我想修改 Excel PMT 函数以考虑贷款的固定月度提款。例如，如果贷款是信用卡，持卡人可能每月花钱，这将改变偿还贷款所需的每月还款额。
该答案将 PMT 函数的方程指定为P = (Pv*R) / [1 - (1 + R)^(-n)]：https://superuser.com/a/871411
如何修改此公式以包含固定的每月提款？
例如，如果贷款是信用卡，持卡人每月在卡上花费 50 美元，我们如何修改上述公式来解释这一点？贷款期限应该保持不变，但我想计算还清贷款所需的新每月还款额，以解释每月的提款。
答案1
诸如此类的函数PMT让用户无需了解 Excel 财务计算功能背后的数学知识。要了解https://superuser.com/a/871411有必要理解这些数学知识，然后调整它们以应对所概述的场景。
所涉及的基本数学关系是：
v(i+1) = v(i)*(1+r) - p
v(1) = L
v(n+1) = 0
其中，借入金额 L，借期为 n 期，每期利率为 r，支付金额为 p每期结束时.v(i) 是第 i 期初未偿还贷款金额。
第一个关系（方程）
v(i+1) = v(i)*(1+r) - p
简单来说就是，第 i 期期初的未偿还金额加上第 i 期期间产生的利息，再减去第 i 期末的付款金额，得到下一期（第 i+1 期）期初的未偿还金额。
另外两个等式只是说明贷款的开始和结束条件。
请注意，如果付款 p 是在每个期间开始时（而不是结束时）进行的，则第一个等式将变为：
v(i+1) = (v(i)-p)*(1+r)，并且 v(i) 将是第 i 个期间开始时的未偿还金额在付款 p 之前。
下面的分析根据 L、r 和 n 确定 p，并假设付款在每个期间末进行。
数学分析
首先要计算连续期间未偿还贷款金额之间的关系
v(i+1) = v(i)*(1+r) - p [公式 1]
由于公式 1 适用于所有时期，因此
v(i+2) = v(i+1)*(1+r) - p
现在使用公式 1 代入第二个公式中的 v(i+1)，得出
v(i+2) = (v(i)*(1+r) - p) * (1+r) - p
稍加整理，可以写成
v(i+2) = v(i)*(1+r)^2 - p * ((1+r) + 1) [公式 2]
同样，从公式 1 可知
v(i+3) = v(i+2)*(1+r) - p
因此，使用公式 2 代入 v(i+2) 可得出
v(i+3) = (v(i)*(1+r)^2 - p * ((1+r) + 1)) * (1+r) - p
可以重新排列为
v(i+3) = v(i)*(1+r)^3 - p * ((1+r)^2 + (1+r) + 1) [公式 3]
方程 1、2 和 3 分别用 v(i)、r 和 p 表示 v(i+1)、v(i+2) 和 v(i+3)。方程 1、2 和 3 中有一个新出现的模式 (*)，可用于将一般方程 m 写为
v(i+m) = v(i)*(1+r)^m - p * ((1+r)^(m-1) + (1+r)^(m-2) + ... + (1+r) + 1)[方程 m]
p 乘以的因数是一个倒写的有限几何级数。几何级数（谷歌搜索）是每个后续项等于前一项乘以一个常数的和。
对于一般的有限几何级数
S(m) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^(m-1)
有一句众所周知的表达是
S(m) = (x^m - 1)/(x - 1)
在方程 m 中，几何级数倒写，且 x = 1+r，因此方程可简化为
v(i+m) = v(i)*(1+r)^m - p((1+r)^m - 1)/(1+r - 1))
或者，简化最后一个分母项
v(i+m) = v(i)*(1+r)^m - p((1+r)^m - 1))/r [公式 m']
现在，将一般值 m 设置为周期数 n，将 i 设置为 1，并注意边界条件
v(1) = L 和
v(n+1) = 0
这样做可以得到方程 m' 的一个版本
0 = L*(1+r)^n - p((1+r)^n - 1)/r
稍加整理，可以写成
p = (L * r * (1+r)^n)/((1+r)^n - 1)
或者，将右边的分子和分母除以 (1+r)^n
p = (L*r)/(1 - (1+r)^(-n)) [p 公式]
这实际上就是之前找到的公式。
额外借款情景
这里，假设在每个期间（包括第一个期间）开始时，都会借入额外的金额 b。v(i) 现在是第 i 个期间开始时未偿还的贷款金额，在金额 b 加入到贷款之前。
现在的关系
v(i+1) = (v(i)+b)*(1+r) - p
v(1) = L
v(n+1) = 0
应用与上述相同的分析，可以得到方程 m' 的类比
v(i+m) = v(i) * (1+r)^m + b * (1+r)*((1+r)^m - 1)/r - p * ((1+r)^m -1)/r
在应用开始和结束条件之后，经过一些操作就可以解决：
p = (L * r)/(1 - (1+r)^(-n)) + b * (1+r)
可能存在四种不同的情况：付款和借款交易发生时各有两种可能性 - 可以是期间的开始或结束 - 因此两种交易类型各有两种可能性，总共有四种可能性。每种情况都符合上述分析。分析的情景是每期结束时付款，开始时额外借款 - 其余三种可能的情况留给读者练习。
警告
实际上，如果期限是几个月，金融机构通常会使用每日利息计算来识别每个月的期限不同，有些机构（比如 Barclaycard UK）甚至会根据每个月的日期调整利息的计息日期。因此，一般来说，PMT计算和基于上述分析的计算可以合理但并不精确地估计实际情况。
(*)真正的数学家当然不会仅仅依赖对新出现的模式的观察作为“真理”，而是会着手证明（或反驳）该模式的普遍真理。为简单起见，我省略了证明方程 m 普遍正确的证明，但相信我（我有几个数学学位），这个证明是存在的。