如何在数学模式中正确对齐和留空？

Question

你好，我该如何纠正这个问题？

这是我的代码。谢谢大家

代码：

\chapter{Méthodes de différences finies}
\section{Conditions initiales de Dirichlet}
\subsection{Algorithme numérique}
On suppose que le domaine d'étude $\Omega = ]0,1[$ et le pas $h=\frac{1}{N+1}$ avec $N \in \mathbb{N^*} $
%representation du domaine
\[
\left\{
\begin{array}{r c l}
-f''(x) + f(x) &=& 10 sin(3x)\quad \forall  x \in ]0,1[\\
f(0)&=&0\\
f(1)&=&sin(3)
\end{array}
\right.
\]
En appliquant la formule de Taylor au 2éme ordre 
\begin{equation}
    f(x_i+h) = f(x_i) + h\times f'(x_i)+ \frac{h^2}{2} \times f''(x_i) + o(h^2)
\end{equation}
\begin{equation}
    f(x_i-h) = f(x_i) - h\times f'(x_i)+ \frac{h^2}{2} \times f''(x_i) + o(h^2)
\end{equation}
D'où on obtient la solution du système précédant
\begin{equation*}
    f''(x_i)=\frac{-2f(x_i)+f(x_i+h)+f(x_i-h)}{h^2}
\end{equation*}
\subsubsection{Pour i = 1}
\begin{equation*}
    g(x_1)+\frac{f(x_0)}{h^2}=\frac{(-2+h^2)f(x_1)-f(x_2)}{h^2}
\end{equation*}
\subsubsection{Pour i = N}
\begin{equation*}
    g(x_{N})+\frac{f(x_{N-1})}{h^2}=\frac{(-2+h^2)f(x_{N})-f(x_{N+1})}{h^2}
\end{equation*}
Avec
\begin{equation*}
    g(x_{i})=\frac{(-2+h^2)f(x_{i})-f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{h^2} \quad
    \forall i \in \mathbb{N^*}
\end{equation*}
Donc finalement on aura le système matriciel 
\begin{equation*} 
\begin{aligned}
AU=B \\[2pt] 
\Updownarrow \\[2pt]
\end{aligned}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\frac{1}{h^2} 
\begin{pmatrix} 2+h^2&-1&0&\dots&\dots&0 \\ -1&2+h^2&-1&\dots&\dots&0\\0&-1&\ddots&\ddots&\dots&0
\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&&\vdots
\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&&\vdots
\\&&&&2+h^2&-1
\\ 0&\dots&\dots&0&-1&2+h^2
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
    f(x_1)\\f(x_2)\\ \vdots \\ \vdots  \\f(x_{N-2}) \\f(x_{N-1}) \\f(x_N) 
    \end{pmatrix} = 
    \begin{pmatrix}
     g(x_{1})+\frac{f(x_{0})}{h^2}\\g(x_2)\\ \vdots \\ \vdots  \\g(x_{N-2}) \\g(x_{N-1}) \\g(x_{N})+\frac{f(x_{N-1})}{h^2}
    \end{pmatrix}
 \end{aligned}
\end{equation*}
\subsection{Programmation sur Matlab}strong text

Answer 1

这是对齐方程的众多方法之一。

此示例可以适用于您的情况

\documentclass{article}                     
\usepackage{amsmath}

\begin{document}

\begin{equation}
\begin{matrix}
    A&U&=&B\\[0.25cm]
    %
    &&\Updownarrow& \\[0.25cm]
    %
    \dfrac{1}{h^2}
    \begin{pmatrix} % matrix A
        a&b&c&d\\
        a&b&c&d\\
        a&b&c&d\\
        a&b&c&d\\
    \end{pmatrix}
    %
    &\begin{pmatrix} % vector U
        a\\b\\c\\d
    \end{pmatrix}
    %
    &=
    %
    &\begin{pmatrix} % vector B
       a\\b\\c\\d
    \end{pmatrix}
    %
\end{matrix}
\end{equation}

\end{document}

Answer 2

这是我的建议。

1. 我使用mathtools'，psmallmatrix以便等式不会太宽。Overfull \hbox应该避免，即使它只是一个警告。
2. 我认为连续的两条\cdots或\vdots几条线是必要的；一条就够了。
3. \Updownarrow我认为，在这种情况下我们不应该使用。

\documentclass{book}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\begin{document}
\chapter{Méthodes de différences finies}
\section{Conditions initiales de Dirichlet}
\subsection{Algorithme numérique}
On suppose que le domaine d'étude $\Omega = ]0,1[$ et le pas $h=\frac{1}{N+1}$ avec $N \in \mathbb{N^*} $
%representation du domaine
\[
\left\{
\begin{array}{r c l}
-f''(x) + f(x) &=& 10 sin(3x)\quad \forall  x \in ]0,1[\\
f(0)&=&0\\
f(1)&=&sin(3)
\end{array}
\right.
\]
En appliquant la formule de Taylor au 2éme ordre 
\begin{equation}
    f(x_i+h) = f(x_i) + h\times f'(x_i)+ \frac{h^2}{2} \times f''(x_i) + o(h^2)
\end{equation}
\begin{equation}
    f(x_i-h) = f(x_i) - h\times f'(x_i)+ \frac{h^2}{2} \times f''(x_i) + o(h^2)
\end{equation}
D'où on obtient la solution du système précédant
\begin{equation*}
    f''(x_i)=\frac{-2f(x_i)+f(x_i+h)+f(x_i-h)}{h^2}
\end{equation*}
\subsubsection{Pour i = 1}
\begin{equation*}
    g(x_1)+\frac{f(x_0)}{h^2}=\frac{(-2+h^2)f(x_1)-f(x_2)}{h^2}
\end{equation*}
\subsubsection{Pour i = N}
\begin{equation*}
    g(x_{N})+\frac{f(x_{N-1})}{h^2}=\frac{(-2+h^2)f(x_{N})-f(x_{N+1})}{h^2}
\end{equation*}
Avec
\begin{equation*}
    g(x_{i})=\frac{(-2+h^2)f(x_{i})-f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{h^2} \quad
    \forall i \in \mathbb{N^*}
\end{equation*}
Donc finalement on aura le système matriciel 
\begin{equation*} 
AU=B \Leftrightarrow \begin{aligned}
\frac{1}{h^2} 
\begin{psmallmatrix} 
2+h^2&-1&0&\dots&\dots&0 \\ -1&2+h^2&-1&\dots&\dots&0\\0&-1&\ddots&\ddots&\dots&0
\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&&\vdots
\\&&&&2+h^2&-1
\\ 0&\dots&\dots&0&-1&2+h^2
    \end{psmallmatrix}
    \begin{psmallmatrix}
    f(x_1)\\f(x_2)\\ \vdots \\f(x_{N-2}) \\f(x_{N-1}) \\f(x_N) 
    \end{psmallmatrix} = 
    \begin{psmallmatrix}
     g(x_{1})+\frac{f(x_{0})}{h^2}\\g(x_2)\\ \vdots \\ g(x_{N-2}) \\g(x_{N-1}) \\g(x_{N})+\frac{f(x_{N-1})}{h^2}
    \end{psmallmatrix}
 \end{aligned}
\end{equation*}
\subsection{Programmation sur Matlab}strong text
\end{document}

结果：