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扎森豪斯蝴蝶引理

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扎森豪斯蝴蝶引理

我正在为我教授的抽象代数课程准备讲义。我想绘制下面的图表，该图表来自 Zassenhaus 的蝴蝶引理。

图中 $K$ 是群 $(G'\cap H)(G\cap H')$。我没有把它写在那里，因为我觉得它会让图表变得混乱，让那些看到它并帮助我在这个网站上的人看不懂。

我不太熟悉 LaTeX。到目前为止，我的代码结构如下。

\documentclass[12pt, a4paper]{book}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[margin=0.6in]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[none]{hyphenat}
\usepackage{amssymb, tikz}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{physics}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{fourier-orns}
\usepackage{tikz-cd}
\usepackage{blindtext}
\usepackage{mathtools}

\usepackage{pdfrender,xcolor}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{crimson}

\setlength{\parskip}{0.3em}
\setlength{\parindent}{2em}
\newcommand\bulletpoint[1][.5]{\mathbin{\vcenter{\hbox{\scalebox{#1}{$\bullet$}}}}}
\newcommand\proofend[1][.75]{\mathbin{\vcenter{\hbox{\scalebox{#1}{$\qed$}}}}}
\newcommand\Thicc{\fontsize{35}{50}\selectfont}
\newcommand\textbox[1]{%
  \parbox{.404\textwidth}{#1}%
}
\newcommand\textbonk[1]{%
  \parbox{.333\textwidth}{#1}%
}

\newcommand{\mysetminusD}{\hbox{\tikz{\draw[line width=0.6pt,line cap=round] (3pt,0) -- (0,6pt);}}}
\newcommand{\mysetminusT}{\mysetminusD}
\newcommand{\mysetminusS}{\hbox{\tikz{\draw[line width=0.45pt,line cap=round] (2pt,0) -- (0,4pt);}}}
\newcommand{\mysetminusSS}{\hbox{\tikz{\draw[line width=0.4pt,line cap=round] (1.5pt,0) -- (0,3pt);}}}

\newcommand{\mysetminus}{\mathbin{\mathchoice{\mysetminusD}{\mysetminusT}{\mysetminusS}{\mysetminusSS}}}

\DeclareSymbolFont{AMSa}{U}{msa}{m}{n}
\DeclareMathSymbol{\normal}{\mathrel}{AMSa}{"45}

\let\l\langle
\let\r\rangle
\let\phi\varphi
\let\varphi\phi

\makeatletter
\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
  \hskip -\arraycolsep
  \let\@ifnextchar\new@ifnextchar
  \array{#1}}
\makeatother

\begin{document}
\emergencystretch 1em
\pdfrender{StrokeColor=black,TextRenderingMode=2,LineWidth=0.4pt}

\[\begin{tikzcd}[column sep=30pt]G\arrow[d,"\,"]&\,&H\arrow[d,"\,"]\\G'(G\cap H)\arrow[dd,"\,"]\arrow[dr,"\,"]&\,&(G\cap H)H'\arrow[dd,"\,"]\arrow[dl,"\,"]\\\,&G\cap H\arrow[dd,"\,"]&\,\\G'(G\cap H')\arrow[dr,"\,"]&\,&(G'\cap H)H'\arrow[dl,"\,"]\\\,&K&\,\end{tikzcd}\]

\end{document}

请帮我画一下。任何帮助我都会非常感激。

编辑：很抱歉，我不知道这里的社区重视在寻求帮助之前先查看原始发帖人的尝试。我根据我对 LaTeX 的有限了解，做了一些力所能及的事情。当然，我不希望它们是箭头，我希望交叉点是点，而不是组本身的符号。

答案1

我认为，使用纯 Ti 可以更好地完成此操作钾对于我来说，使用 Ztikz-cd需要进行太多调整：

\documentclass[border=10pt]{standalone}
\usepackage{tikz}

\tikzset{
    node/.style={
        circle,
        fill,
        inner sep=1.5pt
    },
    font=\footnotesize
}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}

    \node[node, label={above right:$G$}] (G1) at (0,0.5) {};
    \node[node, label={above left:$H$}] (H1) at (3,0.5) {};

    \node[node, label={left:$G'(G \cap H)$}] (G2) at (0,0) {};
    \node[node, label={[label distance=5pt]above:$G \cap H$}] (GH2) at (1.5,-1) {};
    \node[node, label={right:$(G \cap H)H'$}] (H2) at (3,0) {};

    \node[node, label={left:$G'(G \cap H')$}] (G3) at (0,-1.5) {};
    \node[node, label={below:$K$}] (GH3) at (1.5,-2.5) {};
    \node[node, label={right:$(G \cap H')H'$}] (H3) at (3,-1.5) {};

    \node[node, label={left:$G'$}] (G4) at (-1,-2.25) {};
    \node[node, label={below:$G' \cap H$}] (G5) at (0.5,-3.25) {};
    \node[node, label={right:$H'$}] (H4) at (4,-2.25) {};
    \node[node, label={below:$G \cap H'$}] (H5) at (2.5,-3.25) {};
    
    \draw 
        (G1) -- (G2) 
        (H1) -- (H2) 
        (G2) -- (G3) node[midway] {$=$}
        (H2) -- (H3) node[midway] {$=$}
        (GH2) -- (GH3) node[midway] {$=$}
        (G2) -- (GH2) -- (H2)
        (G3) -- (GH3) -- (H3)
        (G3) -- (G4) -- (G5) -- (GH3)
        (H3) -- (H4) -- (H5) -- (GH3);
 
\end{tikzpicture}
\end{document}

在此处输入图片描述

这可能还可以进一步简化。

用箭头和大头针代替标签来$K$表达实际含义（但我不知道这种安排是否正确）：

\documentclass[border=10pt]{standalone}
\usepackage{tikz}

\tikzset{
    node/.style={
        circle,
        fill,
        inner sep=1.5pt
    },
    font=\footnotesize,
    every pin edge/.style={
        very thin,
        shorten <=2pt
    }
}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}

    \node[node, label={above right:$G$}] (G1) at (0,0.5) {};
    \node[node, label={above left:$H$}] (H1) at (3,0.5) {};

    \node[node, label={left:$G'(G \cap H)$}] (G2) at (0,0) {};
    \node[node, label={[label distance=5pt]above:$G \cap H$}] (GH2) at (1.5,-1) {};
    \node[node, label={right:$(G \cap H)H'$}] (H2) at (3,0) {};

    \node[node, label={left:$G'(G \cap H')$}] (G3) at (0,-1.5) {};
    \node[node, pin={[pin distance=1.5cm]below:$(G'\cap H)(G\cap H')$}] (GH3) at (1.5,-2.5) {};
    \node[node, label={right:$(G \cap H')H'$}] (H3) at (3,-1.5) {};

    \node[node, label={left:$G'$}] (G4) at (-1,-2.25) {};
    \node[node, label={below:$G' \cap H$}] (G5) at (0.5,-3.25) {};
    \node[node, label={right:$H'$}] (H4) at (4,-2.25) {};
    \node[node, label={below:$G \cap H'$}] (H5) at (2.5,-3.25) {};

    \draw[->] (G1) -- (G2);
    \draw[->] (H1) -- (H2);
    \draw[->] (G2) -- (G3) node[midway] {$=$};
    \draw[->] (H2) -- (H3) node[midway] {$=$};
    \draw[->] (G2) -- (GH2);
    \draw[->] (H2) -- (GH2);
    \draw[->] (GH2) -- (GH3) node[midway] {$=$};
    \draw[->] (G3) -- (G4);
    \draw[->] (H3) -- (H4);
    \draw[->] (G3) -- (GH3);
    \draw[->] (H3) -- (GH3);
    \draw[->] (G4) -- (G5);
    \draw[->] (H4) -- (H5);
    \draw[->] (GH3) -- (G5);
    \draw[->] (GH3) -- (H5);
    
\end{tikzpicture}
\end{document}

在此处输入图片描述

答案2

相同的想法，但是 Jasper 更快:)

但是，Tikz您也可以通过不同的方式实现相同的视觉效果。因此，也许您可​​以从这里采用其他方法。

1. 保持简单

考虑到初学者，Tikz我不会一次性使用所有技巧：有时很难始终正确编写较短的代码。因此，我故意采用更多代码行的方法来获得更清晰的结果。

我有意专注于左半部分，因为它对称且易于完成。

将一些节点名称放入草图中可能是一个好主意：

草图

2. 将节点设置为圆形

即通过带有空文本的节点构建您的点网络。样式dot将定义所需的所有细节。

    % ~~~ some nodes containing no text ~~~~~~~~~~
    \node[dot] (A)  at ( 0  , 0)    {};
    \node[dot] (G)  at (-2  , 1)    {};
...

3. 画出所有普通线条

即那些中间没有勾号的：

    % ~~~ ordinary connecting lines ~~~~~~~~
    \draw (G)  -- (B1);
    \draw (B1) -- (A);
...

4. 绘制勾线

有很多方法可以做到这一点。在这里我要求 Tikz：

  • draw从A到K
  • 并在结束此路径之前通过;
  • 放node midway一些有用的文字
    % ~~~ special connecting lines ~~~~~~~~
    \draw (B1) -- (C1)  node[midway] {$=$};
    \draw (A)  -- (K)   node[midway] {$=$};

5. 最后，贴上所有数学标签

没什么大不了的。剩下唯一需要解释的就是那些自定义的样式。

    % ~~~ placing all those math labels ~~~~~~
    \node[abv] at (A)   {$G \cap H$};
    \node[rgt] at (G)   {$G$};
...

6. 自定义样式

这里它们在 tikzpicture 的开头用[ ]括号括起来定义：

  • dot只绘制节点的外部形状，其中有空文本，因此看起来像一个圆圈
  • abv并bel用于yshift将带有数学标签文本的节点放置得更整齐
  • rgt并lft使用引用节点的左（西）侧和右（东）侧，即模仿 LaTeX 中的 raggedright 和 raggedleft
 \begin{tikzpicture}[% defining some styles
    dot/.style={shape=circle,%                  the dots
                minimum size=2pt,inner sep=0,%  "radius 2pt"
                fill=black,draw,
                },
    abv/.style={yshift=3mm},%       above = shifting up
    bel/.style={yshift=-3mm},%      below = shifting down
    rgt/.style={anchor=west},%      right sides are anchored
    lft/.style={anchor=east},%      left sides are anchored
    ]

结果（左半部分）

结果

代码

\documentclass[10pt,border=3mm,tikz]{standalone}
% better class for development
% loads Tikz already, as specified

\begin{document}

 \begin{tikzpicture}[% defining some styles
    dot/.style={shape=circle,%                  the dots
                minimum size=2pt,inner sep=0,%  "radius 2pt"
                fill=black,draw,
                },
    abv/.style={yshift=3mm},%       above = shifting up
    bel/.style={yshift=-3mm},%      below = shifting down
    rgt/.style={anchor=west},%      right sides are anchored
    lft/.style={anchor=east},%      left sides are anchored
    ]
    % ~~~ some nodes containing no text ~~~~~~~~~~
    \node[dot] (A)  at ( 0  , 0)    {};
    \node[dot] (G)  at (-2  , 1)    {};
    \node[dot] (B1) at (-2  , .5)   {};
    \node[dot] (C1) at (-2  ,-1.5)  {};
    \node[dot] (K)  at ( 0  ,-2)    {};
    \node[dot] (D1) at (-3  ,-3)    {};
    \node[dot] (E1) at (-1.5,-3.51) {};
    
    % ~~~ ordinary connecting lines ~~~~~~~~
    \draw (G)  -- (B1);
    \draw (B1) -- (A);
    \draw (C1) -- (D1);
    \draw (C1) -- (K);
    \draw (D1) -- (E1);
    \draw (E1) -- (K);
    
    % ~~~ special connecting lines ~~~~~~~~
    \draw (B1) -- (C1)  node[midway] {$=$};
    \draw (A)  -- (K)   node[midway] {$=$};
    
    % ~~~ placing all those math labels ~~~~~~
    \node[abv] at (A)   {$G \cap H$};
    \node[rgt] at (G)   {$G$};
    \node[bel] at (K)   {$K$};
    \node[lft] at (B1)  {$G'(G \cap H)$};
    \node[lft] at (C1)  {$G'(G \cap H')$};
    \node[lft] at (D1)  {$G'$};
    \node[bel] at (E1)  {$G' \cap H$};
    
 \end{tikzpicture}

\end{document}

PS（关于编程策略）

考虑到对称的右半部分，您现在也可以在扩展代码时很容易地反映它，例如像这样：

...
    \node[dot] (G)  at (-2  , 1)    {}; \node[dot] (H)  at ( 2  , 1)    {};
...
    \draw (G)  -- (B1);  \draw (H)  -- (B2);
    \draw (B1) -- (A);   \draw (B2) -- (A);
...

这样，您就可以在代码中反映出图形的对称性，并且只需查看代码就可以进行一种错误预防，至少是错误最小化的控制：如果它不对称，而它应该是对称的，那么我做错了什么......

顺便说一句，defensive or reserved programming approach我倾向于这样称呼它，它更容易用短代码行（即非复杂代码）进行编码。但这是否是一件好事取决于很多因素。

答案3

这不是“如何绘制蝴蝶图？”的确切答案，但希望可以回答一般性问题。我认为使用 GUI（图形用户界面）绘制图表更容易。

存在一些工具，例如颤动或者tikzcd-编辑器，您可以在其中以相当直观的方式绘制图表并将结果导出为 Latex 代码。

答案4

因为你没有说你想用 Ti 画这个钾Z，下面是使用该包的解决方案l3draw（该包的功能非常基础，因此必须定义一些函数以使其方便）：

\documentclass[border=10pt]{standalone}
\usepackage{l3draw}

\begin{document}
\ExplSyntaxOn

\tl_new:N \l_zassenhaus_node_size_tl
\tl_set:Nn \l_zassenhaus_node_size_tl { 3pt }

\tl_new:N \l_zassenhaus_label_distance_tl
\tl_set:Nn \l_zassenhaus_label_distance_tl { 5pt }

\tl_new:N \l_zassenhaus_pin_distance_tl
\tl_set:Nn \l_zassenhaus_pin_distance_tl { 1.5cm }

\tl_new:N \l_zassenhaus_pin_sep_tl
\tl_set:Nn \l_zassenhaus_pin_sep_tl { 5pt }

\tl_new:N \l_zassenhaus_label_pin_hpole_tl
\tl_set:Nn \l_zassenhaus_label_hpole_tl { hc }

\tl_new:N \l_zassenhaus_label_pin_vpole_tl
\tl_set:Nn \l_zassenhaus_label_vpole_tl { vc }

\cs_new:Nn \l_zassenhaus_set_label_pin_anchor:nn {
    \tl_set:Nn \l_zassenhaus_label_pin_hpole_tl { #1 }
    \tl_set:Nn \l_zassenhaus_label_pin_vpole_tl { #2 }
}

\cs_generate_variant:Nn \draw_coffin_use:Nnn { Nee }

\cs_new:Nn \l_zassenhaus_draw_node_label:nnnn {
    \tl_new:c { l__zassenhaus_draw_node_ #1 _tl }
    \tl_set:cn { l__zassenhaus_draw_node_ #1 _tl } { #2 }
    \draw_scope_begin:
        \draw_transform_shift:n { #2 }
        \draw_path_circle:nn { 0cm , 0cm } { \l_zassenhaus_node_size_tl / 2 }
        \draw_path_use_clear:n { fill }
        \hcoffin_set:Nn \l_tmpa_coffin { \footnotesize #3 }
        \draw_scope_begin:
            \draw_transform_shift:n { 
                \draw_point_polar:nn { \l_zassenhaus_label_distance_tl } { #4 } 
            }
            \draw_coffin_use:Nee \l_tmpa_coffin 
                { \l_zassenhaus_label_pin_hpole_tl } { \l_zassenhaus_label_pin_vpole_tl }
        \draw_scope_end:
    \draw_scope_end:
}

\cs_new:Nn \l_zassenhaus_draw_node_pin:nnnn {
    \tl_new:c { l__zassenhaus_draw_node_ #1 _tl }
    \tl_set:cn { l__zassenhaus_draw_node_ #1 _tl } { #2 }
    \draw_scope_begin:
        \draw_transform_shift:n { #2 }
        \draw_path_circle:nn { 0cm , 0cm } { \l_zassenhaus_node_size_tl / 2 }
        \draw_path_use_clear:n { fill }
        \draw_path_moveto:n { \draw_point_polar:nn { \l_zassenhaus_pin_sep_tl } { #4 } }
        \draw_path_lineto:n { \draw_point_polar:nn 
            { \l_zassenhaus_pin_distance_tl - \l_zassenhaus_pin_sep_tl } { #4 } }
        \draw_path_use_clear:n { stroke }
        \hcoffin_set:Nn \l_tmpa_coffin { \footnotesize #3 }
        \draw_scope_begin:
            \draw_transform_shift:n { 
                \draw_point_polar:nn { \l_zassenhaus_pin_distance_tl } { #4 } 
            }
            \draw_coffin_use:Nee \l_tmpa_coffin 
                { \l_zassenhaus_label_pin_hpole_tl } { \l_zassenhaus_label_pin_vpole_tl }
        \draw_scope_end:
    \draw_scope_end:
}

\cs_new:Nn \l_zassenhaus_draw_pin:nn {
    \draw_begin:
        \draw_path_moveto:n { 0cm , 0cm }
        \draw_path_lineto:n { \draw_point_polar:nn { \l_zassenhaus_pin_distance_tl } { #2 } }
        \draw_path_use_clear:n { stroke }
        \hcoffin_set:Nn \l_tmpa_coffin { \footnotesize #1 }
        \draw_scope_begin:
            \draw_transform_shift:n { 
                \draw_point_polar:nn { \l_zassenhaus_pin_distance_tl } { #2 } 
            }
            \draw_coffin_use:Nee \l_tmpa_coffin 
                { \l_zassenhaus_label_pin_hpole_tl } { \l_zassenhaus_label_pin_vpole_tl }
        \draw_scope_end:
    \draw_end:
}

\cs_new:Nn \l_zassenhaus_use_node_coordinate:n {
    \tl_use:c { l__zassenhaus_draw_node_ #1 _tl }
}

\cs_new:Nn \l_zassenhaus_connect_nodes:n {
    \clist_set:Nn \l_tmpa_clist { #1 } 
    \clist_pop:NN \l_tmpa_clist \l_tmpa_tl
    \draw_path_moveto:n { \l_zassenhaus_use_node_coordinate:n { \l_tmpa_tl } }
    \clist_map_inline:Nn \l_tmpa_clist {
        \draw_path_lineto:n { \l_zassenhaus_use_node_coordinate:n { ##1 } }
    }
    \draw_path_use_clear:n { stroke }
}

\cs_new:Nn \l_zassenhaus_connect_nodes_doublestruck:nn {
    \draw_path_moveto:n { \l_zassenhaus_use_node_coordinate:n { #1 } }
    \draw_path_lineto:n { \l_zassenhaus_use_node_coordinate:n { #2 } }
    \draw_path_use_clear:n { stroke }
    \draw_scope_begin:
        \draw_transform_shift:n { 
             \draw_point_interpolate_line:nnn { 0.5 } {
                \l_zassenhaus_use_node_coordinate:n { #1 }
             } {
                \l_zassenhaus_use_node_coordinate:n { #2 }
             }
        }
        \draw_path_moveto:n { -4pt , 1pt }
        \draw_path_lineto:n { 4pt , 1pt }
        \draw_path_use_clear:n { stroke }
        \draw_path_moveto:n { -4pt , -1pt }
        \draw_path_lineto:n { 4pt , -1pt }
        \draw_path_use_clear:n { stroke }   
    \draw_scope_end:
}

\draw_begin:
    \l_zassenhaus_set_label_pin_anchor:nn { l } { b }
    \l_zassenhaus_draw_node_label:nnnn { Ga } { 0cm , 0.5cm } { $G$ } { 45 } 
    \l_zassenhaus_set_label_pin_anchor:nn { r } { b }
    \l_zassenhaus_draw_node_label:nnnn { Ha } { 3cm , 0.5cm } { $H$ } { 135 } 

    \l_zassenhaus_set_label_pin_anchor:nn { r } { vc }
    \l_zassenhaus_draw_node_label:nnnn { Gb } { 0cm , 0cm } { $G'(G \cap H)$ } { 180 } 
    \tl_set:Nn \l_zassenhaus_label_distance_tl { 10pt }
    \l_zassenhaus_set_label_pin_anchor:nn { hc } { b }
    \l_zassenhaus_draw_node_label:nnnn { GHb } { 1.5cm , -1cm } { $G \cap H$ } { 90 } 
    \tl_set:Nn \l_zassenhaus_label_distance_tl { 5pt }
    \l_zassenhaus_set_label_pin_anchor:nn { l } { vc }
    \l_zassenhaus_draw_node_label:nnnn { Hb } { 3cm , 0cm } { $(G \cap H)H'$ } { 0 } 

    \l_zassenhaus_set_label_pin_anchor:nn { r } { vc }
    \l_zassenhaus_draw_node_label:nnnn { Gc } { 0cm , -1.5cm } { $G'(G \cap H')$ } { 180 } 
    \l_zassenhaus_set_label_pin_anchor:nn { hc } { t }
    \l_zassenhaus_draw_node_pin:nnnn { GHc } { 1.5cm , -2.5cm } { $(G'\cap H)(G\cap H')$ } { 270 } 
    \l_zassenhaus_set_label_pin_anchor:nn { l } { vc }
    \l_zassenhaus_draw_node_label:nnnn { Hc } { 3cm , -1.5cm } { $(G \cap H')H'$ } { 0 } 

    \l_zassenhaus_set_label_pin_anchor:nn { r } { vc }
    \l_zassenhaus_draw_node_label:nnnn { Gd } { -1cm , -2.25cm } { $G'$ } { 180 } 
    \l_zassenhaus_set_label_pin_anchor:nn { hc } { t }
    \l_zassenhaus_draw_node_label:nnnn { Ge } { 0.5cm , -3.25cm } { $G' \cap H$ } { 270 } 
    \l_zassenhaus_set_label_pin_anchor:nn { l } { vc }
    \l_zassenhaus_draw_node_label:nnnn { Hd } { 4cm , -2.25cm } { $H'$ } { 0 } 
    \l_zassenhaus_set_label_pin_anchor:nn { hc } { t }
    \l_zassenhaus_draw_node_label:nnnn { He } { 2.5cm , -3.25cm } { $G \cap H'$ } { 270 } 
    
    \l_zassenhaus_connect_nodes:n { Ga , Gb , GHb , Hb , Ha } 
    \l_zassenhaus_connect_nodes:n { Gd , Gc , GHc , Hc , Hd , He , GHc , Ge , Gd }
    \l_zassenhaus_connect_nodes_doublestruck:nn { Gb } { Gc }
    \l_zassenhaus_connect_nodes_doublestruck:nn { Hb } { Hc }
    \l_zassenhaus_connect_nodes_doublestruck:nn { GHb } { GHc }
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