐标并绘制它。

\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz,pgfplots}

\begin{document}

\begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[   width=300pt,
                    height=300pt,
                    axis background/.style={fill=white},
                    xticklabels=\empty,
                    yticklabels=\empty,
                    zticklabels=\empty,
                    xtick scale label code/.code={},
                    ytick scale label code/.code={},
                    ztick scale label code/.code={},
                    clip marker paths=true,
                    domain=-2:2,
                    view={-60}{30}
                ]
        \addplot3 [surf, opacity=.3, samples=50] {20*(x)*exp(-x^2-y^2)};
        \addplot3 [domain=0:2*pi, samples y=0, samples=300] ({
                (cos(deg(4*x))*.5+.75)*cos(deg(x))
            },{
                (cos(deg(4*x))*.5+.75)*sin(deg(x))
            },{
                20*(((cos(deg(4*x))*.5+.75)*cos(deg(x))))*exp(-((cos(deg(4*x))*.5+.75)*cos(deg(x)))^2-((cos(deg(4*x))*.5+.75)*sin(deg(x)))^2)
            });
    \end{axis}
\end{tikzpicture}

\end{document}

在此处输入图片描述

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