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如何在 TikZ 中绘制圆的反转？

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如何在 TikZ 中绘制圆的反转？

点 P 和圆心 O 的反转是沿直线 OP 的另一个点 P'，使得乘积 OP。OP' = k，即常数 k。圆的反转，通过点 O（不在圆内）是另一个圆，如下图所示。 圆的反转

是否可以在 TikZ 中将第二个圆绘制为第一个圆的（正确）反转？我知道进行平移、旋转和其他线性变换很容易……但从未见过反转。

答案1

在等待 TikZ 解决方案时，这里有一个简单的方法来绘制你的图表元帖子. 基本几何解释得很好在 Mathworld 上，（尽管那里的图表显示了一个点的反转外部反转圈；在这种情况下，P和的角色P'是相反的，因为P在反转圈内）。

在这里，我用淡粉色添加了反转圆的一部分轮廓，使其工作原理更加明显 - 如果不需要，你当然可以删除粉红色弧。

倒置的圆圈

prologues := 3;
outputtemplate := "%j%c.eps";

vardef invert_point(expr p, k) = 
  if abs(p)>0:
    unitvector p scaled (k/abs(p)) scaled k
  else:
    origin % strictly this should be a point at infinity
  fi
enddef;

vardef invert_path(expr P, k) = 
  for t=0 step 1/16 until length P-1/16:
     invert_point(point t of P, k) --
  endfor
  if cycle P:
     cycle
  else:
     invert_point(point infinity of P, k)
  fi
enddef;

beginfig(1);

path C, C'; 
pair P, P', Q; 

k = 150;
draw subpath (-1.4,1.4) of fullcircle scaled 2k withcolor .8[red,white];

C = fullcircle scaled 72 shifted 100 right;
P = point 1 of C;
C' = invert_path(C, k);
P' = invert_point(P, k);
Q = (origin -- P) intersectionpoint subpath (2,4) of C;

draw origin -- P';
draw origin -- center C' withcolor .5 white;
draw P'     -- center C' withcolor .5 white;
draw Q      -- center C  withcolor .5 white;

draw C; 
draw C' withcolor .78 blue; 

fill fullcircle scaled 3;
fill fullcircle scaled 3 shifted P;
fill fullcircle scaled 3 shifted Q;
fill fullcircle scaled 3 shifted P';
fill fullcircle scaled 3 shifted center C;
fill fullcircle scaled 3 shifted center C';

label(btex $O$  etex, origin + (-6,3));
label(btex $P$  etex, P      + (+3,7));
label(btex $P'$ etex, P'     + (-3,7));
label(btex $Q$  etex, Q      + (-3,7));
label(btex $C$  etex, point 5.5 of C + (-3,-7));

endfig;
end

笔记

  • 为简单invert_point起见，假设反转圆以原点为中心。但调整子程序以接受任意圆而不是半径并不困难k。

  • path同样，为了简单起见，我在这里为 a和 a提供了两个不同的函数，point但您可以轻松编写单个invert函数并使用if path P和if pair P根据传递给它的内容选择正确的操作。

  • 该表达式 unitvector p scaled (k/abs(p)) scaled k可能更自然地写成，但是如果设置为超过 181，unitvector p scaled (k**2/abs(p))您将得到算术溢出错误。这是因为大于，这是纯 MP 允许的最大数字。为了避免这种情况，请按照我所展示的方式对其进行编码，或者使用它来处理它。k182**22**15mpost -numbersytem=double

  • 不要使用它来反转原点；因为你不能轻易地在有限图上表示无穷大。

答案2

我已经按照以下方式在 Tikz 中解决了这个问题。

首先，有两种不同的倒置：

  1. 该点位于反转圈内；
  2. 点在它的外面。

我先从第二种情况开始，以点“O”（称为“k”）为圆心画一个圆，在圆“k”外寻找点“P”的反转点。

首先你需要知道“P”到“k”的切点之一。这个点到直线“OP”的投影就是“P”的反转点。

\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
    \usetikzlibrary{calc}
    \usetikzlibrary{intersections}
    \begin{document}
    \begin{tikzpicture}
        \coordinate (O) at (0,0);
        \coordinate (P) at (5,0);
        \draw[red,thick,name path=circ1](O)circle(2);
        %
        % I look for the midpoint of O and P. This point will be the centre of
        % an arc whose intersection with k will give me the tangent points
        %
        \path(O)--coordinate[midway](M)(P);
        %
        % I draw the arc whose intersection with circle are the 2 tangent points
        %
        \path[name path=circ2] let
            \p1=(O),
            \p2=(M),
            \n1={veclen(\x2-\x1,\y2-\y1)} in
            ($(M)+({\n1*cos(130)},{\n1*sin(130)})$) arc (130:230:\n1);
        \path[name intersections={of=circ1 and circ2}]
            (intersection-1) coordinate (Tg1)
            (intersection-2) coordinate (Tg2);
        \draw[blue]
            (A)--(Tg1)
            (O)--node[midway,left,black]{$\mathtt{r}$}(B)
            (O)--(A);
        %
        % Here we are. This projection is the inversion of point P with regards
        % to circle k
        %
        \draw[orange](Tg1)--($(O)!(Tg1)!(P)$)coordinate(InvP);
        %
        \draw[black,line width=.75,fill=white]
            (P)circle(1.5pt)node[black,below]{$\mathtt{P}$};
        \draw[black,line width=.75,fill=white]
            (O)circle(1.5pt)node[black,below]{$\mathtt{O}$};
        \draw[black,line width=.75,fill=white]
            (Tg1)circle(1.5pt)node[black,below]{$\mathtt{Tg1}$};
        \draw[black,line width=.75,fill=white]
            (InvP)circle(1.5pt)node[black,below]{$\mathtt{P'}$};
        \node at (-1.75,0) {$\symtt{k}$};
    \end{tikzpicture}
\end{document}

在此处输入图片描述

当该点在圆内时，我们要做的就是从 OP 找到垂直线，找到这条线与圆 k 的交点（称为 TgP），从该点画切线并找到它与 OP 的交点。

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