不知道该如何描述我的问题,因为情况很奇怪。最近我发现 Overleaf 会自动“错位”数学模式。例如,“$ \lim_{ n \to \infty} a_n $”将变成“lim n→∞ an \lim_{n \to infty} a_n”,美元符号被删除,符号被复制粘贴。我确信这不是打字错误,因为它经常发生。有人也遇到过这个问题吗?
这是我的代码的一部分(自动放错版本)
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{CJKutf8}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{bm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{cancel}
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\title{AP exercise ch10}
\date{}
\begin{document}
\maketitle\noindent
\textbf{Exercise 10.1.4} \\
We observe that if x<12x < \frac{1}{2} , ψ(x)=2x<1\psi(x) = 2x < 1
and if 12<x<1 \frac{1}{2} < x < 1 , ψ(x)=2x−1\psi(x) = 2x - 1 .
So for any [a,b]⊂[0,1)[a,b] \subset [ 0 , 1 ) , we separate
ψ−1([a,b])\psi^{-1}([a,b]) into
two parts i.e
\begin{align*}
\psi^{-1}( [ a , b ] ) \cap [0 , \frac{1}{2} ) & =
\{ x \in [ 0 , 1 ) \; \rvert \;
x < \frac{1}{2} \; , \; x \in
[ \frac{a}{2} , \frac{b}{2}] \}
= [\frac{a}{2} , \frac{b}{2}]
\\
\psi^{-1}( [ a , b ] ) \cap (\frac{1}{2} , 1 ) &=
\{ x \in [ 0 , 1 ) \; \rvert \;
\frac{1}{2} < x < 1 \; , \; x \in
[ \frac{1+a}{2} , \frac{1+b}{2}] \}
= [\frac{1+a}{2} , \frac{1+b}{2}]
\end{align*}
Hence $\mu(\psi^{-1}([a,b])) =
\mu( [\frac{a}{2} , \frac{b}{2} ])
+ \mu([\frac{1+a}{2} , \frac{1+b}{2}] ) = b- a = \mu([b,a])$ .
答案1
我猜你确实需要检查一下你的浏览器设置:不仅有很多 的实例$
消失了,而且还有(至少)六个实例——仅在你发布的代码片段中——内联数学表达式被“重复”了。例如,ψ(x)=2x<1
以 为前缀\psi(x) = 2x < 1
,12<x<1
以 为前缀\frac{1}{2} < x < 1
,等等。
我自己对 Overleaf 用户了解不多,所以我只能建议你直接联系他们的帮助台,请他们协助修复你的浏览器设置。
无论如何,在提供缺失的实例$
、注释掉奇怪的代码重复以及解决代码中其他稍微奇怪的方面(例如,通过替换\; \rvert \;
)之后,\bigm\vert
剩下下面的代码,它可能接近您实际想要的。
\documentclass{article}
%\usepackage[utf8]{inputenc} % that's the default nowadays
\usepackage{CJKutf8} % are you sure you need this?
\usepackage{amsmath}
\usepackage{bm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{cancel}
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\begin{document}
\noindent
\textbf{Exercise 10.1.4}
\noindent
We observe that if
%x<12 %% huh?! #1
$x < \frac{1}{2}$,
%ψ(x)=2x<1 %% huh?! #2
$\psi(x) = 2x < 1$
and if
%12<x<1 %% huh?! #3
$\frac{1}{2} < x < 1$,
%ψ(x)=2x−1 %% huh?! #4
$\psi(x) = 2x - 1$.
So for any
%[a,b]⊂[0,1) %% huh?! #5
$[a,b] \subset [ 0 , 1 )$,
we separate
%ψ−1([a,b]) %% huh?! #6
$\psi^{-1}([a,b])$
into two parts, i.e.,
\begin{align*}
\psi^{-1}( [ a , b ] ) \cap \bigl[0 , \tfrac{1}{2} \bigr)
&=
\bigl\{ x \in [ 0 , 1 )
%\; \rvert \;
\bigm\vert
0 < x < \tfrac{1}{2}
%\; , \;
,\ x \in
\bigl[ \tfrac{a}{2} , \tfrac{b}{2}\bigr] \bigr\}
= \bigl[ \tfrac{a}{2} , \tfrac{b}{2}\bigr]
\\
\psi^{-1}( [ a , b ] ) \cap \bigl(\tfrac{1}{2} , 1 \bigr)
&=
\bigl\{ x \in [ 0 , 1 )
%\; \rvert \;
\bigm\vert
\tfrac{1}{2} < x < 1
%\; , \;
,\ x \in
\bigl[ \tfrac{1+a}{2} , \tfrac{1+b}{2}\bigr] \bigr\}
= \bigl[ \tfrac{1+a}{2} , \tfrac{1+b}{2}\bigr]
\end{align*}
Hence $\mu\bigl(\psi^{-1}([a,b])\bigr) =
\mu\bigl( \bigl[\frac{a}{2} , \frac{b}{2} \bigr]\bigr)
+ \mu\bigl(\bigl[\frac{1+a}{2} , \frac{1+b}{2}\bigr] \bigr)
= b- a = \mu([b,a])$.
\end{document}