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在对齐和 \left \right 内拆分方程并对齐新拆分方程

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在对齐和 \left \right 内拆分方程并对齐新拆分方程

我目前正尝试将下列等式的最后一部分分成三部分，但很难做到。

\begin{align*}
    \notag \mathbb{E}_{(x,y) \sim P(X,Y)}\left[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hat{f}(x))^2\right] &= \mathbb{E}_{(x,y) \sim P(X,Y)}\left[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hat{f}(x))^2\right]\\
    \notag &= \sigma^{2}(x) + \mathbb{E}_{x \sim P(X)}\left[\left(f(x)-\hat{f}(x)\right)^2\right]\\
    \notag &=\sigma^{2}(x)+ \mathbb{E}_{x \sim P(X)}\left[\left(f(x)-\mathbb{E}_{x}\left[\hat{f}(x)\right]\right)^{2}+2\left(\left(f(x)-\mathbb{E}_{x}\left[\hat{f}(x)\right]\right)\left(\mathbb{E}_{x}\left[\hat{f}(x)\right]-\hat{f}(x)\right)\right)+\left(\mathbb{E}_{x}\left[\hat{f}(x)\right] - \hat{f}(x)\right)^2\vphantom{\mathbb{E}_{x \sim P(X)}}\right].
\end{align*}

我试过了

\begin{align*}
    \notag \mathbb{E}_{(x,y) \sim P(X,Y)}\left[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hat{f}(x))^2\right] &= \mathbb{E}_{(x,y) \sim P(X,Y)}\left[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hat{f}(x))^2\right]\\
    \notag &= \sigma^{2}(x) + \mathbb{E}_{x \sim P(X)}\left[\left(f(x)-\hat{f}(x)\right)^2\right]\\
\begin{split}
    \notag &=\sigma^{2}(x)+ \mathbb{E}_{x \sim P(X)}\left[\left(f(x)-\mathbb{E}_{x}\left[\hat{f}(x)\right]\right)^{2}\right.\\
\left.+2\left(\left(f(x)-\mathbb{E}_{x}\left[\hat{f}(x)\right]\right)\left(\mathbb{E}_{x}\left[\hat{f}(x)\right]-\hat{f}(x)\right)\right)\right.\\
\left.+\left(\mathbb{E}_{x}\left[\hat{f}(x)\right] - \hat{f}(x)\right)^2\vphantom{\mathbb{E}_{x \sim P(X)}}\right].
\end{split}
\end{align*}

这似乎有效，但不能正确对齐等式的底部。问题似乎还在于我的等式中有\left和，\right我想将它们拆分。基本上，我想拆分等式的第三行并将它们在符号内对齐\mathbb{E}。

提前致谢。

答案1

daleif 主题的变奏。我更愿意将主要部分分开，这样它们就更容易区分了。

考虑到表情之间的相似性，对齐点也不同。

我还添加了一个版本，其中第一个等号位于同一行，因此您可以看到它不起作用。10pt 字体大小的超大字体为 60pt，约 2.5 厘米。

\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{mathtools,amssymb}

\newcommand{\EE}{\mathbb{E}}

\begin{document}

The following display would fit on any textwidth, possibly even in two-column format.
Some more words to see what the text width is.
\begin{align*}
\lefteqn{\EE_{(x,y) \sim P(X,Y)}[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hat{f}(x))^2]} % no space taken
\qquad&
  \\[1ex]
  &= \EE_{(x,y) \sim P(X,Y)}[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hat{f}(x))^2]
  \\[1ex]
  &= \sigma^{2}(x) + \EE_{x \sim P(X)}[(f(x)-\hat{f}(x))^2]
  \\[1ex]
  &= \begin{aligned}[t]
     \sigma^{2}(x) &+ \EE_{x \sim  P(X)} \bigl[ (f(x)-\EE_{x}[\hat{f}(x)])^{2}
     \\
     &+ 2\bigl((f(x)-\EE_{x}[\hat{f}(x)])(\EE_{x}[\hat{f}(x)]-\hat{f}(x))\bigr)
     \\
     &+ (\EE_{x}[\hat{f}(x)] - \hat{f}(x))^2%\vphantom{\EE_{x \sim P(X)}}
    \bigr].
  \end{aligned}
\end{align*}

The following display instead would not fit on any reasonable text width.
Some more words to see what the text width is.
\begin{align*}
\EE_{(x,y) \sim P(X,Y)}[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hat{f}(x))^2]
  &= \EE_{(x,y) \sim P(X,Y)}[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hat{f}(x))^2]
  \\
  &= \sigma^{2}(x) + \EE_{x \sim P(X)}[(f(x)-\hat{f}(x))^2]
  \\
  &= \begin{aligned}[t]
     \sigma^{2}(x) &+ \EE_{x \sim  P(X)} \bigl[ (f(x)-\EE_{x}[\hat{f}(x)])^{2}
     \\
     &+ 2\bigl((f(x)-\EE_{x}[\hat{f}(x)])(\EE_{x}[\hat{f}(x)]-\hat{f}(x))\bigr)
     \\
     &+ (\EE_{x}[\hat{f}(x)] - \hat{f}(x))^2\vphantom{\EE_{x \sim P(X)}}
    \bigr].
  \end{aligned}
\end{align*}

\end{document}

在此处输入图片描述

答案2

我可能会做类似的事情。请注意，如果没有所有这些，代码会变得多么整洁\left...\right。我可能还会为E运算符创建一个宏，以自动添加[]到参数中。但那是另一天的事了。

\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{mathtools,amssymb}

\begin{document}

\begin{align*}
  \MoveEqLeft[3] \mathbb{E}_{(x,y) \sim P(X,Y)}
  [(y-f(x))^2 + (f(x)-\hat{f}(x))^2]
  \\
  = {} & \mathbb{E}_{(x,y) \sim P(X,Y)}[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hat{f}(x))^2]
  \\
  = {} & \sigma^{2}(x) + \mathbb{E}_{x \sim P(X)}[(f(x)-\hat{f}(x))^2]
  \\
  = {} &\sigma^{2}(x)
  \begin{aligned}[t]
    {}+{} & \mathbb{E}_{x \sim  P(X)}
    \bigl[
    (f(x)-\mathbb{E}_{x}[\hat{f}(x)])^{2}
    \\
    &+2\bigl((f(x)-\mathbb{E}_{x}[\hat{f}(x)])
    (\mathbb{E}_{x}[\hat{f}(x)]-\hat{f}(x))
    \bigr)
    \\
    &+(\mathbb{E}_{x}[\hat{f}(x)]
    - \hat{f}(x))^2\vphantom{\mathbb{E}_{x \sim P(X)}}
    \bigr].
  \end{aligned}
\end{align*}

\end{document}

在此处输入图片描述

答案3

这是另一种解决方案。它删除了所有\left和\right自动调整大小指令，删除了\notag和\vphantom指令，使用花括号而不是方括号来括起跨越三行的术语，删除了四对方括号，删除了倒数第二行中一对不必要的圆括号，并且只在必要时使用\bigl和。\bigr

在此处输入图片描述

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} % expectations operator
\newcommand\hf{\hat{f}} % handy shortcut macro
\begin{document}
\begin{align*}
&\E_{(x,y) \sim P(X,Y)}\bigl[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hf(x))^2\,\bigr] \\
&\quad=\E_{(x,y) \sim P(X,Y)}\bigl[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hf(x))^2\,\bigr]\\
&\quad=\sigma^{2}(x) + \E_{x \sim P(X)}[(f(x)-\hf(x))^2\,]\\
&\quad=\sigma^{2}(x)+ \E_{x \sim P(X)}\bigl\{
   \bigl(f(x)-\E_x\hf(x) \bigr)^2 \\
&\qquad\quad+2(f(x)-\E_x\hf(x))(\E_x\hf(x)-\hf(x))\\
&\qquad\quad+(\E_x\hf(x) - \hf(x))^2 \bigr\}\,.
\end{align*}
\end{document}

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