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非线性坐标变换

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非线性坐标变换

我正在写关于神经网络的文章，其中坐标向量通过矩阵变换，然后通过非线性函数逐点变换。

作为一个等式，它类似于σ（韦克斯+b）， 在哪里σ是非线性函数，瓦和b分别是矩阵和向量，并且X是输入向量，这里是 Ti 中的坐标钾Z。

我想说明一下使用 Ti 的基本示例钾Z.韦克斯+b使用该选项可以轻松实现转换[cm={w-entries, b-coordinate}]，并且我还可以使用该库转换各个坐标calc。

但是，正如您从下面提供的 MWE 中看到的那样，它的顺序是错误的。我有瓦 σ（X）+b因此需要稍微调整一下坐标。对于简单示例，它运行良好，但对于更复杂的示例，它失败了。

有没有一种简单的方法可以通过坐标变换后实现非线性变换cm？

\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\begin{document}
\pgfmathsetseed{1}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\fill[red!20] (0,0) -- (2.5, 2.5) -- (2.5, 0);
\fill[blue!20] (0,0) -- (2.5, 2.5) -- (0, 2.5);
\begin{scope}[cm={0, 2, -2, 0, (2.25, 0.25)}]
    \foreach \i in {0, ..., 50} {
        \draw[red] ({1/(1+exp(-3*(rnd-1.5)))}, {1/(1+exp(-3*(rnd-1.5))}) circle (0.015);
        \draw[blue] ({1/(1+exp(-3*(rnd+.5)}, {1/(1+exp(-3*(rnd+.5))}) circle (0.015);
    };
\end{scope}
\draw (0,0) -- (2.5, 2.5);
\end{tikzpicture}

\end{document}

编辑进度更新：我已经设法使用marmot 的精彩回答并创建所需的转换。

但是我无法让它使用任何外部变量。特别是，我希望有一个缩放参数或某种方式将周围的缩放值传递到转换中。目前，如果我更改厘米和点之间的转换值，我只能增加图片大小。（有没有更好的方法在两个坐标系之间切换？按 28.4 进行硬缩放感觉很笨拙。）

\documentclass[border=5mm]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepgfmodule{nonlineartransformations}
\makeatletter
\def\sigmoidtransformation{%
\edef\oriX{\the\pgf@x}%
\edef\oriY{\the\pgf@y}%
\typeout{old\space y=\oriX\space old \space y=\oriY}
\pgfmathsetmacro{\sigmoidx}{28.4/(1+exp(min(-\oriX/28,4, 5))}
\pgfmathsetmacro{\sigmoidy}{28.4/(1+exp(min(-\oriY/28.4, 5))}
\typeout{new\space x=\sigmoidx\space new\space y=\sigmoidy}
\setlength{\pgf@x}{\sigmoidx pt}
\setlength{\pgf@y}{\sigmoidy pt}
}
\begin{document}
\pgfmathsetseed{1}
\begin{tikzpicture}
\draw[red!50] (0,0) grid[xstep=0.333cm, ystep=0.333cm] (1,1);
\draw[red!50, shift={(0.5, 0.5)}] (0,0) circle (0.5);
\pgftransformnonlinear{\sigmoidtransformation}
\draw[gray] (-3,-3) grid[xstep=15pt, ystep=15pt] (3,3);
\draw[cm={1, 1, 0, 1, (1, 1)}] (0,0) circle(1);
\end{tikzpicture}

\end{document}

在此处输入图片描述

答案1

从 cm 到 pt 的转换很简单，只需添加诸如 之类的因子1cm/1pt即可。并且，您可以通过将它们构建到转换的定义中，使事物依赖于参数。（我还清理了一些旧代码。）

\documentclass[border=5mm]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepgfmodule{nonlineartransformations}
\makeatletter
\def\mytrafoA{1}
\def\sigmoidtransformation{%
\pgf@xa=\pgf@x%
\pgf@ya=\pgf@y%
\typeout{old\space x=\pgf@xa\space old \space y=\pgf@ya}%
\pgfmathsetmacro{\sigmoidx}{1cm/(1+exp(min(-\mytrafoA\pgf@xa/1cm, 5))}%
\pgfmathsetmacro{\sigmoidy}{1cm/(1+exp(min(-\mytrafoA\pgf@ya/1cm, 5))}%
\typeout{new\space x=\sigmoidx\space new\space y=\sigmoidy}%
\pgf@x=\sigmoidx pt
\pgf@y=\sigmoidy pt
}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[red!50] (0,0) grid[xstep=0.333cm, ystep=0.333cm] (1,1);
\draw[red!50, shift={(0.5, 0.5)}] (0,0) circle (0.5);
\pgftransformnonlinear{\sigmoidtransformation}
\draw[gray] (-3,-3) grid[xstep=15pt, ystep=15pt] (3,3);
\draw[cm={1, 1, 0, 1, (1, 1)}] (0,0) circle(1);
\end{tikzpicture}
\quad
\begin{tikzpicture}
\draw[red!50] (0,0) grid[xstep=0.333cm, ystep=0.333cm] (1,1);
\draw[red!50, shift={(0.5, 0.5)}] (0,0) circle (0.5);
\def\mytrafoA{2}
\pgftransformnonlinear{\sigmoidtransformation}
\draw[gray] (-3,-3) grid[xstep=15pt, ystep=15pt] (3,3);
\draw[cm={1, 1, 0, 1, (1, 1)}] (0,0) circle(1);
\end{tikzpicture}
\end{document}

在此处输入图片描述

还请注意，圆是由一些贝塞尔曲线构造的，因此如果您想要更精确地变换圆，您可能需要通过参数图来绘制它们。

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