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此代码给出错误“缺失 } 插入”。这个错误是什么？

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此代码给出错误“缺失 } 插入”。这个错误是什么？ 
\begin{align}
\varphi_m(v_i)&= \left\lceil \frac{2i+3m}{4m}\right\rceil, &&\text{for $i=1,2,\dots, n$,}\\
$$\varphi_m(u_i)&= \begin {cases}
\left\lceil \frac{i}{2m}\right\rceil, &&\text{for $i &\equiv 0, \frac {m} {2} \mod 2m \  $,}\\
\left\lceil \frac{i}{m+1}\right\rceil, &&\text{for $i &\not\equiv 0, \frac {m} {2} \mod 2m \  $,}\\
\end{cases}$$
$$\dim(G_{4,6}^{(k)})=\dim(K_4^{(k)}) = \begin{cases}
2 & \text{for $2\le k\equiv 0 \ ({\rm{mod}}\ 2)$,}\\
3 & \text{for $k=0$ or $1\le k\equiv 1\ ({\rm{mod}}\ 2)$.}
\end{cases}$$
\varphi_4(v_iv_{i+1})&= \left\lceil  \frac{i+1}{8}\right\rceil, &&\text{for $i=1,2,\dots, n-1$,}\\
\varphi_4(u_iu_{i+1})&= \left\lceil  \frac{i}{8}\right\rceil, &&\text{for $i=1,2,\dots, n-1$,}\\
\varphi_4(v_iu_i)&= \left\lceil  \frac{i+4}{8}\right\rceil, &&\text{for $i=1,2,\dots, n$,}
\end{align}

答案1

你问，

此代码给出错误“missing } inserting”。这是什么错误？

一般而言，一旦语法错误堆积到一定程度，尤其是当语法错误相互影响时，TeX 的错误消息就会变得毫无意义。不幸的是，您的代码包含大量令人不安的语法错误。当然，千万不要$$在数学环境中使用。您的代码还包含多个多余或缺失的&（对齐字符）和$（内联数学起始符/终止符）字符。

解决这些问题后，我得到了以下结论——这是您想要的吗？

在此处输入图片描述

\documentclass{article}
\usepackage[letterpaper,margin=1in]{geometry} % choose page settings
\usepackage{mathtools}
\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
\begin{document} 

\begin{align}
\varphi_m(v_i)  &= \ceil*{\frac{2i+3m}{4m}}, &&\text{for $i=1,2,\dots, n$,}\\
\varphi_m(u_i)  &= 
   \begin {dcases}
      \ceil*{\frac{i}{2m}},  & \text{for $i\equiv 0,\frac{m}{2} \mod 2m$,}\\
      \ceil*{\frac{i}{m+1}}, & \text{for $i\not\equiv 0,\frac{m}{2} \mod 2m$,}
   \end{dcases} \\
\dim(G_{4,6}^{(k)})  &=\dim(K_4^{(k)}) = 
   \begin{cases}
      2 & \text{for $2\le k\equiv 0 \ ({\rm{mod}}\ 2)$,}\\
      3 & \text{for $k=0$ or $1\le k\equiv 1\ ({\rm{mod}}\ 2)$.}
   \end{cases} \\
\varphi_4(v_iv_{i+1})&= \ceil*{\frac{i+1}{8}}, &&\text{for $i=1,2,\dots, n-1$,}\\
\varphi_4(u_iu_{i+1})&= \ceil*{\frac{i}{8}},   &&\text{for $i=1,2,\dots, n-1$,}\\
\varphi_4(v_iu_i)    &= \ceil*{\frac{i+4}{8}}, &&\text{for $i=1,2,\dots, n$,}
\end{align}

\end{document}

附录：您可能还想将所有看起来可怕的 替换\ ({\rm{mod}}\ 2)为\pmod{2}。为了保持一致性，您还应该写入\pmod{2m}其他方程式之一。为了获得更紧凑且可能更易读的外观，请考虑将所有&&间隔符替换为\qquad。减小“天花板”括号的垂直尺寸也可能改善方程式的外观。

在此处输入图片描述

\documentclass{article}
\usepackage[letterpaper,margin=1in]{geometry} % text block settings
\usepackage{mathtools}
\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
\begin{document} 
\begin{align}
\varphi_m(v_i)&= \ceil[\Big]{\frac{2i+3m}{4m}}, \qquad \text{for $i=1,2,\dots, n$,}\\
\varphi_m(u_i)&= 
   \begin {dcases}
      \ceil[\Big]{\frac{i}{2m}},  & \text{for $i\equiv 0,m/2\pmod{2m}$,}\\
      \ceil[\Big]{\frac{i}{m+1}}, & \text{for $i\not\equiv 0,m/2\pmod{2m}$,}
   \end{dcases} \\
\dim(G_{4,6}^{(k)})=\dim(K_4^{(k)}) &= 
   \begin{cases}
      2, & \text{for $2\le k\equiv 0 \pmod{2}$,}\\
      3, & \text{for $k=0$ or $1\le k\equiv 1 \pmod{2}$.}
   \end{cases} \\
\varphi_4(v_iv_{i+1})&= \ceil[\Big]{\frac{i+1}{8}}, \qquad\text{for $i=1,2,\dots,n-1$,}\\
\varphi_4(u_iu_{i+1})&= \ceil[\Big]{\frac{i}{8}},   \qquad\text{for $i=1,2,\dots,n-1$,}\\
\varphi_4(v_iu_i)    &= \ceil[\Big]{\frac{i+4}{8}}, \qquad\text{for $i=1,2,\dots,n$.}
\end{align}
\end{document}

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