在以 begin{cases} 开头的等式中，多余的 } 或被遗忘的 $

Question

我已经盯着这个问题看了一个小时了，不知道为什么会出现这个错误......有人可以帮忙吗？

$k_\alpha = \begin{cases}
\frac{\log n}{\log \frac{n \log n}{m}} \left(1 + \alpha \frac{\log^2 \frac{n \log n}{m}}{\log \frac{n \log n}{m}} \right), & \text{if $\frac{n}{\text{polylog}(n)} \leq m \ll n \log n$} \\
\frac{m}{n} + \alpha \sqrt{2 \frac{m}{n} \log n} & \text{ if }n \log n \ll m \leq n \dot \text{polylog}(n) \\
\frac{m}{n} + \alpha \sqrt{2 \frac{m}{n} \log n \left( 1 - \frac{1}{\alpha} \frac{\log^2 n}{2 \log n} right)}, & \text{if $m \gg n \log(n)^3$}
\end{cases}$

Answer 1

\text第二行的嵌套和数学运算有错误。

我建议使用dcases*from mathtools，它会在文本模式下自动排版“条件”部分，并对“公式”部分使用显示样式。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,mathtools}

\DeclareMathOperator{\polylog}{polylog}

\begin{document}

\[
k_\alpha =
\begin{dcases*}
\frac{\log n}{\log \frac{n \log n}{m}} 
\left(
  1 + \alpha 
  \frac{\log^2 \frac{n \log n}{m}}
       {\log \frac{n \log n}{m}}
\right),
& if $\dfrac{n}{\polylog(n)} \leq m \ll n \log n$
\\
\frac{m}{n} + \alpha \sqrt{2 \frac{m}{n} \log n}
& if $n \log n \ll m \leq n\polylog(n)$
\\
\frac{m}{n} + \alpha \sqrt{2 \frac{m}{n} \log n 
\left(
  1 - \frac{1}{\alpha} \frac{\log^2 n}{2 \log n}
\right)},
& if $m \gg n \log^3 n$
\end{dcases*}
\]

\end{document}

还要注意 的定义\polylog。我删除了乘法符号，您可能因为 和 之间的间距不对而使用了乘法符号，\text{polylog}而 和 应该是\cdot（而不是\dot）。我还将其改为\log(n)^3以\log^3 n保持一致性。

Answer 2

你很难记住这些$标志，至少部分原因是因为结构如下

\text{if $\frac{n}{\text ...

应该是

\text{ if } \frac{n}{\text ...

这样就不必在里面进入数学模式\text{ }。