微分几何的一个有用例证

Question 1

我认为，问题的原因可以在pgfplots手册中的这句话中找到：

mesh/rows如果和都没有值，mesh/cols或者其中一个为 1，pgfplots则将绘制一条线图。[...]

为了\addplot3 expression，这需要设置samples y=0为禁用网格生成。

（重点是我。）请注意，这samples y=1也会起作用，并且手册在另一处说明了这一点：

如果使用\addplot3 expression，mesh/rows和则mesh/cols根据值samples和计算samples y。默认情况下，\addplot3 expression始终对网格进行采样。如果你想让它采样一行，设置samples y=1（或者，等效地，y domain=0:0）。

（再次强调，我不知道两者之间的技术差异。）

似乎线条规范不适用于网格，网格也是您获得封闭曲线的原因。因此，如果您samples y=0为黑线设置，它会按预期工作。我在下面的示例中通过样式做到了这一点。

我实际上制作了三种不同的样式，一种用于点，一种用于坐标线，一种用于形状，一种用于点。第二条坐标线的 z 坐标也不正确，它应该f(0.8,t)不是f(t,-1.2)。

对于注释，您可以使用相对坐标。假设您有一个已保存的坐标c，您可以执行以下操作

\draw [stealth-] (c) to[bend left] ++(2cm,1cm) node[right] {...};

这会将箭头尖端置于路径的起点，而末端节点则置于right路径的终点。这样可以节省您的绝对坐标，也不必在中重复使用这些坐标\node。

我还修改了一些数学知识，特别是使用\dim而不是dim，以及例如$...$ for $...$而不是 $... \ for\ ...$ 。

\documentclass{article} 
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{diagrams}
\usepackage[document]{ragged2e}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{tensor}
\usepackage{pgfplots}
\usetikzlibrary{calc}
\tikzset{
  myarrow/.style={stealth-,shorten >=3pt,shorten <=3pt}
}
\pgfplotsset{
  lineplot/.style={
    black,
    dashed,
    very thin,
    samples y=0
  },
  coordinate line/.style={
    black,
    samples y=0
  },
  point/.style={
    only marks,
    mark=*,
    black,
    mark size=0.5pt
  }
}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]


\begin{document}
    \begin{theorem}
        Let $\mathbf{M}$ be a smooth manifold and $p \in \mathbf{M}$; then $\dim(\mathbf{T_pM}) = dim(\mathbf{M})$
    \end{theorem}
    \begin{proof}
        To prove this, we construct a vector space basis for $\mathbf{T_pM}$ from a chart. Choose a chart $(U,x), with \  p \in U$. Consider $\dim(\mathbf{M})$ curves $\gamma_{(a)}$, with   $a = 1, \dots, \dim(\mathbf{M}), \gamma_{(a)} \colon \mathbb{R} \rightarrow U$, so that $(x^b \circ \gamma_{(a)}) (\lambda) = \delta^b_a \cdot \lambda$ for some $\lambda \in \mathbb{R}$ -- like this:

        \begin{tikzpicture}
            \begin{axis}[
                name=mfd,
                axis lines=none,
                declare function={
                    f(\x,\y)=10-(\x^2+\y^2);
                },
                declare function={
                    c_x(\t)=(cos(\t)+(sin(5*\t)/10))/3+1;
                },
                declare function={
                    c_y(\t)=(sin(\t))/2-1;
                },
                declare function={
                    c_z(\t)=f(c_x(\t),c_y(\t));
                },
                declare function={
                    x_0(\t)=-1.2;
                },
                declare function={
                    x_1(\t)=0.8;
                }
            ]
                \addplot3[surf,domain=0:2,domain y=-2:0,]{f(x,y)};
                \addplot3[lineplot,variable=t,domain=0:360] ({c_x(t)},{c_y(t)},{c_z(t)});
                \addplot3[coordinate line,variable=t,domain=0:2] (t,{x_0(t)},{f(t,{x_0(t)})});
                \addplot3[coordinate line,variable=t,domain=-2:0] ({x_1(t)},t,{f({x_1(t)},t)});
                \addplot3[point] (1,-1,{f(1,-1)}) coordinate (a);
                \addplot3[point](.5,{x_0(.5)},{f(.5,{x_0(.5)})}) coordinate (x_dot);
                \addplot3[point]({x_1(-.5)},-.5,{f({x_1(-.5)},-.5)}) coordinate (y_dot);
            \end{axis}
            \draw [myarrow]  (x_dot) to[bend left] ++(-2cm,-4cm) node[below] {$\gamma_{(0)}$};
            \draw [myarrow]  (y_dot) to[bend right] ++(2cm,0.5cm) node [right] {$\gamma_{(1)}$};
            \begin{axis}[
                at={($(mfd.north east)+(1cm,-2cm)$)},
                anchor=north west,
                axis lines=none,
                declare function={
                    c_x(\t)=(cos(\t)+(sin(5*\t)/10))/3+1;
                },
                declare function={
                    c_y(\t)=(sin(\t))/2-1;
                },
                declare function={
                    x_0(\t)=-1.2;
                },
                declare function={
                    x_1(\t)=0.8;
                }
            ]
                \addplot[lineplot,variable=t,domain=0:360]({c_x(t)},{c_y(t)});
                \addplot[point] (1,-1) coordinate (b);
                \addplot[coordinate line,variable=t,domain=0.6:1.4](t,{x_0(t)});
                \addplot[coordinate line,variable=t,domain=-1.5:-0.5]({x_1(t)},t);
                \addplot[point](.8,-.5) coordinate (P1);
                \addplot[point](.6,-1.2) coordinate (P2);
            \end{axis}
            \draw [myarrow] (b) to[bend right] node [above=7pt] {$x$} (a);
            \draw [myarrow] (P1) to[bend left] ++(-1cm,1cm) node[above] {$(x \circ \gamma_{(1)})$};
            \draw [myarrow] (P2) to[bend left] ++(-3cm,-1cm) node[above] {$(x \circ \gamma_{(0)})$};
        \end{tikzpicture}

        Given $p \in \mathbf{M}$, choose a chart $(U,x)$, so that $x(p)=0_{\mathbb{R}^{\dim M}}$, and curves $\gamma_{(a)}$, with $p = \gamma_{(a)}(0)$, for $a = 1, \dots, \dim M$:
        \begin{align*}
            e_a &:= X_{\gamma_{(a)},p}, a = 1, \dots, \dim M \\
            e_a f &= X_{\gamma_{(a)},p} f \\
            &=(f \circ \gamma_{(a)})' (0) \\
            &= (f \circ x^{-1} \circ x \circ \gamma_{(a)})' (0) \\
            &= \partial_b (f \circ x^{-1}) \cdot (x(\gamma_{(a)}(0))) \cdot (x^b \circ \gamma_{(a)})' (0) \\
            &= \partial_b (f \circ x^{-1})(x(p)) \cdot \delta^b_a \\
            &= \partial_a (f \circ x^{-1})
        \end{align*}
        (to be continued ...)
    \end{proof}
\end{document}

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