如何在圆上的给定点绘制切线？

Question

我正在尝试使用蒂克兹。我快完成了。画完 K 和小圆后，我选择那 2 个点（p 和 \tilde p）。问题是画出包含那 2 个点的虚线圆。

另外还有一个问题，就是绘制切线 T_1 和 T_2。我找到了一些绘制曲线切线的技巧，但我没有开放曲线来使用某些位置（如路径长度）。

最后，如何画直角？即直角小正方形。

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这是我目前的代码。它与图类似，但不必完全相同。请注意，我必须使用技巧才能获得正交圆。

\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,through,arrows}
\usetikzlibrary{decorations}
\usetikzlibrary{intersections,patterns}
\usetikzlibrary{decorations.markings}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (q) at (0,0);
\coordinate (t) at (-20:3cm);
\coordinate (t1) at (15:3.5cm);
\draw[name path=circ,fill=white!10] (q) circle (2cm); 
\draw[name path=reta] (q)--(t)node[below left]{$T$};
\path[name intersections={of=reta and circ,by={a}}] ;
\coordinate (o) at ($(a)!1cm!-90:(q)$);
\draw[name path=circ1] (o) circle (1cm);
\path[name intersections={of=circ and circ1,by={b}}] ;
\path[name path=linha,draw] (q)--(t1);
\path[name intersections={of=circ1 and linha,by={ztilde,z}}] ;

\draw (a) -- ($(a)!-4pt!(q)$) -- ($(a)!-4pt!(q)!4pt!90:(a)$) -- ($(a)!4pt!90:(q)$);
\draw (b) -- ($(b)!-4pt!(q)$) -- ($(b)!-4pt!(q)!4pt!-90:(b)$) -- ($(b)!4pt!-90:(q)$);

\draw[fill=white] (z)node[above left]{$z$} circle (1.2pt) (ztilde)node[above right]{$\tilde z$} circle (1.2pt) (a)node[below=2pt]{$a$} circle (1.2pt) (b)node[above=2pt]{$b$} circle (1.2pt);
\draw[fill=black] (q)node[left]{$q$} circle (1.2pt);
\node[below left] at (220:2cm){$\mathcal{K}$};
\node[right=1cm] at (o){$\mathcal{C}$};
\end{tikzpicture}
\end{document}