☰

行列式的计算公式怎样画出来？

tag-icon • tag-icon math-mode equations matrices alignment
行列式的计算公式怎样画出来？

我正在尝试在 LaTeX 中重现以下行列式的计算：

示例图片

有什么想法吗？我想过使用环境tabular，但不幸的是我无法正确对齐“=”。

答案1

我只有一个问题：确定本身中的数字都是右对齐的。您可以在我发布的图片中的第 3 列、第 1 行和第 2 行中看到它。2 就在 -2 上方，它们都是右对齐的，无论是否有减号。您知道如何实现这一点吗？-- user24295

不，我不知道，但根据 percusse 和 Manuel 的评论，你可以通过加载数学工具代替数学并使用\begin{vmatrix*}[r] … \end{vmatrix*}。我还没有亲自检查过。但我确实建议保留提供的标准对齐方式\begin{vmatrix} ... \end{vmatrix}。

更新对齐。感谢 cmhughes 的建议，我已将 和 替换eqnarray为align。&=&已&=添加。正如 egreg 所评论的那样，eqnarray应避免使用（参见例如这里和这里) 因间距差异而产生。

这更新的代码是：

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}

\begin{align}
\det A &=\left. 
\begin{array}{c}
\;\;\text{*)} \\ 
-1\text{)} \\ 
-2\text{)} \\ 
-2\text{)}
\end{array}
\right. 
\begin{vmatrix}
1 & 3 & 2 & -6 \\ 
1 & 2 & -2 & -5 \\ 
2 & 4 & -2 & -9 \\ 
2 & 4 & -6 & -9  \notag
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
1 & 3 & 2 & -6 \\ 
0 & -1 & -4 & 1 \\ 
0 & -2 & -6 & 3 \\ 
0 & -2 & -10 & 3
\end{vmatrix}
\\ \notag
&& \\ 
&=\left. 
\begin{array}{c}
\;\;\text{*)} \\ 
-2\text{)} \\ 
-2\text{)}
\end{array}
\right. 
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 1 \\ 
2 & 6 & 3 \\ 
2 & 10 & 3
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 1 \\ 
0 & -2 & 1 \\ 
0 & 2 & 1
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
-2 & 1 \\ 
2 & 1
\end{vmatrix}
=-4\notag
\end{align}

\end{document}

这输出是：

在此处输入图片描述

我们可以使用以下代码（等式数组）

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}

\begin{eqnarray*}
\det A\; &=&\left. 
\begin{array}{c}
\;\;\text{*)} \\ 
-1\text{)} \\ 
-2\text{)} \\ 
-2\text{)}
\end{array}
\right. 
\begin{vmatrix}
1 & 3 & 2 & -6 \\ 
1 & 2 & -2 & -5 \\ 
2 & 4 & -2 & -9 \\ 
2 & 4 & -6 & -9
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
1 & 3 & 2 & -6 \\ 
0 & -1 & -4 & 1 \\ 
0 & -2 & -6 & 3 \\ 
0 & -2 & -10 & 3
\end{vmatrix}
\\
&& \\
&=&\left. 
\begin{array}{c}
\;\;\text{*)} \\ 
-2\text{)} \\ 
-2\text{)}
\end{array}
\right. 
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 1 \\ 
2 & 6 & 3 \\ 
2 & 10 & 3
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 1 \\ 
0 & -2 & 1 \\ 
0 & 2 & 1
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
-2 & 1 \\ 
2 & 1
\end{vmatrix}
=-4
\end{eqnarray*}

\end{document}

输入

在此处输入图片描述

答案2

您可以xvmatrix为“eXtended”矩阵定义一个环境，其中将系数指定为第一列：

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}

\makeatletter
\newenvironment{xvmatrix}% eXtended vmatrix
  {\left.\array{@{}r |@{\,}*\c@MaxMatrixCols c}}
  {\endarray\kern-\arraycolsep\right|}
\makeatother

\begin{document}

\begin{align*}
\det A &=
\begin{xvmatrix}
 *) & 1 & 3 &  2 & -6 \\ 
-1) & 1 & 2 & -2 & -5 \\ 
-2) & 2 & 4 & -2 & -9 \\ 
-2) & 2 & 4 & -6 & -9
\end{xvmatrix}
=
\begin{vmatrix}
1 & 3 & 2 & -6 \\ 
0 & -1 & -4 & 1 \\ 
0 & -2 & -6 & 3 \\ 
0 & -2 & -10 & 3
\end{vmatrix}
\\
&=
\begin{xvmatrix}
 *) & 1 &  4 & 1 \\ 
-2) & 2 &  6 & 3 \\ 
-2) & 2 & 10 & 3
\end{xvmatrix}
=
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 1 \\ 
0 & -2 & 1 \\ 
0 & 2 & 1
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
-2 & 1 \\ 
2 & 1
\end{vmatrix}
=-4
\end{align*}

\end{document}

在此处输入图片描述

2020 年更新

您可以使用该nicematrix包。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,nicematrix}

\begin{document}

\begin{align*}
\det A &=
\begin{vNiceMatrix}[first-col]
 *) & 1 & 3 &  2 & -6 \\ 
-1) & 1 & 2 & -2 & -5 \\ 
-2) & 2 & 4 & -2 & -9 \\ 
-2) & 2 & 4 & -6 & -9
\end{vNiceMatrix}
=
\begin{vmatrix}
1 & 3 & 2 & -6 \\ 
0 & -1 & -4 & 1 \\ 
0 & -2 & -6 & 3 \\ 
0 & -2 & -10 & 3
\end{vmatrix}
\\
&=
\begin{vNiceMatrix}[first-col]
 *) & 1 &  4 & 1 \\ 
-2) & 2 &  6 & 3 \\ 
-2) & 2 & 10 & 3
\end{vNiceMatrix}
=
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 1 \\ 
0 & -2 & 1 \\ 
0 & 2 & 1
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
-2 & 1 \\ 
2 & 1
\end{vmatrix}
=-4
\end{align*}

\end{document}

在此处输入图片描述

答案3

我不认为引入这样的符号是一个好习惯，我的经验是它只会让人感到困惑。数学形式主义的存在是有原因的。你可以尝试以下方法：

在此处输入图片描述

\documentclass{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\begin{align*}
  \det A&=
  \underbrace{\begin{vmatrix}
    1 & 0 & 0 & 0 \\ 
    -1 & 1 & 0 & 0 \\ 
    -2 & 0 & 1 & 0 \\ 
    -2 & 0 & 0 & 1
  \end{vmatrix}}_{=1}
  \cdot
  \begin{vmatrix}
    1 & 3 & 2 & -6 \\ 
    1 & 2 & -2 & -5 \\ 
    2 & 4 & -2 & -9 \\ 
    2 & 4 & -6 & -9
  \end{vmatrix}
  =
  \begin{vmatrix}
    1 & 3 & 2 & -6 \\ 
    0 & -1 & -4 & 1 \\ 
    0 & -2 & -6 & 3 \\ 
    0 & -2 & -10 & 3
  \end{vmatrix}
  \\
  &=
  \underbrace{\begin{vmatrix}
    1 & 0 & 0 \\ 
    -2 & 1 & 0 \\ 
    -2 & 0 & 1
  \end{vmatrix}}_{=1}
  \cdot
  \begin{vmatrix}
    1 & 4 & 1 \\ 
    2 & 6 & 3 \\ 
    2 & 10 & 3
  \end{vmatrix}
  =
  \begin{vmatrix}
    1 & 4 & 1 \\ 
    0 & -2 & 1 \\ 
    0 & 2 & 1
  \end{vmatrix}
  =
  \begin{vmatrix}
    -2 & 1 \\ 
    2 & 1
  \end{vmatrix}
  =-4
\end{align*}

\end{document}

无论如何，如果您尝试演示列操作，会更有意义，因为三角形单位行列式矩阵将出现在右侧。但在我看来，即使这样也完全清楚。

答案4

这是我制作的另一种样式。如果您不做行列式，请将“vmatrix”替换为“bmatrix”。我不知道如何发布它的外观图片。

在此处输入图片描述

\paragraph{Example}
Evaluate the determinant
\begin{align*}
  \begin{vmatrix*}[r]
        1 & -12 & 5 & -3 \\
        2 & -21 & 22 & -7 \\
        2 & -9 & 41 & -10 \\
        0 & 3 & 7 & 3
    \end{vmatrix*}.
\end{align*}

\paragraph{Solution}
\begin{align*}
  \begin{vmatrix*}[r]
        1 & -12 & 5 & -3 \\
        2 & -21 & 22 & -7 \\
        2 & -9 & 41 & -10 \\
        0 & 3 & 7 & 3
    \end{vmatrix*}
    &=
  \begin{vmatrix*}[r]
        1 & -12 &  5 & -3 \\
        0 &   3 & 12 & -1 \\
        0 &  15 & 31 & -4 \\
        0 &   3 &  7 &  3
    \end{vmatrix*}
    \quad
    \begin{matrix*}[l]
        \\ 
        \leftarrow -2r_1+r_2 \ \text{\scriptsize (no change in determinant)} \\
        \leftarrow  -2r_2+r_3 \ \text{\scriptsize (no change in determinant)} \\
        \\
    \end{matrix*} \\
    &=
  -\begin{vmatrix*}[r]
        1 & -3 &  5 & -12 \\
        0 & -1 & 12 &   3 \\
        0 & -4 & 31 &  15 \\
        0 &  3 &  7 &   3
    \end{vmatrix*}
    \quad
    \begin{matrix*}[l]
        \\ 
        \leftarrow c_2 \leftrightarrow c_4 \ \text{\scriptsize (negate determinant)} \\
        \\
        \\
    \end{matrix*} \\
    &=
  -\begin{vmatrix*}[r]
        1 & -3 &   5 & -12 \\
        0 &  1 & -12 &  -3 \\
        0 &  4 & -31 & -15 \\
        0 &  3 &   7 &   3
    \end{vmatrix*}
    \quad
    \begin{matrix*}[l]
        \\ 
        \leftarrow -r_2 \ \text{\scriptsize (negate determinant)} \\
        \leftarrow -r_3 \ \text{\scriptsize (negate determinant)} \\
        \\
    \end{matrix*} \\
    &=
  -\begin{vmatrix*}[r]
        1 & -3 &   5 & -12 \\
        0 &  1 & -12 &  -3 \\
        0 &  0 &  17 &  -3 \\
        0 &  0 &  43 &  12
    \end{vmatrix*}
    \quad
    \begin{matrix*}[l]
        \\ 
        \\ 
        \leftarrow -4r_2+r_3 \ \text{\scriptsize (no change in determinant)} \\
        \leftarrow -3r_2+r_4 \ \text{\scriptsize (no change in determinant)}
    \end{matrix*} \\
    &=
  -17\begin{vmatrix*}[r]
        1 & -3 &   5 & -12 \\
        0 &  1 & -12 &  -3 \\
        0 &  0 &   1 &  -\nicefrac{3}{17} \\
        0 &  0 &  43 &  12
    \end{vmatrix*}
    \quad
    \begin{matrix*}[l]
        \\ 
        \\ 
        \leftarrow \nicefrac{1}{17}r_3 \ \text{\scriptsize (factor out 17)} \\
        \\
    \end{matrix*} \\
    &=
  -17\begin{vmatrix*}[r]
        1 & -3 &   5 & -12 \\
        0 &  1 & -12 &  -3 \\
        0 &  0 &   1 &  -\nicefrac{3}{17} \\
        0 &  0 &  0 &  \nicefrac{333}{17}
    \end{vmatrix*}
    \quad
    \begin{matrix*}[l]
        \\ 
        \\ 
        \\ 
        \leftarrow -43r_3+r_4 \ \text{\scriptsize (no change in determinant)}
    \end{matrix*} \\
    &= -17\left(\frac{333}{17}\right) = \bm{-333}.
\end{align*}

相关内容