为什么表达式 exp(i*pi) 在 GNU Octave 中返回错误的结果？

Question

今天开始学习GNU Octave，尝试了手册中给出的第一个表达式

exp(i*pi)

结果是

ans = -1.0000e+000 + 1.2246e-016i

而且 GNU Scientific Library 似乎也给出了类似的结果。

那么这是 Octave 的错误，还是数值分析软件的一般问题（符号评估软件肯定会给出确切的答案）？

Answer 1

这不是两者的缺陷，而是由于计算机执行浮点运算的方式。任何计算机能够操作的精度都是有限的，所以你有时会看到这样的异常。虽然可以编写可以处理这种情况的软件，但这将花费更多的计算时间并大幅增加内存需求。

如果你看一下，e^(i*pi) 返回 -1 + 1.2x10^-16i。如你所见，虚部非常小（大多数人认为它可以忽略不计，因为它比实部小 16 个数量级）。该分量是由舍入和精度误差引入的，既有计算本身的误差，也有 pi 的存储值，因为它是无理数（见此链接另一个例子是处理无理数）。

如果这种计算错误是不可接受的，你应该研究执行符号而不是数值分析的数学包，或者使用高精度浮点数。这些的缺点是它们会大大增加你的内存需求，而符号分析通常要慢得多。此外，更高精度的数字只会缩小舍入/精度误差的幅度，不是消灭它们。