如何构造这个四面体的点S？

Question 1

更新通过使用新更新

\documentclass[tikz,border=3.14mm]{standalone}
\usetikzlibrary{calc,3dtools} % https://github.com/marmotghost/tikz-3dtools
\begin{document}
    \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,c/.style={circle,fill,inner sep=1pt},
        declare function={lAB=3;lAC=4;lBC=5;lAD=6;lBD=7;lCD=8;}]
        % ^^^ the lengths of the tetrahedron
        \begin{scope}[3d/install view={phi=100,psi=0,theta=70}]
            % construct a triangle of three vertices in the xy plane
            % using the cosine law
            \pgfmathsetmacro{\mytheta}{acos(-1*(lBC*lBC-lAC*lAC-lAB*lAB)/(2*lAB*lAC))}
            \path (0,0,0) coordinate (A)
            (lAB,0,0) coordinate (B)
            ({lAC*cos(\mytheta)},{lAC*sin(\mytheta)},0) coordinate (C);
            \path[overlay,3d/aux keys/i1=S,3d/aux keys/i2=D',
            3d/intersection of three spheres={rA=lAD,rB=lBD,rC=lCD}];
            \path[3d/circumsphere center={A={(A)},B={(B)},C={(C)},D={(S)}}]
            coordinate (I);
            \pgfmathsetmacro{\myR}{sqrt(TD("(I)-(A)o(I)-(A)"))} ;
            \path[3d/circumcircle center={A={(A)},B={(B)},C={(C)}}] coordinate (G);
            \draw[red,3d/screen coords] (I) circle[radius=\myR];
            \path pic{3d/circle on sphere={R=\myR,C={(I)}, P={(G)}}};
            \path[3d/circumcircle center={A={(A)},B={(B)},C={(S)}}] coordinate (T); 
            \path[blue]  pic{3d/circle on sphere={R=\myR,C={(I)}, P={(T)}}};
            \path foreach \p/\g in {A/180,B/-90,C/0,S/90,G/-90,I/0}{(\p)node[c]{}+(\g:2.5mm) node{$\p$}};
            \draw[3d/hidden] (A) -- (C) (S) -- (A)  (S) -- (B) (S) --(C) (A) -- (B) -- (C);
        \end{scope}
    \end{tikzpicture}
\end{document}

请注意，有两点S。我把它们放在S和S'。您可以使用3d工具。在此代码中，我添加了两个点T，T'可以通过 Maple 找到并与的结果进行比较3dtools。

\documentclass[border=2mm]{standalone}
    \usepackage{tikz}
    \usetikzlibrary{3dtools,calc}% https://github.com/marmotghost/tikz-3dtools
    \begin{document}
        \begin{tikzpicture}[3d/install view={phi=70,theta=70},line cap=butt,line join=round,c/.style={circle,fill,inner sep=1pt},declare function={r1=6;r2=7;r3=8;}] 
            \path
            (0,0,0) coordinate (A)
            (3,0,0) coordinate (B)
            (0,4,0) coordinate (C)
            (-2/3,-3/2,{sqrt(1199)/6}) coordinate (T)
            (-2/3,-3/2,{-sqrt(1199)/6}) coordinate (T')
            ;  % T and T' are found by Maple
            \path[overlay,3d/aux keys/i1=S,3d/aux keys/i2=S',3d/intersection of three spheres={rA=r1,rB=r2,rC=r3}];
            \path foreach \p/\g in {A/180,B/-90,C/-90,S/0,T/180,S'/0,T'/180}
            {(\p)node[c]{}+(\g:2.5mm) node{$\p$}};
            \end{tikzpicture}
    \end{document}

Answer

更新通过使用新更新

\documentclass[tikz,border=3.14mm]{standalone}
\usetikzlibrary{calc,3dtools} % https://github.com/marmotghost/tikz-3dtools
\begin{document}
    \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,c/.style={circle,fill,inner sep=1pt},
        declare function={lAB=3;lAC=4;lBC=5;lAD=6;lBD=7;lCD=8;}]
        % ^^^ the lengths of the tetrahedron
        \begin{scope}[3d/install view={phi=100,psi=0,theta=70}]
            % construct a triangle of three vertices in the xy plane
            % using the cosine law
            \pgfmathsetmacro{\mytheta}{acos(-1*(lBC*lBC-lAC*lAC-lAB*lAB)/(2*lAB*lAC))}
            \path (0,0,0) coordinate (A)
            (lAB,0,0) coordinate (B)
            ({lAC*cos(\mytheta)},{lAC*sin(\mytheta)},0) coordinate (C);
            \path[overlay,3d/aux keys/i1=S,3d/aux keys/i2=D',
            3d/intersection of three spheres={rA=lAD,rB=lBD,rC=lCD}];
            \path[3d/circumsphere center={A={(A)},B={(B)},C={(C)},D={(S)}}]
            coordinate (I);
            \pgfmathsetmacro{\myR}{sqrt(TD("(I)-(A)o(I)-(A)"))} ;
            \path[3d/circumcircle center={A={(A)},B={(B)},C={(C)}}] coordinate (G);
            \draw[red,3d/screen coords] (I) circle[radius=\myR];
            \path pic{3d/circle on sphere={R=\myR,C={(I)}, P={(G)}}};
            \path[3d/circumcircle center={A={(A)},B={(B)},C={(S)}}] coordinate (T); 
            \path[blue]  pic{3d/circle on sphere={R=\myR,C={(I)}, P={(T)}}};
            \path foreach \p/\g in {A/180,B/-90,C/0,S/90,G/-90,I/0}{(\p)node[c]{}+(\g:2.5mm) node{$\p$}};
            \draw[3d/hidden] (A) -- (C) (S) -- (A)  (S) -- (B) (S) --(C) (A) -- (B) -- (C);
        \end{scope}
    \end{tikzpicture}
\end{document}

请注意，有两点S。我把它们放在S和S'。您可以使用3d工具。在此代码中，我添加了两个点T，T'可以通过 Maple 找到并与的结果进行比较3dtools。

\documentclass[border=2mm]{standalone}
    \usepackage{tikz}
    \usetikzlibrary{3dtools,calc}% https://github.com/marmotghost/tikz-3dtools
    \begin{document}
        \begin{tikzpicture}[3d/install view={phi=70,theta=70},line cap=butt,line join=round,c/.style={circle,fill,inner sep=1pt},declare function={r1=6;r2=7;r3=8;}] 
            \path
            (0,0,0) coordinate (A)
            (3,0,0) coordinate (B)
            (0,4,0) coordinate (C)
            (-2/3,-3/2,{sqrt(1199)/6}) coordinate (T)
            (-2/3,-3/2,{-sqrt(1199)/6}) coordinate (T')
            ;  % T and T' are found by Maple
            \path[overlay,3d/aux keys/i1=S,3d/aux keys/i2=S',3d/intersection of three spheres={rA=r1,rB=r2,rC=r3}];
            \path foreach \p/\g in {A/180,B/-90,C/-90,S/0,T/180,S'/0,T'/180}
            {(\p)node[c]{}+(\g:2.5mm) node{$\p$}};
            \end{tikzpicture}
    \end{document}

Question 2

更新：计算来自三维笛卡尔真距多点定位（实际上，这些是计算三个球面交点的公式。）我还在 XY 平面上添加了 3D 网格。

unitsize(1cm);
import three;
import grid3;
triple barycentric(triple A, triple B, triple C, real a, real b, real c){return (a*A+b*B+c*C)/(a+b+c);}

currentprojection=orthographic((1,1,.8),center=true,zoom=.9);

// Step 1: construct the base A,B,C on the plane z=0
real a=5, b=4, c=3; 
triple B=(0,0,0), C=(a,0,0);
// Abc is the projection of A on the segment BC
triple Abc=barycentric(B,C,O,1/(a^2+c^2-b^2),1/(a^2+b^2-c^2),0);
real bt=abs(Abc-B);
real hbc=sqrt(c*c-bt*bt);
triple A=Abc+hbc*dir(90,90);
draw(A--B--C--cycle,blue+1pt);
label("$A$",A,plain.S);
label("$B$",B,dir(150));
label("$C$",C,plain.NW);
//label("$A_{bc}$",Abc,plain.N,red);
//draw(A--Abc,red);

// Step 2: get the top point D
real at=6, bt=7, ct=8; 
// H is the projection of D on the base ABC
// https://en.wikipedia.org/wiki/True-range_multilateration
real Hx=(bt^2-ct^2+a^2)/(2a);
real Hy=(bt^2-at^2+A.x^2+A.y^2-2A.x*Hx)/(2A.y);
real Dz=sqrt(bt^2-Hx^2-Hy^2);
triple H=(Hx,Hy,0);
triple D=(Hx,Hy,Dz);

draw(D--A^^D--B^^D--C,blue+1pt);
draw(D--H,red+dashed);
label("$D$",D,plain.N);
label("$H$",H,plain.E,red); dot(H,red);

// grid on XY-plane
limits((-2,-2,0),(7,5,0));
grid3(XYXgrid,step=1,.5gray+.5white);
draw(Label("$x$",EndPoint),O--8X,Arrow3());
draw(Label("$y$",EndPoint),O--6Y,Arrow3());
draw(Label("$z$",EndPoint),O--6Z,Arrow3());
write("H = ("+string(H.x)+","+string(H.y)+",0)");
write("DH = "+string(abs(H-D)));

旧答案这是欧几里得几何中一个著名的构造问题。在绘图时，我们可以使用几何构造，但最好使用计算方法。在一些计算方法中，我发现一种使用barycentric coordinate更方便的方法，可以用于绘制二维和三维图形。

问题 1. 平面上的三角形： 在平面 Oxy 上作三角形 ABC，已知三角形的三条边 a=BC、b=CA、c=AB（假设三角形a + b > c成立）

通常的方法是先取和B，C使得BC=a，然后是以半径为圆心的圆和以半径为圆心的圆A的两个交点之一，使用一些内置程序来查找两个圆的交点。在这里我采用计算方法，使用BcCbpath
barycentric coordinate

pair barycentric(pair A=(0,0), pair B=(0,0), real a=1, real b=0){
return (a*A+b*B)/(a+b);}

重写公式这是我的答案H，得到ABC

pair H=barycentric(B,C,1/(a^2+c^2-b^2),1/(a^2+b^2-c^2));

最后A利用勾股定理得到直角三角形中的该点AHB。

// http://asymptote.ualberta.ca/
pair barycentric(pair A=(0,0), pair B=(0,0), real a=1, real b=0){
return (a*A+b*B)/(a+b);}

// Application: construct a triangle knowing the lengths of 3 sides
unitsize(1cm);
real a=6, b=5, c=2.5;
pair B=(0,0), C=(a,0);
pair H=barycentric(B,C,1/(a^2+c^2-b^2),1/(a^2+b^2-c^2));
real bt=abs(H-B);
real h=sqrt(c*c-bt*bt);
pair A=H+h*dir(90);

draw(box(H,H+(.2,.2)),red);
draw(A--H,red);
draw(A--B--C--cycle);
label("$A$",A,plain.N);
label("$B$",B,plain.SW);
label("$C$",C,plain.SE);
label("$H$",H,plain.S);

问题 2. 空间上的三角形：在空间 Oxyz 中构造三角形 ABC，已知其三个长度 a=BC、b=CA、c=AB（前提是a + b > c满足三角不等式）

这可以按照问题 1 的方式进行，只需进行适当的微小改动（参见下面问题 3 代码中的步骤 1）。

问题 3. 空间上的四面体：要在空间 Oxyz 上构造一个四面体，D.ABC已知它的 6 个长度（3 个底边长度a=BC、b=CA、c=AB；以及 3 个剩余长度at=DA、bt=DB、）ct=DC（前提是满足某些条件，参见这篇 2009 年 EMS 论文）。

我们使用barycentric coordinate2 倍。首先在某个平面上构造三角形 ABC，例如。这是上面的问题 2。接下来，得到在底面上的z=0投影。Heron 公式用于的重心坐标（使用面积而不是边长）HDABCH

import three;
triple barycentric(triple A, triple B, triple C, real a, real b, real c){return (a*A+b*B+c*C)/(a+b+c);}

real Heron(real a, real b, real c){
real p=(a+b+c)/2;
return sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));
}

D然后利用勾股定理在直角三角形内找到所要的点DHA。

完整代码（仍有一些错误！我正在寻找四面体高脚的重心坐标- 似乎是一个有趣而敏感的情况）

unitsize(1cm);
import three;
triple barycentric(triple A, triple B, triple C, real a, real b, real c){return (a*A+b*B+c*C)/(a+b+c);}

real Heron(real a, real b, real c){
real p=(a+b+c)/2;
return sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));
}
currentprojection=orthographic((1,1.6,1),center=true,zoom=.95);

// Step 1: construct the base A,B,C on the plane z=0
real a=6, b=5, c=4; 
triple B=(0,0,0), C=(a,0,0);
// Abc is the projection of A on the segment BC
triple Abc=barycentric(B,C,O,1/(a^2+c^2-b^2),1/(a^2+b^2-c^2),0);
real bt=abs(Abc-B);
real hbc=sqrt(c*c-bt*bt);
triple A=Abc+hbc*dir(90,90);

draw(A--Abc,red);
draw(A--B--C--cycle);
label("$A$",A,plain.S);
label("$B$",B,plain.E);
label("$C$",C,plain.W);
label("$A_{bc}$",Abc,plain.N,red);

// Step 2: get the top point D
real at=6, bt=7, ct=4; 
// H is the projection of D on the base ABC
real Sdab=Heron(at,bt,c);
real Sdbc=Heron(bt,ct,a);
real Sdca=Heron(ct,at,b);
triple H=barycentric(A,B,C,1/(Sdab^2+Sdca^2-Sdbc^2),1/(Sdab^2+Sdbc^2-Sdca^2),1/(Sdca^2+Sdbc^2-Sdab^2));
real ha=abs(H-A);
real hd=sqrt(at*at-ha*ha);
triple D=H+hd*Z;
draw(D--A^^D--B^^D--C);
draw(D--H,blue);
label("$D$",D,plain.N);
label("$H$",H,plain.W,blue); dot(H);

PS1：为什么是 Asymptote 而不是 TikZ？这种绘图方式barycentric coordinate可以用几种绘图语言编写。TikZ 确实有barycentric coordinate；但它的计算能力很弱，Dimension too large可能会出错，即使在 2D 中，当我尝试绘制三角形的欧拉线时也是如此）！Asymptote 具有更好的准确性，并且可用于 3D。

PS2：还有一种基于折纸的方法，在波利亚的一本书中有描述。我以后有空的时候会这样做。

Answer