对偶对的括号（在功能分析中）

Question

在泛函分析中，人们偶尔会考虑所谓的双对（一对向量空间，通过非退化双线性映射到基场而连接在一起）。我通常使用\langle和来排版这些，但似乎所有泛函分析教科书都对此使用了略有不同的符号。（见下面的示例。）形状与和\rangle非常相似，但两条腿之间的角度明显较小。因此，字形稍宽一些。\langle\rangle

我如何在 LaTeX 中重现这个符号？

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样品：

1. LaTeX 与\langle和\rangle：

   

2. HH Schaefer 和 MP Wolff 一起，拓扑向量空间，第二版（1999），第 123 页：

   

3. 沃尔特·鲁丁，功能分析，第二版（1991年），第93页：

   

4. 约翰·B·康威，泛函分析教程(1985)，第 127 页：

   

5. Gert K. Pedersen，立即分析，更正后第二次印刷（1995 年），第 59 页：

   

6. Mahlon M. Day，赋范线性空间，第二次印刷更正（1962 年），第 8 页：

   

... 这样的例子不胜枚举。

Answer 1

为了适应默认字体的样式，您可以使用字体。以下是如何在不覆盖默认字体的情况下mathabx使用langle, \ranglefrom 。我添加了一个宏，它使用 mathabx 符号，并且如果需要，它的大小是可变的，这要归功于from 命令：mathabx\BraketDeclarePairedDelimitermathtools

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}

 \DeclareFontFamily{U}{matha}{\hyphenchar\font45}
 \DeclareFontShape{U}{matha}{m}{n}{ <-6> matha5 <6-7> matha6 <7-8>
 matha7 <8-9> matha8 <9-10> matha9 <10-12> matha10 <12-> matha12 }{}
 \DeclareSymbolFont{matha}{U}{matha}{m}{n}

 \DeclareMathSymbol{\mylangle}{\mathopen}{matha}{"78}
 \DeclareMathSymbol{\myrangle}{\mathclose}{matha}{"79}

 \DeclareMathSymbol{\asymp}{\mathrel}{matha}{"16}
\DeclareMathSymbol{\notasymp}{\mathrel}{matha}{"1E}

\DeclareFontFamily{U}{mathx}{\hyphenchar\font45}
\DeclareFontShape{U}{mathx}{m}{n}{
<-6> mathx5 <6-7> mathx6 <7-8> mathx7
<8-9> mathx8 <9-10> mathx9
<10-12> mathx10 <12-> mathx12
}{}
\DeclareSymbolFont{mathx}{U}{mathx}{m}{n}
\DeclareFontSubstitution{U}{mathx}{m}{n}
\DeclareMathDelimiter{\Langle}{\mathopen}{matha}{"78}
                                        {mathx}{"40}
\DeclareMathDelimiter{\Rangle}{\mathclose}{matha}{"79}
                                        {mathx}{"44}

\DeclarePairedDelimiter{\Braket}\Langle\Rangle

\begin{document}


\[ \Braket*{ x, \varphi } \]%
\[ \langle x, \varphi \rangle\]%
\[ \Braket[\big]{x, \varphi} \]%

\end{document} 

Answer 2

这里我可以举几个例子。

1）与mtpro2，v. lite（无报酬）：

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[lite]{mtpro2}
%\usepackage{newtxtext,newtxmath}
\usepackage{braket}
\begin{document}
$\braket{F,G}$, 
$\braket{x,x^{*}}$, $\braket{x,\varphi}$, $\braket{x,y}$
\end{document}

如果您使用专业版，您将获得以下信息：

2）使用newtxmath你将拥有相同的特征\usepackage[lite]{mtpro2}：https://www.pctex.com/mtpro2.html

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{newtxtext,newtxmath}
\usepackage{braket}
\begin{document}
$\braket{F,G}$, 
$\braket{x,x^{*}}$, $\braket{x,\varphi}$, $\braket{x,y}$
\end{document}

3）相反，使用fourier选项：

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{fourier}
\usepackage{braket}
\begin{document}
$\braket{F,G}$, 
$\braket{x,x^{*}}$, $\braket{x,\varphi}$, $\braket{x,y}$
\end{document}

4）和mathpazo：

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{mathpazo}
\usepackage{braket}
\begin{document}
$\braket{F,G}$, 
$\braket{x,x^{*}}$, $\braket{x,\varphi}$, $\braket{x,y}$
\end{document}

此链接中有支持数学的 LaTeX 字体目录。 https://tug.dk/FontCatalogue/mathfonts.html。

有必要解释一下某些数学字体的使用XeLaTeX（https://it.overleaf.com/learn/latex/XeLaTeX） 或者LuaLaTeX（http://www.luatex.org/）。

Answer 3

在现代工具链中unicode-math，您可以使用 选择所需的不同数学字体。符号列表\langle包括和的六个不同版本的示例\rangle。您也可以查看\lcurvyangle和\rcurvyangle。

例如，这里是使用 STIX Two Math 的输出，您也可以通过包在 PDFLaTeX 中使用它stix2。

还可以混合搭配不同数学字体的符号。下面是一个仅使用 STIX Two 的尖括号和默认数学字体 Latin Modern Math 的示例：

\documentclass{article}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{unicode-math}

\setmathfont{Latin Modern Math}
\setmathfont[range={\langle,\rangle},
             Scale=MatchUppercase
            ]{STIX Two Math}

\begin{document}
\( \langle x, \varphi \rangle \)
\end{document}

口味不同。例如，Day 的书似乎是在 Palatino 设定的，今天你可以用 Asana Math 或 TeX Gyre Pagella Math 来近似它。