Tikz 分形 - Cantor Dust

Question

有人能帮我在 Tikz 中绘制以下分形吗？

这里我们从单位正方形开始，将其分成 16 个相等的正方形，然后移除其中的 12 个，留下 4 个按图示排列。对剩余的正方形重复此过程，依此类推。

我很确定我需要使用类似的东西嵌套分形 tikz 装饰但是我的 TeX 水平不够，无法自己编译代码。

先感谢您。

我迄今为止的代码：

 \newcommand{\dust}[1]{
     \foreach \i in {1,...,#1}{decorate\{}
     (0,0)--(1,1)
     \foreach \i in {1,...,#1}{\}};

      SOMETHING IN HERE (DON'T KNOW)
 }

 \begin{tikzpicture}
     \path (0,0) pic {dust=5};
 \end{tikzpicture}

Answer 1

这是一次很好的 Lindenmayer 系统练习。

\documentclass[border=9,tikz]{standalone}
\usetikzlibrary{lindenmayersystems}
\begin{document}
\pgfdeclarelindenmayersystem{Cantor dust}{
    \symbol{S}{\pgfpathrectangle{\pgfpointorigin}{\pgfpoint{\pgflsystemcurrentstep}{\pgflsystemcurrentstep}}}
    \symbol{U}{\pgftransformyshift{\pgflsystemcurrentstep}}
    \symbol{R}{\pgftransformxshift{\pgflsystemcurrentstep}}
    \rule{S -> [UUSURRS][RSRRUS]}
    \rule{U -> UUUU}
    \rule{R -> RRRR}
}
\tikz;
\tikz\fill[lindenmayer system={Cantor dust,axiom=S,step=320pt,order=1}]lindenmayer system;
\tikz\fill[lindenmayer system={Cantor dust,axiom=S,step= 80pt,order=2}]lindenmayer system;
\tikz\fill[lindenmayer system={Cantor dust,axiom=S,step= 20pt,order=3}]lindenmayer system;
\tikz\fill[lindenmayer system={Cantor dust,axiom=S,step=  5pt,order=4}]lindenmayer system;
\end{document}

Answer 2

我刚刚发现了这个主题，它与另一个较新的主题相关。它可以被视为递归编程的一个应用，其中MetaPost通常很适合。因此，这里有一个 MetaPost 解决方案，可能会对它感兴趣。

def cantor_dust(expr x, y, d, n) = 
    if n > 0:
        cantor_dust(x+.25d, y, .25d, n-1);
        cantor_dust(x+.75d, y+.25d, .25d, n-1);
        cantor_dust(x+.5d, y+.75d, .25d, n-1);
        cantor_dust(x, y+.5d, .25d,  n-1);
    else: fill (x, y) -- (x+d, y) -- (x+d, y+d) -- (x, y+d) -- cycle; fi
enddef;
beginfig(1);
    for i = 0 upto 4:
        draw image(cantor_dust(0, 0, 4cm, i)) shifted (4.25cm*i, 0);
    endfor;
endfig;
end.