在证明中（见图），类似线未对齐。我该如何对齐这条线？

Question

代码：

\begin{proof}
$
\begin{align*}
T(1) &= \theta(1),
\\T(0) &= \theta(1),
\\T(n) &= T(n-1)+T(n-2)+\theta(1)            &&n\geq2
\\T(n) &= T(n-1)+T(n-2)+c                    &&\text{where }c\text{ is a constant.}
\\T(n) &\leq 2T(n-1)+c
\\     &\leq 2[2T(n-2)+c]+c = 2^2T(n-2)+2c+c
\\     &\leq 2^2[2T(n-3)+c]+2c+c = 2^3T(n-3)+2^2c+2c+c
\\     &\vdots
\\     &\leq 2^{n-1}T(1)+2^{n-2}c+2^{n-3}c+\cdots+c
\\     &\lt 2^{n-1}c+2^{n-2}c+2^{n-3}c+\cdots+c+2^{-1}c+\cdots\infty
\\     &= 2^{n-1}c[1+2^{-1}+2^{-2}+\cdots\infty]
\\     &= 2^nc
\\T(n) &= O(2^n)
\\\text{Similarly,}
\\T(n)&=\Omega(2^{n/2})
\end{align*}
$
\end{proof}

如果我在每行开头都放上 &，那么缩进就太多了。我不想这样。我尝试在 S 之前放上 &，同样与 = 符号对齐。我尝试用谷歌搜索，但不确定应该使用什么关键字，也没有找到任何解决方案。

另外，如何在最后一行添加 QED 符号？

Answer 1

为了简化环境的设置align*，不要将其设置为多列。相反，使用\tag*指令将代码片段放置$n\geq2$在where $c$ is a constant相应行的最右侧。

使用\shortintertext指令（由包提供mathtools）放置字符串“Similarly,”。

顺便问一下，这是什么+\cdots\infty意思？

\documentclass{article}
\usepackage{mathtools,amsthm}
\begin{document}
\begin{proof}
\begin{align*}
  T(1) &= \theta(1) 
\\T(0) &= \theta(1) 
\\T(n) &= T(n-1)+T(n-2)+\theta(1) \tag*{$n\geq2$}
\\T(n) &= T(n-1)+T(n-2)+c         \tag*{where $c$ is a constant}
\\T(n) &\leq 2T(n-1)+c
\\     &\leq 2[2T(n-2)+c]+c = 2^2T(n-2)+2c+c
\\     &\leq 2^2[2T(n-3)+c]+2c+c = 2^3T(n-3)+2^2c+2c+c
\\     &\vdots
\\     &\leq 2^{n-1}T(1)+2^{n-2}c+2^{n-3}c+\cdots+c
\\     &< 2^{n-1}c+2^{n-2}c+2^{n-3}c+\cdots+c+2^{-1}c+\cdots\infty
\\     &= 2^{n-1}c[1+2^{-1}+2^{-2}+\cdots\infty]
\\     &= 2^nc
\\T(n) &= O(2^n)
\\ \shortintertext{Similarly,}
T(n)&=\Omega(2^{n/2})\,. \qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\end{document}

Answer 2

我建议使用这种布局，\intertext这样“类似地”就会在左边距对齐。我还使用了一些来自的命令mathtools，以使 \vdots对齐的符号居中

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[showframe]{geometry} 
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsthm}

\begin{document}

\begin{proof}
\begin{align*}
T(1) &= \theta(1),
\\T(0) &= \theta(1),
\\T(n) &= T(n-1)+T(n-2)+\theta(1) &&n\geq2
\\T(n) &= T(n-1)+T(n-2)+c &&\text{where }c\text{ is a constant.}
\\T(n) &\leq 2T(n-1)+c
\\ &\leq 2[2T(n-2)+c]+c = \mathrlap{2^2T(n-2)+2c+c}
\\ &\leq 2^2[2T(n-3)+c]+2c+c = 2\mathrlap{^3T(n-3)+2^2c+2c+c}
\\ & \vdotswithin{\leq}\\
 & \leq 2^{n-1}T(1)+2^{n-2}c+2^{n-3}c+\cdots+c
\\ & < \mathrlap{2^{n-1}c+2^{n-2}c+2^{n-3}c+\cdots+c+2^{-1}c+\cdots\infty}
\\ &= 2^{n-1}c[1+2^{-1}+2^{-2}+\cdots\infty]
\\ &= 2^nc
\\T(n) &= O(2^n)
\\\intertext{Similarly,}
T(n)&=\Omega(2^{n/2}) & & \qedhere
\end{align*}
\end{proof}

\end{document}