生成所有互质对 (m,n)

Question 1

更新3我们确实尝试画一些TikZ图画......（见下面）。

更新2而不是(1,0) (0,1)更聪明的做法是先从开始(1,0) (1,1)，这将只生成带有(n,m)的对m<n（除了(1,1)）。我们从相同数量的生成步骤中获得更多对。我没有更新图像，只更新了按字典顺序排序的列表。由于我太忙于这个网站上的 LaTeX 宏，我没有考虑过关于如何确保在给定的情况下已经找到n所有带有的对的数学问题m<n。

更新1仅对从中复制的排序代码如何对 LaTeX 中的坐标列表进行字典排序？那里有与空间相关的编辑。复制到这里。

本答案专注于尽可能快地生成所有 n 较小的互质对 (n, m)，比如说几十个。增加\count@以下值可获得更多。

生成对之后，代码会将它们打印在页面上：你们 TikZ 人会比我更了解如何进行一些漂亮的绘图。

然后对是按字典顺序排序，并打印到文件中。您按 n 和 m 的顺序列出它们。我也在这里插入结果。

\documentclass{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[margin=1cm]{geometry}

% generate all coprime pairs coordinates

\def\gencoprimes #1(#2,#3)#4(#5,#6){%
    \if!#5\expandafter\genend\fi
    (#2,#3) (\the\numexpr#2+#5,\the\numexpr#3+#6) \gencoprimes (#5,#6)}%

\def\genend (#1)#2\gencoprimes (!,!){(#1)}

\makeatletter

\count@ 10 % number of iterations

% this is the choice for the image below
\def\coprimelist {(1,0) (0,1)}

% this however is what we used for later sorting lexicographically:
\def\coprimelist {(1,0) (1,1)}

\loop
    \edef\coprimelist {\expandafter\gencoprimes\coprimelist (!,!)}
\advance\count@ \m@ne
\ifnum\count@ > \z@
\repeat

\makeatother

% next is NOT needed for generating the coprime pairs:
% it only does *sorting*
% sorting code picked from https://tex.stackexchange.com/a/283273/4686

\makeatletter

% Here we define the comparison macro for pairs (a,b)
% We assume decimal numbers acceptable to \ifdim tests

\long\def\xintdothis #1#2\xintorthat #3{\fi #1}%
\let\xintorthat \@firstofone

\long\def\@thirdoffour  #1#2#3#4{#3}%
\long\def\@fourthoffour #1#2#3#4{#4}%

\def\IfFirstPairIsGreaterTF #1#2{\@IfFirstPairIsGreaterTF #1,#2,}%

\def\@IfFirstPairIsGreaterTF #1,#2,#3,#4,{%
    \ifdim #1\p@=#3\p@
       \xintdothis{%
         \ifdim #2\p@>#4\p@\expandafter\@firstoftwo
         \else\expandafter\@secondoftwo\fi}\fi
    \ifdim #1\p@>#3\p@\expandafter\@thirdoffour
                      \else\expandafter\@fourthoffour\fi
    \xintorthat{}%
}%

% not needed for numerical inputs
% \catcode`! 3
% \catcode`? 3
\def\QSpairs {\romannumeral0\romannumeral0\qspairs }%
% first we check if empty list
\def\qspairs   #1{\expandafter\qspairs@a\romannumeral-`0#1(!)(?)}%
\def\qspairs@a #1(#2{\ifx!#2\expandafter\qspairs@abort\else
                        \expandafter\qspairs@b\fi (#2}%
\edef\qspairs@abort #1(?){\space\space}%
%
% we check if empty of single and if not pick up the first as Pivot:
\def\qspairs@b #1(#2)#3(#4){\ifx?#4\xintdothis\qspairs@empty\fi
                   \ifx!#4\xintdothis\qspairs@single\fi
                   \xintorthat \qspairs@separate {}{}{#2}(#4)}%
\def\qspairs@empty  #1(?){ }%
\edef\qspairs@single #1#2#3#4(?){\space\space(#3)}%
\def\qspairs@separate #1#2#3#4(#5)%
{%
    \ifx!#5\expandafter\qspairs@separate@done\fi
    \IfFirstPairIsGreaterTF {#5}{#3}%
          \qspairs@separate@appendtogreater
          \qspairs@separate@appendtosmaller {#5}{#1}{#2}{#3}%
}%
%
\def\qspairs@separate@appendtogreater #1#2{\qspairs@separate {#2 (#1)}}%
\def\qspairs@separate@appendtosmaller #1#2#3{\qspairs@separate {#2}{#3 (#1)}}%
%
\def\qspairs@separate@done\IfFirstPairIsGreaterTF #1#2%
    \qspairs@separate@appendtogreater
    \qspairs@separate@appendtosmaller #3#4#5#6(?)%
{%
    \expandafter\qspairs@f\expandafter
    {\romannumeral0\qspairs@b #4(!)(?)}{\qspairs@b #5(!)(?)}{ (#2)}%
}%
%
\def\qspairs@f #1#2#3{#2#3#1}%

%
% \catcode`! 12
% \catcode`? 12

\makeatother

\begin{document}\thispagestyle{empty}

% print the coordinates list on the page
\meaning\coprimelist

\newwrite\coprimes
\immediate\openout\coprimes=\jobname.coprimes

% write out to a file the coordinates pairs, in lexicographic order
\immediate\write\coprimes{\QSpairs{\coprimelist}}


\end{document}

（1,0）（1,1）（2,1）（3,1）（3,2）（4,1）（4,3）（5,1）（5,2）（5,3）（5,4）（6,1）（6,5）（7,1）（7,2）（7,3）（7,4）（7,5）（7,6）（8,1）（8,3）（8,5）（8,7）（9,1）（9,2）（9,4）（9,5）（9,7）（9,8）（10,1）（10,3）（10,7）（10,9）（11,1）（11,2）（11,3）（11,4）（11,5）（11,6）（11,7）（11,8）（11,9）（11,10）（12,5）（12,7）（13,2）（13,3）（13,4）（13,5）（13,6）（13,7）（13,8）（13,9）（13,10）（13,11）（14,3）（14,5）（14,9）（14,11）（15,2）（15,4）（15,7）（15,8）（15,11）（15,13）（16,3）（16,5）（16,7）（16,9）（16,11）（16,13）（17,2）（17,3）（17,4）（17,5）（17,6）（17,7）（17,8）（17,9）（17,10）（17,11）（17,12）（17,13）（17,14）（17,15）（18,5）（18,7）（18,11）（18,13）（19,2）（19,3）（19,4）（19,5）（19,6）（19,7）（19,8）（19,9）（19,10）（19,11）（19,12）（19,13）（19,14）（19,15）（19,16）（19,17）（20,3）（20,7）（20,9）（20,11）（20,13）（20,17）（21,4）（21,5）（21,8）（21,13）（21,16）（21,17）（22,3）（22,5）（22,7）（22,9）（22,13）（22,15）（22,17）（22,19）（23,3）（23,4）（23,5）（23,6）（23,7）（23,8）（23,9）（23,10）（23,13）（23,14）（23,15）（23,16）（23,17）（23,18）（23,19）（23,20）（24,5）（24,7）（24,11）（24,13）（24,17）（24,19）（25,3）（25,4）（25,6）（25,7）（25,8）（25,9）（25,11）（25,14）（25,16）（25,17）（25,18）（25,19）（25,21）（25,22）（26,3）（26,5）（26,7）（26,9）（26,11）（26,15）（26,17）（26,19）（26,21）（26,23）（27,4）（27,5）（27,7）（27,8）（27,10）（27,11）（27,16）（27,17）（27,19）（27,20）（27,22）（27,23）（28,5）（28,11）（28,13）（28,15）（28,17）（28,23）（29,4）（29,5）（29,6）（29,7）（29,8）（29,9）（29,11）（29,12）（29,13）（29,16）（29,17）（29,18）（29,20）（29,21）（29,22）（29,23）（29,24）（29,25）（30,7）（30,11）（30,13）（30,17）（30,19）（30,23）（31,4）（31,5）（31,6）（31,7）（31,8）（31,9）（31,11）（31,12）（31,13）（31,14）（31,17）（31,18）（31,19）（31,20）（31,22）（31,23）（31,24）（31,25）（31,26）（31,27）（32,5）（32,7）（32,9）（32,13）（32,15）（32,17）（32,19）（32,23）（32,25）（32,27）（33,5）（33,7）（33,10）（33,13）（33,14）（33,19）（33,20）（33,23）（33,26）（33,28）（34,5）（34,7）（34,9）（34,13）（34,15）（34,19）（34,21）（34,25）（34,27）（34,29）（35,6）（35,8）（35,11）（35,13）（35,16）（35,19）（35,22）（35,24）（35,27）（35,29）（36,11）（36,13）（36,23）（36,25）（37,5）（37,7）（37,8）（37,10）（37,11）（37,13）（37,14）（37,15）（37,16）（37,17）（37,20）（37,21）（37,22）（37,23）（37,24）（37,26）（37,27）（37,29）（37,30）（37,32）（38,5）（38,7）（38,9）（38,11）（38,15）（38,17）（38,21）（38,23）（38,27）（38,29）（38,31）（38,33）（39,7）（39,11）（39,14）（39,16）（39,17）（39,22）（39,23）（39,25）（39,28）（39,32）（40,7）（40,9）（40,11）（40,17）（40,23）（40,29）（40,31）（40,33）（41,9）（41,11）（41,12）（41,13）（41,15）（41,16）（41,17）（41,18）（41,19）（41,22）（41,23）（41,24）（41,25）（41,26）（41,28）（41,29）（41,30）（41,32）（42,11）（42,13）（42,19）（42,23）（42,29）（42,31）（43,8）（43,9）（43,10）（43,12）（43,13）（43,15）（43,16）（43,18）（43,19）（43,20）（43,23）（43,24）（43,25）（43,27）（43,28）（43,30）（43,31）（43,33）（43,34）（43,35）（44,7）（44,13）（44,17）（44,19）（44,25）（44,27）（44,31）（44,37）（45,7）（45,8）（45,13）（45,14）（45,16）（45,17）（45,19）（45,26）（45,28）（45,29）（45,31）（45,32）（45,37）（45,38）（46,7）（46,11）（46,13）（46,17）（46,19) (46,21) (46,25) (46,27) (46,29) (46,33) (46,35) (46,39) (47,7) (47,9) (47,10) (47,11) (47,13) (47,14) (47,17) (47,18) (47,20) (47,21) (47,26) (47,27) (47,29) (47,30) (47,33) (47,34) (47,36) (47,37) (47,38) (47,40) (48,11) (48,13) (48,17) (48,31) (48,35) (48,37) (49,9) (49,11) （49,13）（49,15）（49,18）（49,19）（49,20）（49,22）（49,27）（49,29）（49,30）（49,31）（49,34）（49,36）（49,38）（49,40）（50,9）（50,11）（50,13）（50,19）（50,21）（50,23）（50,27）（50,29）（50,31）（50,37）（50,39）（50,41）（51,8）（51,11）（51,14）（51,16）（51,19）（51,20）（51,23）（51,28）（51,31）（51,32）（51,35）（51,37）（51,40）（51,43）（52,9）（52,11）（52,19）（52,23）（52,29）（52,33）（52,41）（52,43）（53,8）（53,10）（53,11）（53,12）（53,14）（53,16）（53,19）（53,20）（53,22）（53,23）（53,24）（53,29）（53,30）（53,31）（53,33）（53,34）（53,37）（53,39）（53,41）（53,42）（53,43）（53,45）（54,17）（54,19）（54,35）（54,37）（55,12）（55,13）（55,16）（55,17）（55,21）（55,23）（55,24）（55,31）（55,32）（55,34）（55,38）（55,39）（55,42）（55,43）（56,13）（56,15）（56,17）（56,23）（56,33）（56,39）（56,41）（56,43）（57,10）（57,13）（57,16）（57,17）（57,20）（57,22）（57,25）（57,32）（57,35）（57,37）（57,40）（57,41）（57,44）（57,47）（58,11）（58,17）（58,21）（58,37）（58,41）（58,47）（59,11）（59,14）（59,16）（59,18）（59,21）（59,23）（59,24）（59,25）（59,26）（59,27）（59,32）（59,33）（59,34）（59,35）（59,36）（59,38）（59,41）（59,43）（59,45）（59,48）（60,13）（60,23）（60,37）（60,47）（61,13）（61,14）（61,16）（61,17）（61,18）（61,19）（61,22）（61,24）（61,25）（61,28）（61,33）（61,36）（61,37）（61,39）（61,42）（61,43）（61,44）（61,45）（61,47）（61,48）（62,11）（62,13）（62,17）（62,19）（62,23）（62,27）（62,35）（62,39）（62,43）（62,45）（62,49）（62,51）（63,11）（63,17）（63,23）（63,26）（63,37）（63,40）（63,46）（63,52）（64,15）（64,17）（64,19）（64,23）（64,25）（64,27）（64,37）（64,39）（64,41）（64,45）（64,47）（64,49）（65,12）（65,14）（65,17）（65,18）（65,19）（65,23）（65,24）（65,27）（65,38）（65,41）（65,42）（65,46）（65,47）（65,48）（65,51）（65,53）（66,25）（66,29）（66,37）（66,41）（67,12）（67,14）（67,18）（67,24）（67,26）（67,28）（67,29）（67,30）（67,37）（67,38）（67,39）（67,41）（67,43）（67,49）（67,53）（67,55）（68,19）（68,25）（68,43）（68,49）（69,19）（69,20）（69,29）（69,31）（69,38）（69,40）（69,49）（69,50）（70,13）（70,27）（70,29）（70,41）（70,43）（70,57）（71,15）（71,16）（71,19）（71,20）（71,21）（71,22）（71,26）（71,27）（71,29）（71,30）（71,31）（71,32）（71,39）（71,40）（71,41）（71,42）（71,44）（71,45）（71,49）（71,50）（71,51）（71,52）（71,55）（71,56）（72,19）（72,53）（73,13）（73,16）（73,17）（73,27）（73,28）（73,30）（73,31）（73,32）（73,33）（73,40）（73,41）（73,42）（73,43）（73,45）（73,46）（73,56）（73,57）（73,60）（74,23）（74,29）（74,31）（74,43）（74,45）（74,51）（75,17）（75,22）（75,29）（75,31）（75,44）（75,46）（75,53）（75,58）（76,21）（76,23）（76,27）（76,29）（76,31）（76,33）（76,43）（76,45）（76,47）（76,49）（76,53）（76,55）（77,18）（77,30）（77,34）（77,43）（77,47）（77,59）（78,17）（78,23）（78,29）（78,35）（78,43）（78,49）（78,55）（78,61）（79,18）（79,22）（79,23）（79,24）（79,28）（79,29）（79,30）（79,31）（79,48）（79,49) (79,50) (79,51) (79,55) (79,56) (79,57) (79,61) (80,17) (80,31) (80,33) (80,47) (80,49) (80,63) (81,31) (81,34) (81,47) (81,50) (82,23) (82,25) (82,31) (82,37) (82,45) (82,51) (82,57) (82,59) (83,18) (83,19) (83,22) (83,23) (83,30) (83,34) (83,35) (83,36) (83,47) (83,48) (83,49) （83,53）（83,60）（83,61）（83,64）（83,65）（84,19）（84,25）（84,31）（84,37）（84,47）（84,53）（84,59）（84,65）（85,18）（85,23）（85,26）（85,33）（85,36）（85,37）（85,48）（85,49）（85,52）（85,59）（85,62）（85,67）（86,25）（86,31）（86,55）（86,61）（87,19）（87,23）（87,32）（87,34）（87,53）（87,55）（87,64）（87,68）（88,19）（88,37）（88,51）（88,69）（89,24）（89,25）（89,26）（89,27）（89,32）（89,33）（89,34）（89,55）（89,56）（89,57）（89,62）（89,63）（89,64）（89,65）（91,25）（91,27）（91,40）（91,51）（91,64）（91,66）（92,21）（92,33）（92,35）（92,39）（92,53）（92,57）（92,59）（92,71）（93,25）（93,26）（93,34）（93,41）（93,52）（93,59）（93,67）（93,68）（94,39）（94,41）（94,53）（94,55）（95,29）（95,36）（95,39）（95,56）（95,59）（95,66）（97,21）（97,26）（97,35）（97,36）（97,37）（97,41）（97,56）（97,60）（97,61）（97,62）（97,71）（97,76）（98,27）（98,29）（98,41）（98,43）（98,55）（98,57）（98,69）（98,71）（99,29）（99,41）（99,58）（99,70）（100,27）（100,37）（100,39）（100,41）（100,59）（100,61）（100,63）（100,73）（101,30）（101,37）（101,39）（101,44）（101,57）（101,62）（101,64）（101,71）（103,37）（103,39）（103,64）（103,66）（104,29）（104,43）（104,61）（104,75）（105,29）（105,31）（105,41）（105,44）（105,61）（105,64）（105,74）（105,76）（106,31）（106,41）（106,65）（106,75）（107,41）（107,47）（107,60）（107,66）（108,29）（108,41）（108,67）（108,79）（109,30）（109,40）（109,45）（109,46）（109,63）（109,64）（109,69）（109,79）（111,31）（111,41）（111,43）（111,46）（111,65）（111,68）（111,70）（111,80）（112,31）（112,41）（112,47）（112,65）（112,71）（112,81）（115,34）（115,44）（115,71）（115,81）（116,45）（116,49）（116,67）（116,71）（117,43）（117,49）（117,68）（117,74）（119,44）（119,46）（119,50）（119,69）（119,73）（119,75）（121,46）（121,50）（121,71）（121,75）（123,34）（123,47）（123,76）（123,89）（128,47）（128,49）（128,79）（128,81）（129,49）（129,50）（129,79）（129,80）（131,50）（131,55）（131,76）（131,81）（144,55）（144,89）59) (93,67) (93,68) (94,39) (94,41) (94,53) (94,55) (95,29) (95,36) (95,39) (95,56) (95,59) (95,66) (97,21) (97,26) (97,35) (97,36) (97,37) (97,41) (97,56) (97,60) (97,61) (97,62) (97,71) (97,76) (98,27) (98,29) (98,41) (98,43) (98,55) (98,57) (98,69) (98,71) (99,29) (99,41) (99,58) （99,70）（100,27）（100,37）（100,39）（100,41）（100,59）（100,61）（100,63）（100,73）（101,30）（101,37）（101,39）（101,44）（101,57）（101,62）（101,64）（101,71）（103,37）（103,39）（103,64）（103,66）（104,29）（104,43）（104,61）（104,75）（105,29）（105,31）（105,41）（105,44）（105,61）（105,64）（105,74）（105,76）（106,31）（106,41）（106,65）（106,75）（107,41）（107,47）（107,60）（107,66）（108,29）（108,41）（108,67）（108,79）（109,30）（109,40）（109,45）（109,46）（109,63）（109,64）（109,69）（109,79）（111,31）（111,41）（111,43）（111,46）（111,65）（111,68）（111,70）（111,80）（112,31）（112,41）（112,47）（112,65）（112,71）（112,81）（115,34）（115,44）（115,71）（115,81）（116,45）（116,49）（116,67）（116,71）（117,43）（117,49）（117,68）（117,74）（119,44）（119,46）（119,50）（119,69）（119,73）（119,75）（121,46）（121,50）（121,71）（121,75）（123,34）（123,47）（123,76）（123,89）（128,47）（128,49）（128,79）（128,81）（129,49）（129,50）（129,79）（129,80）（131,50）（131,55）（131,76）（131,81）（144,55）（144,89）59) (93,67) (93,68) (94,39) (94,41) (94,53) (94,55) (95,29) (95,36) (95,39) (95,56) (95,59) (95,66) (97,21) (97,26) (97,35) (97,36) (97,37) (97,41) (97,56) (97,60) (97,61) (97,62) (97,71) (97,76) (98,27) (98,29) (98,41) (98,43) (98,55) (98,57) (98,69) (98,71) (99,29) (99,41) (99,58) （99,70）（100,27）（100,37）（100,39）（100,41）（100,59）（100,61）（100,63）（100,73）（101,30）（101,37）（101,39）（101,44）（101,57）（101,62）（101,64）（101,71）（103,37）（103,39）（103,64）（103,66）（104,29）（104,43）（104,61）（104,75）（105,29）（105,31）（105,41）（105,44）（105,61）（105,64）（105,74）（105,76）（106,31）（106,41）（106,65）（106,75）（107,41）（107,47）（107,60）（107,66）（108,29）（108,41）（108,67）（108,79）（109,30）（109,40）（109,45）（109,46）（109,63）（109,64）（109,69）（109,79）（111,31）（111,41）（111,43）（111,46）（111,65）（111,68）（111,70）（111,80）（112,31）（112,41）（112,47）（112,65）（112,71）（112,81）（115,34）（115,44）（115,71）（115,81）（116,45）（116,49）（116,67）（116,71）（117,43）（117,49）（117,68）（117,74）（119,44）（119,46）（119,50）（119,69）（119,73）（119,75）（121,46）（121,50）（121,71）（121,75）（123,34）（123,47）（123,76）（123,89）（128,47）（128,49）（128,79）（128,81）（129,49）（129,50）（129,79）（129,80）（131,50）（131,55）（131,76）（131,81）（144,55）（144,89）

我不知道用来操作此类坐标列表的最佳方法是什么TikZ。这里使用plot coordinates：

\documentclass[tikz, ignorerest=false]{standalone}
% generate all coprime pairs coordinates

\def\gencoprimes #1(#2,#3)#4(#5,#6){%
    \if!#5\expandafter\genend\fi
    (#2,#3) (\the\numexpr#2+#5,\the\numexpr#3+#6) \gencoprimes (#5,#6)}%

\def\genend (#1)#2\gencoprimes (!,!){(#1)}

\makeatletter

\count@ 8 % number of iterations

\def\coprimelist {(1,0) (0,1)}
%\def\coprimelist {(1,0) (1,1)}

\loop
    \edef\coprimelist {\expandafter\gencoprimes\coprimelist (!,!)}
\advance\count@ \m@ne
\ifnum\count@ > \z@
\repeat

\makeatother

\begin{document}

\begin{tikzpicture}[x=2mm,y=2mm]
  \draw [color=blue] plot [only marks, mark=x] coordinates {\coprimelist};
\end{tikzpicture}

\makeatletter
\count@ 3 % number of extra iterations

\loop
    \edef\coprimelist {\expandafter\gencoprimes\coprimelist (!,!)}
\advance\count@ \m@ne
\ifnum\count@ > \z@
\repeat
\makeatother

\begin{tikzpicture}[x=.5mm,y=.5mm]
  \draw [color=blue] plot [only marks, mark=x] coordinates {\coprimelist};
\end{tikzpicture}

\end{document}

这有助于理解，这种方法似乎并不是找到边长为的矩形中的所有互质对的最有效方法N。

Answer

更新3我们确实尝试画一些TikZ图画......（见下面）。

更新2而不是(1,0) (0,1)更聪明的做法是先从开始(1,0) (1,1)，这将只生成带有(n,m)的对m<n（除了(1,1)）。我们从相同数量的生成步骤中获得更多对。我没有更新图像，只更新了按字典顺序排序的列表。由于我太忙于这个网站上的 LaTeX 宏，我没有考虑过关于如何确保在给定的情况下已经找到n所有带有的对的数学问题m<n。

更新1仅对从中复制的排序代码如何对 LaTeX 中的坐标列表进行字典排序？那里有与空间相关的编辑。复制到这里。

本答案专注于尽可能快地生成所有 n 较小的互质对 (n, m)，比如说几十个。增加\count@以下值可获得更多。

生成对之后，代码会将它们打印在页面上：你们 TikZ 人会比我更了解如何进行一些漂亮的绘图。

然后对是按字典顺序排序，并打印到文件中。您按 n 和 m 的顺序列出它们。我也在这里插入结果。

\documentclass{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[margin=1cm]{geometry}

% generate all coprime pairs coordinates

\def\gencoprimes #1(#2,#3)#4(#5,#6){%
    \if!#5\expandafter\genend\fi
    (#2,#3) (\the\numexpr#2+#5,\the\numexpr#3+#6) \gencoprimes (#5,#6)}%

\def\genend (#1)#2\gencoprimes (!,!){(#1)}

\makeatletter

\count@ 10 % number of iterations

% this is the choice for the image below
\def\coprimelist {(1,0) (0,1)}

% this however is what we used for later sorting lexicographically:
\def\coprimelist {(1,0) (1,1)}

\loop
    \edef\coprimelist {\expandafter\gencoprimes\coprimelist (!,!)}
\advance\count@ \m@ne
\ifnum\count@ > \z@
\repeat

\makeatother

% next is NOT needed for generating the coprime pairs:
% it only does *sorting*
% sorting code picked from https://tex.stackexchange.com/a/283273/4686

\makeatletter

% Here we define the comparison macro for pairs (a,b)
% We assume decimal numbers acceptable to \ifdim tests

\long\def\xintdothis #1#2\xintorthat #3{\fi #1}%
\let\xintorthat \@firstofone

\long\def\@thirdoffour  #1#2#3#4{#3}%
\long\def\@fourthoffour #1#2#3#4{#4}%

\def\IfFirstPairIsGreaterTF #1#2{\@IfFirstPairIsGreaterTF #1,#2,}%

\def\@IfFirstPairIsGreaterTF #1,#2,#3,#4,{%
    \ifdim #1\p@=#3\p@
       \xintdothis{%
         \ifdim #2\p@>#4\p@\expandafter\@firstoftwo
         \else\expandafter\@secondoftwo\fi}\fi
    \ifdim #1\p@>#3\p@\expandafter\@thirdoffour
                      \else\expandafter\@fourthoffour\fi
    \xintorthat{}%
}%

% not needed for numerical inputs
% \catcode`! 3
% \catcode`? 3
\def\QSpairs {\romannumeral0\romannumeral0\qspairs }%
% first we check if empty list
\def\qspairs   #1{\expandafter\qspairs@a\romannumeral-`0#1(!)(?)}%
\def\qspairs@a #1(#2{\ifx!#2\expandafter\qspairs@abort\else
                        \expandafter\qspairs@b\fi (#2}%
\edef\qspairs@abort #1(?){\space\space}%
%
% we check if empty of single and if not pick up the first as Pivot:
\def\qspairs@b #1(#2)#3(#4){\ifx?#4\xintdothis\qspairs@empty\fi
                   \ifx!#4\xintdothis\qspairs@single\fi
                   \xintorthat \qspairs@separate {}{}{#2}(#4)}%
\def\qspairs@empty  #1(?){ }%
\edef\qspairs@single #1#2#3#4(?){\space\space(#3)}%
\def\qspairs@separate #1#2#3#4(#5)%
{%
    \ifx!#5\expandafter\qspairs@separate@done\fi
    \IfFirstPairIsGreaterTF {#5}{#3}%
          \qspairs@separate@appendtogreater
          \qspairs@separate@appendtosmaller {#5}{#1}{#2}{#3}%
}%
%
\def\qspairs@separate@appendtogreater #1#2{\qspairs@separate {#2 (#1)}}%
\def\qspairs@separate@appendtosmaller #1#2#3{\qspairs@separate {#2}{#3 (#1)}}%
%
\def\qspairs@separate@done\IfFirstPairIsGreaterTF #1#2%
    \qspairs@separate@appendtogreater
    \qspairs@separate@appendtosmaller #3#4#5#6(?)%
{%
    \expandafter\qspairs@f\expandafter
    {\romannumeral0\qspairs@b #4(!)(?)}{\qspairs@b #5(!)(?)}{ (#2)}%
}%
%
\def\qspairs@f #1#2#3{#2#3#1}%

%
% \catcode`! 12
% \catcode`? 12

\makeatother

\begin{document}\thispagestyle{empty}

% print the coordinates list on the page
\meaning\coprimelist

\newwrite\coprimes
\immediate\openout\coprimes=\jobname.coprimes

% write out to a file the coordinates pairs, in lexicographic order
\immediate\write\coprimes{\QSpairs{\coprimelist}}


\end{document}

（1,0）（1,1）（2,1）（3,1）（3,2）（4,1）（4,3）（5,1）（5,2）（5,3）（5,4）（6,1）（6,5）（7,1）（7,2）（7,3）（7,4）（7,5）（7,6）（8,1）（8,3）（8,5）（8,7）（9,1）（9,2）（9,4）（9,5）（9,7）（9,8）（10,1）（10,3）（10,7）（10,9）（11,1）（11,2）（11,3）（11,4）（11,5）（11,6）（11,7）（11,8）（11,9）（11,10）（12,5）（12,7）（13,2）（13,3）（13,4）（13,5）（13,6）（13,7）（13,8）（13,9）（13,10）（13,11）（14,3）（14,5）（14,9）（14,11）（15,2）（15,4）（15,7）（15,8）（15,11）（15,13）（16,3）（16,5）（16,7）（16,9）（16,11）（16,13）（17,2）（17,3）（17,4）（17,5）（17,6）（17,7）（17,8）（17,9）（17,10）（17,11）（17,12）（17,13）（17,14）（17,15）（18,5）（18,7）（18,11）（18,13）（19,2）（19,3）（19,4）（19,5）（19,6）（19,7）（19,8）（19,9）（19,10）（19,11）（19,12）（19,13）（19,14）（19,15）（19,16）（19,17）（20,3）（20,7）（20,9）（20,11）（20,13）（20,17）（21,4）（21,5）（21,8）（21,13）（21,16）（21,17）（22,3）（22,5）（22,7）（22,9）（22,13）（22,15）（22,17）（22,19）（23,3）（23,4）（23,5）（23,6）（23,7）（23,8）（23,9）（23,10）（23,13）（23,14）（23,15）（23,16）（23,17）（23,18）（23,19）（23,20）（24,5）（24,7）（24,11）（24,13）（24,17）（24,19）（25,3）（25,4）（25,6）（25,7）（25,8）（25,9）（25,11）（25,14）（25,16）（25,17）（25,18）（25,19）（25,21）（25,22）（26,3）（26,5）（26,7）（26,9）（26,11）（26,15）（26,17）（26,19）（26,21）（26,23）（27,4）（27,5）（27,7）（27,8）（27,10）（27,11）（27,16）（27,17）（27,19）（27,20）（27,22）（27,23）（28,5）（28,11）（28,13）（28,15）（28,17）（28,23）（29,4）（29,5）（29,6）（29,7）（29,8）（29,9）（29,11）（29,12）（29,13）（29,16）（29,17）（29,18）（29,20）（29,21）（29,22）（29,23）（29,24）（29,25）（30,7）（30,11）（30,13）（30,17）（30,19）（30,23）（31,4）（31,5）（31,6）（31,7）（31,8）（31,9）（31,11）（31,12）（31,13）（31,14）（31,17）（31,18）（31,19）（31,20）（31,22）（31,23）（31,24）（31,25）（31,26）（31,27）（32,5）（32,7）（32,9）（32,13）（32,15）（32,17）（32,19）（32,23）（32,25）（32,27）（33,5）（33,7）（33,10）（33,13）（33,14）（33,19）（33,20）（33,23）（33,26）（33,28）（34,5）（34,7）（34,9）（34,13）（34,15）（34,19）（34,21）（34,25）（34,27）（34,29）（35,6）（35,8）（35,11）（35,13）（35,16）（35,19）（35,22）（35,24）（35,27）（35,29）（36,11）（36,13）（36,23）（36,25）（37,5）（37,7）（37,8）（37,10）（37,11）（37,13）（37,14）（37,15）（37,16）（37,17）（37,20）（37,21）（37,22）（37,23）（37,24）（37,26）（37,27）（37,29）（37,30）（37,32）（38,5）（38,7）（38,9）（38,11）（38,15）（38,17）（38,21）（38,23）（38,27）（38,29）（38,31）（38,33）（39,7）（39,11）（39,14）（39,16）（39,17）（39,22）（39,23）（39,25）（39,28）（39,32）（40,7）（40,9）（40,11）（40,17）（40,23）（40,29）（40,31）（40,33）（41,9）（41,11）（41,12）（41,13）（41,15）（41,16）（41,17）（41,18）（41,19）（41,22）（41,23）（41,24）（41,25）（41,26）（41,28）（41,29）（41,30）（41,32）（42,11）（42,13）（42,19）（42,23）（42,29）（42,31）（43,8）（43,9）（43,10）（43,12）（43,13）（43,15）（43,16）（43,18）（43,19）（43,20）（43,23）（43,24）（43,25）（43,27）（43,28）（43,30）（43,31）（43,33）（43,34）（43,35）（44,7）（44,13）（44,17）（44,19）（44,25）（44,27）（44,31）（44,37）（45,7）（45,8）（45,13）（45,14）（45,16）（45,17）（45,19）（45,26）（45,28）（45,29）（45,31）（45,32）（45,37）（45,38）（46,7）（46,11）（46,13）（46,17）（46,19) (46,21) (46,25) (46,27) (46,29) (46,33) (46,35) (46,39) (47,7) (47,9) (47,10) (47,11) (47,13) (47,14) (47,17) (47,18) (47,20) (47,21) (47,26) (47,27) (47,29) (47,30) (47,33) (47,34) (47,36) (47,37) (47,38) (47,40) (48,11) (48,13) (48,17) (48,31) (48,35) (48,37) (49,9) (49,11) （49,13）（49,15）（49,18）（49,19）（49,20）（49,22）（49,27）（49,29）（49,30）（49,31）（49,34）（49,36）（49,38）（49,40）（50,9）（50,11）（50,13）（50,19）（50,21）（50,23）（50,27）（50,29）（50,31）（50,37）（50,39）（50,41）（51,8）（51,11）（51,14）（51,16）（51,19）（51,20）（51,23）（51,28）（51,31）（51,32）（51,35）（51,37）（51,40）（51,43）（52,9）（52,11）（52,19）（52,23）（52,29）（52,33）（52,41）（52,43）（53,8）（53,10）（53,11）（53,12）（53,14）（53,16）（53,19）（53,20）（53,22）（53,23）（53,24）（53,29）（53,30）（53,31）（53,33）（53,34）（53,37）（53,39）（53,41）（53,42）（53,43）（53,45）（54,17）（54,19）（54,35）（54,37）（55,12）（55,13）（55,16）（55,17）（55,21）（55,23）（55,24）（55,31）（55,32）（55,34）（55,38）（55,39）（55,42）（55,43）（56,13）（56,15）（56,17）（56,23）（56,33）（56,39）（56,41）（56,43）（57,10）（57,13）（57,16）（57,17）（57,20）（57,22）（57,25）（57,32）（57,35）（57,37）（57,40）（57,41）（57,44）（57,47）（58,11）（58,17）（58,21）（58,37）（58,41）（58,47）（59,11）（59,14）（59,16）（59,18）（59,21）（59,23）（59,24）（59,25）（59,26）（59,27）（59,32）（59,33）（59,34）（59,35）（59,36）（59,38）（59,41）（59,43）（59,45）（59,48）（60,13）（60,23）（60,37）（60,47）（61,13）（61,14）（61,16）（61,17）（61,18）（61,19）（61,22）（61,24）（61,25）（61,28）（61,33）（61,36）（61,37）（61,39）（61,42）（61,43）（61,44）（61,45）（61,47）（61,48）（62,11）（62,13）（62,17）（62,19）（62,23）（62,27）（62,35）（62,39）（62,43）（62,45）（62,49）（62,51）（63,11）（63,17）（63,23）（63,26）（63,37）（63,40）（63,46）（63,52）（64,15）（64,17）（64,19）（64,23）（64,25）（64,27）（64,37）（64,39）（64,41）（64,45）（64,47）（64,49）（65,12）（65,14）（65,17）（65,18）（65,19）（65,23）（65,24）（65,27）（65,38）（65,41）（65,42）（65,46）（65,47）（65,48）（65,51）（65,53）（66,25）（66,29）（66,37）（66,41）（67,12）（67,14）（67,18）（67,24）（67,26）（67,28）（67,29）（67,30）（67,37）（67,38）（67,39）（67,41）（67,43）（67,49）（67,53）（67,55）（68,19）（68,25）（68,43）（68,49）（69,19）（69,20）（69,29）（69,31）（69,38）（69,40）（69,49）（69,50）（70,13）（70,27）（70,29）（70,41）（70,43）（70,57）（71,15）（71,16）（71,19）（71,20）（71,21）（71,22）（71,26）（71,27）（71,29）（71,30）（71,31）（71,32）（71,39）（71,40）（71,41）（71,42）（71,44）（71,45）（71,49）（71,50）（71,51）（71,52）（71,55）（71,56）（72,19）（72,53）（73,13）（73,16）（73,17）（73,27）（73,28）（73,30）（73,31）（73,32）（73,33）（73,40）（73,41）（73,42）（73,43）（73,45）（73,46）（73,56）（73,57）（73,60）（74,23）（74,29）（74,31）（74,43）（74,45）（74,51）（75,17）（75,22）（75,29）（75,31）（75,44）（75,46）（75,53）（75,58）（76,21）（76,23）（76,27）（76,29）（76,31）（76,33）（76,43）（76,45）（76,47）（76,49）（76,53）（76,55）（77,18）（77,30）（77,34）（77,43）（77,47）（77,59）（78,17）（78,23）（78,29）（78,35）（78,43）（78,49）（78,55）（78,61）（79,18）（79,22）（79,23）（79,24）（79,28）（79,29）（79,30）（79,31）（79,48）（79,49) (79,50) (79,51) (79,55) (79,56) (79,57) (79,61) (80,17) (80,31) (80,33) (80,47) (80,49) (80,63) (81,31) (81,34) (81,47) (81,50) (82,23) (82,25) (82,31) (82,37) (82,45) (82,51) (82,57) (82,59) (83,18) (83,19) (83,22) (83,23) (83,30) (83,34) (83,35) (83,36) (83,47) (83,48) (83,49) （83,53）（83,60）（83,61）（83,64）（83,65）（84,19）（84,25）（84,31）（84,37）（84,47）（84,53）（84,59）（84,65）（85,18）（85,23）（85,26）（85,33）（85,36）（85,37）（85,48）（85,49）（85,52）（85,59）（85,62）（85,67）（86,25）（86,31）（86,55）（86,61）（87,19）（87,23）（87,32）（87,34）（87,53）（87,55）（87,64）（87,68）（88,19）（88,37）（88,51）（88,69）（89,24）（89,25）（89,26）（89,27）（89,32）（89,33）（89,34）（89,55）（89,56）（89,57）（89,62）（89,63）（89,64）（89,65）（91,25）（91,27）（91,40）（91,51）（91,64）（91,66）（92,21）（92,33）（92,35）（92,39）（92,53）（92,57）（92,59）（92,71）（93,25）（93,26）（93,34）（93,41）（93,52）（93,59）（93,67）（93,68）（94,39）（94,41）（94,53）（94,55）（95,29）（95,36）（95,39）（95,56）（95,59）（95,66）（97,21）（97,26）（97,35）（97,36）（97,37）（97,41）（97,56）（97,60）（97,61）（97,62）（97,71）（97,76）（98,27）（98,29）（98,41）（98,43）（98,55）（98,57）（98,69）（98,71）（99,29）（99,41）（99,58）（99,70）（100,27）（100,37）（100,39）（100,41）（100,59）（100,61）（100,63）（100,73）（101,30）（101,37）（101,39）（101,44）（101,57）（101,62）（101,64）（101,71）（103,37）（103,39）（103,64）（103,66）（104,29）（104,43）（104,61）（104,75）（105,29）（105,31）（105,41）（105,44）（105,61）（105,64）（105,74）（105,76）（106,31）（106,41）（106,65）（106,75）（107,41）（107,47）（107,60）（107,66）（108,29）（108,41）（108,67）（108,79）（109,30）（109,40）（109,45）（109,46）（109,63）（109,64）（109,69）（109,79）（111,31）（111,41）（111,43）（111,46）（111,65）（111,68）（111,70）（111,80）（112,31）（112,41）（112,47）（112,65）（112,71）（112,81）（115,34）（115,44）（115,71）（115,81）（116,45）（116,49）（116,67）（116,71）（117,43）（117,49）（117,68）（117,74）（119,44）（119,46）（119,50）（119,69）（119,73）（119,75）（121,46）（121,50）（121,71）（121,75）（123,34）（123,47）（123,76）（123,89）（128,47）（128,49）（128,79）（128,81）（129,49）（129,50）（129,79）（129,80）（131,50）（131,55）（131,76）（131,81）（144,55）（144,89）59) (93,67) (93,68) (94,39) (94,41) (94,53) (94,55) (95,29) (95,36) (95,39) (95,56) (95,59) (95,66) (97,21) (97,26) (97,35) (97,36) (97,37) (97,41) (97,56) (97,60) (97,61) (97,62) (97,71) (97,76) (98,27) (98,29) (98,41) (98,43) (98,55) (98,57) (98,69) (98,71) (99,29) (99,41) (99,58) （99,70）（100,27）（100,37）（100,39）（100,41）（100,59）（100,61）（100,63）（100,73）（101,30）（101,37）（101,39）（101,44）（101,57）（101,62）（101,64）（101,71）（103,37）（103,39）（103,64）（103,66）（104,29）（104,43）（104,61）（104,75）（105,29）（105,31）（105,41）（105,44）（105,61）（105,64）（105,74）（105,76）（106,31）（106,41）（106,65）（106,75）（107,41）（107,47）（107,60）（107,66）（108,29）（108,41）（108,67）（108,79）（109,30）（109,40）（109,45）（109,46）（109,63）（109,64）（109,69）（109,79）（111,31）（111,41）（111,43）（111,46）（111,65）（111,68）（111,70）（111,80）（112,31）（112,41）（112,47）（112,65）（112,71）（112,81）（115,34）（115,44）（115,71）（115,81）（116,45）（116,49）（116,67）（116,71）（117,43）（117,49）（117,68）（117,74）（119,44）（119,46）（119,50）（119,69）（119,73）（119,75）（121,46）（121,50）（121,71）（121,75）（123,34）（123,47）（123,76）（123,89）（128,47）（128,49）（128,79）（128,81）（129,49）（129,50）（129,79）（129,80）（131,50）（131,55）（131,76）（131,81）（144,55）（144,89）59) (93,67) (93,68) (94,39) (94,41) (94,53) (94,55) (95,29) (95,36) (95,39) (95,56) (95,59) (95,66) (97,21) (97,26) (97,35) (97,36) (97,37) (97,41) (97,56) (97,60) (97,61) (97,62) (97,71) (97,76) (98,27) (98,29) (98,41) (98,43) (98,55) (98,57) (98,69) (98,71) (99,29) (99,41) (99,58) （99,70）（100,27）（100,37）（100,39）（100,41）（100,59）（100,61）（100,63）（100,73）（101,30）（101,37）（101,39）（101,44）（101,57）（101,62）（101,64）（101,71）（103,37）（103,39）（103,64）（103,66）（104,29）（104,43）（104,61）（104,75）（105,29）（105,31）（105,41）（105,44）（105,61）（105,64）（105,74）（105,76）（106,31）（106,41）（106,65）（106,75）（107,41）（107,47）（107,60）（107,66）（108,29）（108,41）（108,67）（108,79）（109,30）（109,40）（109,45）（109,46）（109,63）（109,64）（109,69）（109,79）（111,31）（111,41）（111,43）（111,46）（111,65）（111,68）（111,70）（111,80）（112,31）（112,41）（112,47）（112,65）（112,71）（112,81）（115,34）（115,44）（115,71）（115,81）（116,45）（116,49）（116,67）（116,71）（117,43）（117,49）（117,68）（117,74）（119,44）（119,46）（119,50）（119,69）（119,73）（119,75）（121,46）（121,50）（121,71）（121,75）（123,34）（123,47）（123,76）（123,89）（128,47）（128,49）（128,79）（128,81）（129,49）（129,50）（129,79）（129,80）（131,50）（131,55）（131,76）（131,81）（144,55）（144,89）

我不知道用来操作此类坐标列表的最佳方法是什么TikZ。这里使用plot coordinates：

\documentclass[tikz, ignorerest=false]{standalone}
% generate all coprime pairs coordinates

\def\gencoprimes #1(#2,#3)#4(#5,#6){%
    \if!#5\expandafter\genend\fi
    (#2,#3) (\the\numexpr#2+#5,\the\numexpr#3+#6) \gencoprimes (#5,#6)}%

\def\genend (#1)#2\gencoprimes (!,!){(#1)}

\makeatletter

\count@ 8 % number of iterations

\def\coprimelist {(1,0) (0,1)}
%\def\coprimelist {(1,0) (1,1)}

\loop
    \edef\coprimelist {\expandafter\gencoprimes\coprimelist (!,!)}
\advance\count@ \m@ne
\ifnum\count@ > \z@
\repeat

\makeatother

\begin{document}

\begin{tikzpicture}[x=2mm,y=2mm]
  \draw [color=blue] plot [only marks, mark=x] coordinates {\coprimelist};
\end{tikzpicture}

\makeatletter
\count@ 3 % number of extra iterations

\loop
    \edef\coprimelist {\expandafter\gencoprimes\coprimelist (!,!)}
\advance\count@ \m@ne
\ifnum\count@ > \z@
\repeat
\makeatother

\begin{tikzpicture}[x=.5mm,y=.5mm]
  \draw [color=blue] plot [only marks, mark=x] coordinates {\coprimelist};
\end{tikzpicture}

\end{document}

这有助于理解，这种方法似乎并不是找到边长为的矩形中的所有互质对的最有效方法N。

Question 2

#1它输出区间内的互质数2..#2。将它扩展为输出对并不困难。

\documentclass{article}
\usepackage{luacode}
\begin{luacode}
function g(a,b) return b~=0 and g(b,a%b) or tonumber(a) end
function getCoP(c,d)
  for i=2,d do 
    if g(i,c)<2 then tex.print(tostring(i)..", ") end 
  end
end
\end{luacode}
\def\getCoPrimes#1#2{\directlua{getCoP(#1,#2)}}

\begin{document}    
\getCoPrimes{9699690}{200}
\end{document}

Answer

#1它输出区间内的互质数2..#2。将它扩展为输出对并不困难。

\documentclass{article}
\usepackage{luacode}
\begin{luacode}
function g(a,b) return b~=0 and g(b,a%b) or tonumber(a) end
function getCoP(c,d)
  for i=2,d do 
    if g(i,c)<2 then tex.print(tostring(i)..", ") end 
  end
end
\end{luacode}
\def\getCoPrimes#1#2{\directlua{getCoP(#1,#2)}}

\begin{document}    
\getCoPrimes{9699690}{200}
\end{document}

Question 3

我添加了另一个答案，因为尽管生成不可约分数的方法很有趣，但它并不适合轻松获取给定矩形范围内的所有互质对（据我所知）。~~a/b, c/d -> (a+b)/(c+d)~~ a/b, c/d -> (a+c)/(b+d)

因此，这里是另一种方法，它迭代地构造一个数组，\co.n.m其中的宏可以保存1是否互质，0 如果不是，但如果算法仅在(n,m)互质时定义宏（以减少内存压力），会发生什么情况。

然后构造一个分支宏\IfCoPrimeTF{A}{B}{True}{False}。最后生成一个 TikZ 图片。

我已经比较过了Paul Gaborit 的回答速度增益并不大，只是少了一点1/3。这似乎表明，在该答案中，绘图部分大约占三分之二，而 gcd 计算部分大约占三分之一的计算时间：因为决策时间\IfCoPrime{\n}{\m}应该可以忽略不计。但我并不总是很擅长理解各种事物的时间效率TeX......

\documentclass[tikz, border=10pt]{standalone}

% generate iteratively "marker macros" for coprime pairs (n,m)
\makeatletter

\@namedef{co.1.0}{1}
\@namedef{co.0.1}{1}
\@namedef{co.1.1}{1}

\foreach\n in {2,...,180}{%
  \foreach\m in {1,...,\n}{%
     \ifcsname co.\the\numexpr\n-\m.\m\endcsname
         \global\@namedef{co.\n.\m}{1}%
         \global\@namedef{co.\m.\n}{1}%
     \fi
}}

% Define a \IfCoPrimeTF {N}{M}{ARE COPRIMES}{ARE NOT COPRIMES}
\def\IfCoPrimeTF #1#2{\ifcsname co.#1.#2\endcsname
    \expandafter\@firstoftwo\else\expandafter\@secondoftwo\fi } 

\makeatother

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[x=.5cm,y=.5cm]
  \foreach \n in {0,...,20}{
    \foreach \m in {0,...,\n}{
      \IfCoPrimeTF{\n}{\m}
      {% truebranch
      % \fill[blue] (\n,\m) rectangle ++(1,1)
      %             (\m,\n) rectangle ++(1,1);
          \fill [blue] (\n, \m) circle [radius=4pt];
          \fill [blue] (\m, \n) circle [radius=4pt];
      }
      {% false branch
          \fill [red] (\n, \m) circle [radius=2pt];
          \fill [red] (\m, \n) circle [radius=2pt];
      }
    }
  }
\end{tikzpicture}
\end{document}

为了好玩，我还编写了“gcd 数组”的代码。当然，这很愚蠢，因为正如 Paul 的回答所示，TikZ 知道gcd。因此，为了节省一点时间，我们填充了 TeX 的内存...

\documentclass[tikz, border=10pt]{standalone}

% generate a gcd array
\makeatletter

\@namedef{gcd.1.0}{1}
\@namedef{gcd.0.1}{1}
\@namedef{gcd.1.1}{1}

\foreach\m in {2,...,50}{%
     \expandafter\xdef\csname gcd.0.\m\endcsname {\m}%
     \global\expandafter\let\csname gcd.\m.0\expandafter\endcsname
                        \csname gcd.0.\m\endcsname
}%

\foreach\n in {1,...,50}{%
  \foreach\m in {1,...,\n}{%
     \expandafter\xdef\csname gcd.\n.\m\endcsname 
         {\csname gcd.\the\numexpr\n-\m.\m\endcsname}%
     \global\expandafter\let\csname gcd.\m.\n\expandafter\endcsname
                        \csname gcd.\n.\m\endcsname
}}

\def\MyGCD #1#2{\@nameuse{gcd.#1.#2}}

\makeatother

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[x=.5cm,y=.5cm]
  \foreach \n in {0,...,20}{
    \foreach \m in {0,...,20}{
          \draw (\n,\m) +(-.5,-.5) rectangle ++(.5,.5);
          \draw (\n,\m) node{\MyGCD{\n}{\m}};
    }
  }
\end{tikzpicture}
\end{document}

Answer