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绘制带有半虚线的圆环

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绘制带有半虚线的圆环

我想画：

在此处输入图片描述

为了绘制上述圆环，我使用了以下代码：

\documentclass[margin=2mm,tikz]{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\begin{document}
%Oberflächenproblem
\begin{tikzpicture}[rotate=180]
%Torus
\draw (0,0) ellipse (1.6 and .9);
%Hole
\begin{scope}[scale=.8]
\path[rounded corners=24pt] (-.9,0)--(0,.6)--(.9,0) (-.9,0)--(0,-.56)--(.9,0);
\draw[rounded corners=28pt] (-1.1,.1)--(0,-.6)--(1.1,.1);
\draw[rounded corners=24pt] (-.9,0)--(0,.6)--(.9,0);
\end{scope}
%Cut 1
\draw[densely dashed] (0,-.9) arc (270:90:.2 and .365);
\draw (0,-.9) arc (-90:90:.2 and .365);
%Cut 2
\draw (0,.9) arc (90:270:.2 and .348);
\draw[densely dashed] (0,.9) arc (90:-90:.2 and .348);
\end{tikzpicture}
\end{document}

它产生：

在此处输入图片描述

这与我想要的不一样。我该如何制作所需的圆环？

答案1

问题如何用 Ti 绘制圆环钾是是一个相当老的问题，有几个很好的答案。最引人注目的输出（在我看来）是用 asymptote 实现的，它与 Ti 不同，钾Z，一个 3D 引擎。然而，事实证明，如果针对 3D 矢量图形，绘制 3D 圆环所需的努力比人们天真地预期的要大得多。

这就提出了一个问题，即是否有可能使 Ti钾Z 区分圆环表面上可见点和“隐藏”点。毕竟，类似的区分已经实现球体答案是肯定的。

答案的第一部分：如何绘制圆环的轮廓？给定圆环的参数化，，T(\u,\v)=(cos(\u)*(\R + \r*cos(\v),(\R + \r*cos(\v))*sin(\u),\r*sin(\v))可以计算给定点的切线，然后计算法线。圆环的边界由法线与屏幕法线正交的要求决定。得到的曲线就是函数T(\u,vcrit(\u))。临界\v值有一个非常简单的表示：

vcrit1(\u,\th)=atan(tan(\th)*sin(\u));% first critical v value
vcrit2(\u,\th)=180+atan(tan(\th)*sin(\u));% second critical v value

它们决定了环绕圆环的可见和/或隐藏部分的开始或结束位置。但请注意，轮廓vcrit2可能根据视角\tdplotmaintheta具有自相互作用。这就是为什么下面的代码中有一个判别式。

\documentclass[tikz,border=3.14mm]{standalone}
\usepackage{tikz-3dplot}
\begin{document}
\tdplotsetmaincoords{70}{0}
\tikzset{declare function={torusx(\u,\v,\R,\r)=cos(\u)*(\R + \r*cos(\v)); 
torusy(\u,\v,\R,\r)=(\R + \r*cos(\v))*sin(\u);
torusz(\u,\v,\R,\r)=\r*sin(\v);
vcrit1(\u,\th)=atan(tan(\th)*sin(\u));% first critical v value
vcrit2(\u,\th)=180+atan(tan(\th)*sin(\u));% second critical v value
disc(\th,\R,\r)=((pow(\r,2)-pow(\R,2))*pow(cot(\th),2)+% 
pow(\r,2)*(2+pow(tan(\th),2)))/pow(\R,2);% discriminant
umax(\th,\R,\r)=ifthenelse(disc(\th,\R,\r)>0,asin(sqrt(abs(disc(\th,\R,\r)))),0);
}}

\begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords]
\pgfmathsetmacro{\R}{4}
\pgfmathsetmacro{\r}{1}
 \draw[thick,fill=gray,even odd rule,fill opacity=0.2] plot[variable=\x,domain=0:360,smooth,samples=71]
 ({torusx(\x,vcrit1(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusy(\x,vcrit1(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusz(\x,vcrit1(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)}) 
 plot[variable=\x,
 domain={-180+umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)}:{-umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)},smooth,samples=51]
 ({torusx(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusy(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusz(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)})
 plot[variable=\x,
 domain={umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)}:{180-umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)},smooth,samples=51]
 ({torusx(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusy(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusz(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)});
 \draw[thick] plot[variable=\x,
 domain={-180+umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)/2}:{-umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)/2},smooth,samples=51]
 ({torusx(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusy(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusz(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)});
 \foreach \X  in {240,300}  
 {\draw[thick,dashed] 
  plot[smooth,variable=\x,domain={360+vcrit1(\X,\tdplotmaintheta)}:{vcrit2(\X,\tdplotmaintheta)},samples=71]   
 ({torusx(\X,\x,\R,\r)},{torusy(\X,\x,\R,\r)},{torusz(\X,\x,\R,\r)});
 \draw[thick] 
  plot[smooth,variable=\x,domain={vcrit2(\X,\tdplotmaintheta)}:{vcrit1(\X,\tdplotmaintheta)},samples=71]   
 ({torusx(\X,\x,\R,\r)},{torusy(\X,\x,\R,\r)},{torusz(\X,\x,\R,\r)})
 node[below]{$C\ifnum\X=300 '\fi$};
 }
 \draw[thick] plot[smooth,variable=\x,domain=60:420,samples=71]   
 ({torusx(-15+15*cos(\x),80+45*sin(\x),\R,\r)},
 {torusy(-15+15*cos(\x),80+45*sin(\x),\R,\r)},
 {torusz(-15+15*cos(\x),80+45*sin(\x),\R,\r)})
 node[above left]{$C''$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

在此处输入图片描述

如您所见，可见（实线）或隐藏（虚线）轮廓位于vcrit1和之间vcrit2，它们是\u和视角的函数。

然后可以改变周期的位置和视角。

\documentclass[tikz,border=3.14mm]{standalone}
\usepackage{tikz-3dplot}
\begin{document}
\foreach \X in {0,10,...,350}
{\tdplotsetmaincoords{65+10*sin(\X)}{0}
\tikzset{declare function={torusx(\u,\v,\R,\r)=cos(\u)*(\R + \r*cos(\v)); 
torusy(\u,\v,\R,\r)=(\R + \r*cos(\v))*sin(\u);
torusz(\u,\v,\R,\r)=\r*sin(\v);
vcrit1(\u,\th)=atan(tan(\th)*sin(\u));% first critical v value
vcrit2(\u,\th)=180+atan(tan(\th)*sin(\u));% second critical v value
disc(\th,\R,\r)=((pow(\r,2)-pow(\R,2))*pow(cot(\th),2)+% 
pow(\r,2)*(2+pow(tan(\th),2)))/pow(\R,2);% discriminant
umax(\th,\R,\r)=ifthenelse(disc(\th,\R,\r)>0,asin(sqrt(abs(disc(\th,\R,\r)))),0);
}}

\begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords]
 \pgfmathsetmacro{\R}{4}
 \pgfmathsetmacro{\r}{1}
 \path[tdplot_screen_coords,use as bounding box]
  (-1.3*\R,-1.3*\R) rectangle (1.3*\R,1.3*\R);
 \draw[thick,fill=gray,even odd rule,fill opacity=0.2] plot[variable=\x,domain=0:360,smooth,samples=71]
 ({torusx(\x,vcrit1(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusy(\x,vcrit1(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusz(\x,vcrit1(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)}) 
 plot[variable=\x,
 domain={-180+umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)}:{-umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)},smooth,samples=51]
 ({torusx(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusy(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusz(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)})
 plot[variable=\x,
 domain={umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)}:{180-umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)},smooth,samples=51]
 ({torusx(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusy(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusz(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)});
 \draw[thick] plot[variable=\x,
 domain={-180+umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)/2}:{-umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)/2},smooth,samples=51]
 ({torusx(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusy(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusz(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)});
 \draw[thick,dashed] 
  plot[smooth,variable=\x,domain={360+vcrit1(\X,\tdplotmaintheta)}:{vcrit2(\X,\tdplotmaintheta)},samples=71]   
 ({torusx(\X,\x,\R,\r)},{torusy(\X,\x,\R,\r)},{torusz(\X,\x,\R,\r)});
 \draw[thick] 
  plot[smooth,variable=\x,domain={vcrit2(\X,\tdplotmaintheta)}:{vcrit1(\X,\tdplotmaintheta)},samples=71]   
 ({torusx(\X,\x,\R,\r)},{torusy(\X,\x,\R,\r)},{torusz(\X,\x,\R,\r)});
\end{tikzpicture}}
\end{document}

在此处输入图片描述

目前的限制是：

  1. θ 角必须大于 90 度，并且足够大，以使圆环面有洞。（此限制已取消在这篇文章中。
  2. phi 角为 0。由于圆环的对称性，这并非真正的限制。如果有必要，可以通过将所有\v值移动负来克服这一限制\tdplotmainphi（但目前我看不出这样做的动机）。

有了这些准备，我们就可以解决问题的第二部分，即如何实现阴影。只要不坚持实际的阴影，可以使用例如这个答案。本次讨论的主要目的不是阴影，而是如何使用上述内容与 pgfplots 的问题。令我惊讶的是，它绝对简单明了。这是因为pgfplots它写得非常好，所有必要的角度都存储在 pgf 键中。

\documentclass[tikz,border=3.14mm]{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.16}
\tikzset{declare function={torusx(\u,\v,\R,\r)=cos(\u)*(\R + \r*cos(\v)); 
torusy(\u,\v,\R,\r)=(\R + \r*cos(\v))*sin(\u);
torusz(\u,\v,\R,\r)=\r*sin(\v);
vcrit1(\u,\th)=atan(tan(\th)*sin(\u));% first critical v value
vcrit2(\u,\th)=180+atan(tan(\th)*sin(\u));% second critical v value
disc(\th,\R,\r)=((pow(\r,2)-pow(\R,2))*pow(cot(\th),2)+% 
pow(\r,2)*(2+pow(tan(\th),2)))/pow(\R,2);% discriminant
umax(\th,\R,\r)=ifthenelse(disc(\th,\R,\r)>0,asin(sqrt(abs(disc(\th,\R,\r)))),0);
}}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\pgfmathsetmacro{\R}{4}
\pgfmathsetmacro{\r}{1}
    \begin{axis}[colormap/blackwhite,
       view={30}{60},axis lines=none
       ]
       \addplot3[surf,shader=interp,
       samples=61, point meta=z+sin(2*y),
       domain=0:360,y domain=0:360,
       z buffer=sort]
       ({torusx(x,y,\R,\r)}, 
        {torusy(x,y,\R,\r)}, 
        {torusz(x,y,\R,\r)});
        \pgfplotsinvokeforeach{300,360}{%
          \draw[thick,dashed] 
            plot[smooth,variable=\x,domain={360+vcrit1(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/el})}:{vcrit2(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/el})},samples=71]   
            ({torusx(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\x,\R,\r)},{torusy(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\x,\R,\r)},{torusz(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\x,\R,\r)});
          \draw[thick] 
           plot[smooth,variable=\x,domain={vcrit2(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/el})}:{vcrit1(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/el})},samples=71]   
          ({torusx(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\x,\R,\r)},{torusy(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\x,\R,\r)},{torusz(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\x,\R,\r)})
          node[below]{$C\ifnum#1=360 '\fi$};
        }
        \draw[thick] plot[smooth,variable=\x,domain=60:420,samples=71]   
        ({torusx(25+15*cos(\x),80+45*sin(\x),\R,\r)},
        {torusy(25+15*cos(\x),80+45*sin(\x),\R,\r)},
        {torusz(25+15*cos(\x),80+45*sin(\x),\R,\r)})
        node[above left]{$C''$};
   \end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}

在此处输入图片描述

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