计算在多次尝试中出现特定次数成功结果的概率，每次尝试都有独立的几率

Question

我正在尝试计算一组具有独立几率的独特场景中成功结果的确切数量的概率。例如，我有 12 列，每列代表一种场景。有 2 行，1 行表示成功的几率，1 行表示每次尝试失败的几率。我该怎么做才能找到 6 次成功和 6 次失败的任意组合的几率？或者每个场景尝试 1 次，7 次成功和 5 次失败的几率？

	场景 1	场景 2	场景 3	场景 4	场景 5	场景 6	场景 7	场景 8	场景 9	场景 10	场景 11	场景 12
成功	.45	.65	.50	.40	.30	.45	.70	.75	.50	.90	.50	.25
失败	.55	.35	.50	.60	.70	.55	.30	.25	.50	.10	.50	.75

最终，我的目标是制作一个条形图，显示经过每种场景一次后成功特定次数的概率。该图的 x 轴将从显示 0 次成功尝试的概率开始，一直到显示所有 12 次成功尝试的概率。

例如，我知道在经历所有 12 种情况后，成功尝试次数为 0 的几率是通过将每种情况的失败几率相乘来计算的：=Product(.55, .35, .50, .60, .70, .55, .30, .25, .50, .10, .50, .75)= .003%

一旦你投入一些成功，它会增加更多的结果组合，我需要将导致 3 次成功的每个可能结果的乘积相加。

我开始尝试手动计算成功和失败的每种组合的结果乘积，但很快意识到 6 次成功会有 924 种组合，不幸的是我没有那么多时间。我可以使用 Excel 中的哪些工具或功能使这更可行？

Answer 1

正如您正确指出的那样，有 924 种可能性，其中 6 次成功，6 次失败。如果每种情况的成功概率相同，那么您可以使用二项分布（函数 BINOM.DIST）来计算所需的概率值。（顺便说一句，您对“几率”一词的使用是不正确的。从技术上讲，事件发生的几率是事件发生的概率与不发生的概率之比。）

不幸的是，由于每种方案的成功概率都不同，因此无法使用内置函数轻松计算概率。不过，使用 Excel 计算所需值并不太难。

最简单的方法可能是认识到有 4096 种不同的可能性，从所有 12 种情况都失败到所有 12 种情况都成功。之所以有 4096 种，是因为 12 种情况中的每一种都可能是成功或失败，这意味着可能出现 2^12 = 4096 种不同的结果。这 4096 种可能性可以用 0 到 4095 之间的整数表示，每个整数都可以表示为 12 位二进制数，其中 12 个 0 和 1 分别代表 12 种情况的失败和成功。因此，第一个挑战是找到一种方法将每个整数转换为一组 12 个 0 和 1 的值。0 到 4095 范围内的任何整数（例如 I1）都可以转换为 12 个 0/1 值，如下所示

• 计算第一个 0/​​1 值为 MOD(I1,2)，结果称为 B1
• 计算一个新的整数（例如 I2）为 (I1 - B1)/2
• 计算第二个 0/1 值为 MOD(I2, 2)，并将此结果称为 B2
• 计算一个新的整数（比如 I3）为 (I2-B2)/2 ...（继续这些计算步骤）
• 计算一个新的整数（例如 I12）为 (I11-B11)/2
• 计算第十二个 0/1 值为 MOD(I12/2)，结果为 B12

对于每个整数 I1（取 0 到 4095 之间的可能值），12 个值 B1、B2、…、B12 以相反的顺序表示 I1 的二进制数字。

在 Excel 中将其表示为具有 4096 行和 24 列的矩形数字数组相当简单。行表示 0 到 4095 的整数，前 12 列表示 I1 到 I12 的值，后 12 列表示 B1 到 B12 的 0/1 值，其中 1 表示成功，0 表示失败。

可以添加第 25 列，其中每行的值计算为该行中 12 个 0/1 值 B1,...,B12 的总和。第 25 列仅标识与该行对应的“成功”次数。

现在可以添加另外 12 列（第 26 至 37 列）来表示每种情景结果的概率。如果 Pi 和 Qi 是第 i 种情景的成功和失败概率，那么概率值（例如 Vi）就是 (Pi×Bi)+(Qi×(1-Bi))。现在可以为每一行计算第 38 列，作为该行中 12 个值 V1、V2、...、V12 的乘积（函数 PRODUCT）。这个计算值表示特定成功和失败模式出现的概率。

最后一部分只是计算 n 次成功（和 12-n 次失败）所需的概率，其中 n=0,1,2,...,12。这只是第 38 列中第 25 列值为 n 的行的值的总和（函数 SUMIF 或 SUMIFS）。

如果我在工作簿中正确地输入了概率数据，我计算出 5 位有效数字，6 次成功（原始问题）的概率为 0.23788。