![在对齐和 \left \right 内拆分方程并对齐新拆分方程](https://linux22.com/image/430892/%E5%9C%A8%E5%AF%B9%E9%BD%90%E5%92%8C%20%5Cleft%20%5Cright%20%E5%86%85%E6%8B%86%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%B9%B6%E5%AF%B9%E9%BD%90%E6%96%B0%E6%8B%86%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B.png)
我目前正尝试将下列等式的最后一部分分成三部分,但很难做到。
\begin{align*}
\notag \mathbb{E}_{(x,y) \sim P(X,Y)}\left[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hat{f}(x))^2\right] &= \mathbb{E}_{(x,y) \sim P(X,Y)}\left[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hat{f}(x))^2\right]\\
\notag &= \sigma^{2}(x) + \mathbb{E}_{x \sim P(X)}\left[\left(f(x)-\hat{f}(x)\right)^2\right]\\
\notag &=\sigma^{2}(x)+ \mathbb{E}_{x \sim P(X)}\left[\left(f(x)-\mathbb{E}_{x}\left[\hat{f}(x)\right]\right)^{2}+2\left(\left(f(x)-\mathbb{E}_{x}\left[\hat{f}(x)\right]\right)\left(\mathbb{E}_{x}\left[\hat{f}(x)\right]-\hat{f}(x)\right)\right)+\left(\mathbb{E}_{x}\left[\hat{f}(x)\right] - \hat{f}(x)\right)^2\vphantom{\mathbb{E}_{x \sim P(X)}}\right].
\end{align*}
我试过了
\begin{align*}
\notag \mathbb{E}_{(x,y) \sim P(X,Y)}\left[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hat{f}(x))^2\right] &= \mathbb{E}_{(x,y) \sim P(X,Y)}\left[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hat{f}(x))^2\right]\\
\notag &= \sigma^{2}(x) + \mathbb{E}_{x \sim P(X)}\left[\left(f(x)-\hat{f}(x)\right)^2\right]\\
\begin{split}
\notag &=\sigma^{2}(x)+ \mathbb{E}_{x \sim P(X)}\left[\left(f(x)-\mathbb{E}_{x}\left[\hat{f}(x)\right]\right)^{2}\right.\\
\left.+2\left(\left(f(x)-\mathbb{E}_{x}\left[\hat{f}(x)\right]\right)\left(\mathbb{E}_{x}\left[\hat{f}(x)\right]-\hat{f}(x)\right)\right)\right.\\
\left.+\left(\mathbb{E}_{x}\left[\hat{f}(x)\right] - \hat{f}(x)\right)^2\vphantom{\mathbb{E}_{x \sim P(X)}}\right].
\end{split}
\end{align*}
这似乎有效,但不能正确对齐等式的底部。问题似乎还在于我的等式中有\left
和,\right
我想将它们拆分。基本上,我想拆分等式的第三行并将它们在符号内对齐\mathbb{E}
。
提前致谢。
答案1
daleif 主题的变奏。我更愿意将主要部分分开,这样它们就更容易区分了。
考虑到表情之间的相似性,对齐点也不同。
我还添加了一个版本,其中第一个等号位于同一行,因此您可以看到它不起作用。10pt 字体大小的超大字体为 60pt,约 2.5 厘米。
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{mathtools,amssymb}
\newcommand{\EE}{\mathbb{E}}
\begin{document}
The following display would fit on any textwidth, possibly even in two-column format.
Some more words to see what the text width is.
\begin{align*}
\lefteqn{\EE_{(x,y) \sim P(X,Y)}[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hat{f}(x))^2]} % no space taken
\qquad&
\\[1ex]
&= \EE_{(x,y) \sim P(X,Y)}[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hat{f}(x))^2]
\\[1ex]
&= \sigma^{2}(x) + \EE_{x \sim P(X)}[(f(x)-\hat{f}(x))^2]
\\[1ex]
&= \begin{aligned}[t]
\sigma^{2}(x) &+ \EE_{x \sim P(X)} \bigl[ (f(x)-\EE_{x}[\hat{f}(x)])^{2}
\\
&+ 2\bigl((f(x)-\EE_{x}[\hat{f}(x)])(\EE_{x}[\hat{f}(x)]-\hat{f}(x))\bigr)
\\
&+ (\EE_{x}[\hat{f}(x)] - \hat{f}(x))^2%\vphantom{\EE_{x \sim P(X)}}
\bigr].
\end{aligned}
\end{align*}
The following display instead would not fit on any reasonable text width.
Some more words to see what the text width is.
\begin{align*}
\EE_{(x,y) \sim P(X,Y)}[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hat{f}(x))^2]
&= \EE_{(x,y) \sim P(X,Y)}[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hat{f}(x))^2]
\\
&= \sigma^{2}(x) + \EE_{x \sim P(X)}[(f(x)-\hat{f}(x))^2]
\\
&= \begin{aligned}[t]
\sigma^{2}(x) &+ \EE_{x \sim P(X)} \bigl[ (f(x)-\EE_{x}[\hat{f}(x)])^{2}
\\
&+ 2\bigl((f(x)-\EE_{x}[\hat{f}(x)])(\EE_{x}[\hat{f}(x)]-\hat{f}(x))\bigr)
\\
&+ (\EE_{x}[\hat{f}(x)] - \hat{f}(x))^2\vphantom{\EE_{x \sim P(X)}}
\bigr].
\end{aligned}
\end{align*}
\end{document}
答案2
我可能会做类似的事情。请注意,如果没有所有这些,代码会变得多么整洁\left...\right
。我可能还会为E
运算符创建一个宏,以自动添加[]
到参数中。但那是另一天的事了。
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{mathtools,amssymb}
\begin{document}
\begin{align*}
\MoveEqLeft[3] \mathbb{E}_{(x,y) \sim P(X,Y)}
[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hat{f}(x))^2]
\\
= {} & \mathbb{E}_{(x,y) \sim P(X,Y)}[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hat{f}(x))^2]
\\
= {} & \sigma^{2}(x) + \mathbb{E}_{x \sim P(X)}[(f(x)-\hat{f}(x))^2]
\\
= {} &\sigma^{2}(x)
\begin{aligned}[t]
{}+{} & \mathbb{E}_{x \sim P(X)}
\bigl[
(f(x)-\mathbb{E}_{x}[\hat{f}(x)])^{2}
\\
&+2\bigl((f(x)-\mathbb{E}_{x}[\hat{f}(x)])
(\mathbb{E}_{x}[\hat{f}(x)]-\hat{f}(x))
\bigr)
\\
&+(\mathbb{E}_{x}[\hat{f}(x)]
- \hat{f}(x))^2\vphantom{\mathbb{E}_{x \sim P(X)}}
\bigr].
\end{aligned}
\end{align*}
\end{document}
答案3
这是另一种解决方案。它删除了所有\left
和\right
自动调整大小指令,删除了\notag
和\vphantom
指令,使用花括号而不是方括号来括起跨越三行的术语,删除了四对方括号,删除了倒数第二行中一对不必要的圆括号,并且只在必要时使用\bigl
和。\bigr
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} % expectations operator
\newcommand\hf{\hat{f}} % handy shortcut macro
\begin{document}
\begin{align*}
&\E_{(x,y) \sim P(X,Y)}\bigl[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hf(x))^2\,\bigr] \\
&\quad=\E_{(x,y) \sim P(X,Y)}\bigl[(y-f(x))^2 + (f(x)-\hf(x))^2\,\bigr]\\
&\quad=\sigma^{2}(x) + \E_{x \sim P(X)}[(f(x)-\hf(x))^2\,]\\
&\quad=\sigma^{2}(x)+ \E_{x \sim P(X)}\bigl\{
\bigl(f(x)-\E_x\hf(x) \bigr)^2 \\
&\qquad\quad+2(f(x)-\E_x\hf(x))(\E_x\hf(x)-\hf(x))\\
&\qquad\quad+(\E_x\hf(x) - \hf(x))^2 \bigr\}\,.
\end{align*}
\end{document}