在使用的 overleaf 文档中\documentclass[a4paper,15pt]{scrartcl}，我写了一些文本，然后写了类似$$ c^2=a^2+(-b)^2=a^2+b^2 $$（不是这个等式，请参阅下面附加的代码）的内容，后面跟着一个新段落。但是，问题是这个等式似乎夹在两段文本之间.代码如下：
...where $\mathbf{R_2}\vec{x}=\vec{0}$ as $\mathbf{R_2}$ is a zero matrix. So, now we have
$$\bnorm{\mathbf{R}\vec{x}-\mathbf{Q}'\vec{b}}^2~=~\bnorm{\mathbf{R_1}\vec{x}-\mathbf{c_1}}^2~+~\bnorm{-\mathbf{c_2}}^2~=~\bnorm{\mathbf{R_1}\vec{x}-\mathbf{c_1}}^2~+~\bnorm{\mathbf{c_2}}^2$$
Now, if $\mathbf{A}$ is of full column rank, then its QR decomposition is unique, hence $\mathbf{Q}$ and $\mathbf{R}$ (And thus, $\mathbf{R_1}$ are fixed.
但是，在文档的某些先前部分，我写过类似下面的内容，在这种情况下，我觉得间距很好。 见下文 ：
...The proof is following : $$\norm{\mathbf{G}\vec{x}}~=\sqrt{\left(\mathbf{G}\vec{x}\right)'\cdot\mathbf{G}\vec{x}}~=\sqrt{\vec{x}'\big(\mathbf{G}'\mathbf{G}\big)\vec{x}}=\sqrt{\vec{x}'\vec{x}}~=\norm{\vec{x}}$$
$\bullet~~\textbf{\colorbox{magicmint}{Fact \#3} :}~$ If the matrix $A$ is of full column rank, then it has a unique QR Decomposition.
我之前写过
\newcommand\norm[1]{\left\lVert#1\right\rVert}
\newcommand\bnorm[1]{\big\lVert#1\big\rVert}
我尝试使用\begin{equation*}，但它产生了相同的输出。:(
有人可以帮忙吗？提前谢谢。:)
答案1
您声称，
在这两种情况下，我都以完全相同的方式编写了代码。但为什么这两种情况下的垂直间距不同？
事实上，有一个关键区别在您编写的两个实例的方式之间$$...$$：前者在之前有一个空行$$...$$，而后者没有。
TeX 和 LaTeX 文档中的空行会触发段落中断。TeX 和 LaTeX 中有一条铁律：永远不能在 displaymath 实体之前立即放置一个段落分隔符 -- 可以是$$...$$、\[...\]、\begin{equation} ... \end{equation}或其他任何内容。删除空白行可立即改善间距情况。
基于您的代码片段的 MWE（最小工作示例）：
对于第二种情况，我也移除了所有的~垫片。
\documentclass[a4paper,15pt]{scrartcl}
\usepackage{mathtools} % for '\DeclarePairedDelimiter' macro
\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert}
\begin{document}
\subsubsection*{With the spurious blank line}
\dots where $\mathbf{R}_2\vec{x}=\vec{0}$ as
$\mathbf{R}_2$ is a zero matrix. So, now we have
\[
\norm{\mathbf{R}\vec{x}-\mathbf{Q}'\vec{b}}^2~
=~\norm{\mathbf{R}_1\vec{x}-\mathbf{c}_1}^2~+~\norm{-\mathbf{c}_2}^2~
=~\norm{\mathbf{R}_1\vec{x}-\mathbf{c}_1}^2~+~\norm{\mathbf{c}_2}^2
\]
\subsubsection*{Without the spurious blank line}
\dots where $\mathbf{R}_2\vec{x}=\vec{0}$ as
$\mathbf{R}_2$ is a zero matrix. So, now we have
\[
\norm{\mathbf{R}\vec{x}-\mathbf{Q}'\vec{b}}^2
=\norm{\mathbf{R}_1\vec{x}-\mathbf{c}_1}^2+\norm{-\mathbf{c}_2}^2
=\norm{\mathbf{R}_1\vec{x}-\mathbf{c}_1}^2+\norm{\mathbf{c}_2}^2
\]
\end{document}