我正在用 Tex 编写我的第一份文档,遇到了一些问题。目前我只能打印出第一页 :/ 如果有人能帮助或为我下面附上的文档提供提示,我将不胜感激
\documentclass[a4paper,finnish,12pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ansinew]{inputenc}
\usepackage{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[text={18cm,27cm},centering]{geometry}
%\usepackage{hyperref}
\usepackage{bm}
\newcommand*{\m}[1]{\mathbf{#1}}
\DeclareMathOperator{\TR}{tr}
\DeclareMathOperator{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator{\IM}{Im}
\newcommand*{\BAR}[1]{\overline{#1}}
\newtheorem{lause}{Lause}[section]
\newtheorem{lemma}[lause]{Lemma}
\newtheorem{esim}[lause]{Esimerkki}
\newtheorem{prop}[lause]{Propositio}
\newtheorem{seur}[lause]{Seuraus}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\title{MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt -- Harjoitustyö}
\maketitle
\\
\textbf{Niina Kuittinen, 212291}\\
\\
Tehtävänannon epähomogeeninen differentiaaliyhtälösysteemi on määritelty opiskelijanumerosta riippuvien muuttujien a, b ja c avulla. Opiskelijanumerolla 212291 saadaan muuttujien arvoiksi \(a=-1\), \(b=8\) ja \(c=-7\). Sijoittamalla muuttujien arvot saadaan seuraava yhtälöryhmä.\\
\[
\begin{cases}
x_1'=-1x_1+1x_5-1x_6, & x_1(0)=1\\
x_2'=-9x_1+8x_2+x_5+6x_6, & x_2(0)=-1\\
x_3'=6x_1-6x_2+8x_4+7x_4, & x_3(0)=0\\
x_4'=-7x_3+8x_4+8x_6, & x_4(0)=0\\
x_5'=7x_1-7x_2-1x_5+9x_6+sin(t), & x_5(0)=0\\
x_6'=7x_1-7x_2+8x_6, & x_6(0)=0
\end{cases}
\]
Määritetään vektorit \textbf{x}, \textbf{f} ja \textbf{c} sekä kerroinmatriisi A.\\
\[
\textbf{x}=\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4\\
x_5\\
x_6
\end{bmatrix}.
\]
\[
\textbf{c}=\begin{bmatrix}
1\\
-1\\
0\\
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}.
\]
\[
\textbf{f}=\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0\\
0\\
sin(t)\\
0
\end{bmatrix}.
\]
\[
A=\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\
-9 & 8 & 0 & 0 & 1 & 6\\
6 & -6 & 8 & 7 & 0 & 0\\
0 & 0 & -7 & 8 & 0 & 8\\
7 & -7 & 0 & 0 & -1 & 9\\
7 & -7 & 0 & 0 & 0 & 8
\end{bmatrix}.
\]
Ratkaisemalla karakteristinen yhtälö \[\(A-I\lambda\)=0\] saadaan matriisille ominaisarvot \lambda_1,2 = -1 ja \lambda_3,4,5,6 = 8\pm7i. Ominaisvektoreiksi saadaan \textbf{v_1} ja \textbf{v_2}. Matriisihtälöiden ratkaisuun on käytetty koko harjoitustyön osalta Maple-ohjelmistoa.
\[
\textbf{v_1}=\begin{bmatrix}
1\\
1\\
0\\
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}.
\]
\[
\textbf{v_2}=\begin{bmatrix}
0\\
0\\
-i\\
1\\
0\\
0
\end{bmatrix}.
\]
Koska matriisilla ei ole täyttä määrää ominaisarvoja vaan \(alg(\lambda_1,2)=2\)] ja \([alg(\lambda_3,4,5,6)=4\), tulee etsiä yleistettyjä ominaisvektoreita. Selvitetään Jordanin ketjun avulla ominaisarvoa -1 vastaava yleistetty ominaisvektori \textbf{u} sekä ominaisarvoa \(8+7i\) vastaava kompleksinen yleistetty ominaisvektori \textbf{w}.
\[
\textbf{u}=\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0\\
0\\
1\\
0
\end{bmatrix}.
\]
\[
\textbf{w}=\begin{bmatrix}
0\\
-i\\
1\\
0\\
1\\
1
\end{bmatrix}.
\]
Ominaisvektorien avulla voidaan muodostaa similaarimuunnosmatriisi P.\\
\\
P=\begin{bmatrix}\m{v}_1 & \m{u} & \RE(\m{v}_2) & \IM(\m{v}_2) & \RE(\m{w}) & \IM(\m{w}) \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}.
\]
ja siis P^{-1} on P:n käänteismatriisi.
\[
P^{-1}=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
\]
Nyt
\[
e^{\Big(t\begin{bmatrix}8 & 7 & 1 & 0\\ -7 & 8 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & -7 & 8\end{bmatrix}\Big)}=e^{8t}
\begin{bmatrix}\cos(7t) & \sin(7t) & t\cos(7t) & \tsin(7t)\\ -\sin(7t) & \cos(7t) & -t\sin(7t) & t\cos(7t)\\0 & 0 & \cos(7t) & \sin(7t)\\0 & 0 & -\sin(7t) & \cos(7t) \end{bmatrix}
\]
ja siis
\begin{align*}
e^{tA} = &P\begin{bmatrix}e^{-t} & \\ &e^{\Big(t\begin{bmatrix}8 & 7 & 1 & 0\\ -7 &8 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & -7 & 8\end{bmatrix}\Big)} \end{bmatrix}\\P^{-1}
=& \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e^{-t} & te^{t} & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & e^{-t} & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & e^{8t}\cos(7t) & e^{8t}\sin(7t) & te^{8t}\cos(7t) & te^{8t}\sin(7t)\\0 & 0 & -e^{8t}\sin(7t) & e^{8t}\cos(7t) & -e^{8t}t\sin(7t) & te^{8t}\cos(7t)\\0 & 0 & 0 & 0 & e^{8t}\cos(7t) & e^{8t}\sin(7t)\\0 & 0 & 0 & 0 & -e^{8t}\sin(7t) & e^{8t}\cos(7t)\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}
\\
=&\left[ \begin{array} {ccc}
e^{-t} & e^{-t}-e^{8t}\cos(7t) & -te^{8t}\cos{7t}+e^{8t}\cos(7t) \\ 0 & e^{8t}\cos(7t) & te^{8t}\cos(7t)-e^{8t}\sin(7t)\\ 0 & 0 & e^{8t}\cos(7t)\\ 0 & 0 & e^{8t}\sin(7t)\\
e^{-t} & te^{-t} & 0\\-te^{-t} & -te^{-t}+e^{8t}\sin(7t) & te^{8t}\sin(7t)
\end{array} \right.\\
&\left.\begin{array} {cc}
e^{8t}\sin(7t) & e^{8t}\sin(7t) & e^{8t}\sin(7t)\\-e^{8t}\sin(7t) & -e^{8t}\sin(7t) & -e^{8t}\sin(7t)\\-e^{8t}\sin(7t) & 0 & 0\\e^{8t}\cos(7t) & 0 & 0\\0 & e^{-t} & 0\\e^{8t}\sin(7t)+e^{8t}\cos(7t) & -e^{-t}+e^{8t}\cos(7t) & e^{8t}\cos(7t)
\end{array}\right],
\end{align*}
Jos $\m{f}:[0,\infty)\to\mathbb{R}^n$ on paloittain jatkuva funktio, niin
alkuarvo-ongelman
\[
\m{x}'=A\m{x}+\m{f},\ \m{x}(0)=\m{c}
\]
ratkaisu on
\[
\m{x}(t)=e^{tA}\m{c}+\int_0^t e^{(t-s)A}\m{f}(s) ds
\]
eikä muita ratkaisuja ole. Kun e^{tA} tunnetaan, voidaan tämän nojalla selvittää vektori \m{x} vakionvariointikaavan avulla. Integrointi ja sievennys on suoritettu käyttäen Maple-ohjelmistoa. Ratkaisuksi saadaan
\begin{align*}
\m{x}==&\left[ \begin{array} {ccc}
e^{-t}+te^{-t}(\frac{1}{800}-\frac{1}{32}e^{-8t}\cos(8t)-\frac{1}{32}e^{-8t}\sin(8t)+\frac{3}{100}e^{-8t}\cos(6t)+\frac{1}{25}e^{-8t}\sin(6t))\\e^{-t}-2e^{8t}\cos(7t)+te^{-t}(\frac{1}{800}-\frac{1}{32}e^{-8t}\cos(8t)-\frac{1}{32}e^{-8t}\sint(8t)+\frac{3}{100}e^{-8t}\cos(6t)+\frac{1}{25}e^{-8t}\sin(6t))\\ -2te^{8t}\cos(7t)+2e^{8t}\sin{7t}+e^{8t}\cos(7t)(\frac{143}{160000}+\frac{1}{32}te^{-8t}\cos(8t)+\frac{1}{256}e^{-8t}\cos(8t)+\frac{1}{32}e^{-8t}\sin(8t)t-\frac{3}{100}e^{-8t}\cos(6t)t-\frac{3}{625}e^{-8t}\cos(6t)-\frac{1}{25}e^{-8t}\sin(6t))\\2e^{8t}\sin(7t)-e^{8t}\sin(7t)(\frac{143}{160000}+\frac{1}{32}te^{-8t}\cos(8t)+\frac{1}{256}e^{-8t}\cos(8t)+\frac{1}{32}e^{-8t}\sin(8t)t-\frac{3}{100}e^{-8t}\cos(6t)t-\frac{3}{624}e^{-8t}\cos{6t}-\frac{1}{25}e^{-8t}\sin(6t)t-\frac{7}{5000}e^{-8t}\sin(6t)\\2e^{8t}\sin(7t)+e^{-t}(\frac{1}{800}-{1}{32}e^{-8t}\cos(8t)-\frac{1}{32}e^{-8t}\sin{8t}+\frac{3}{100}e^{-8t}\cos(6t)+\frac{1}{25}e^{-8t}\sin(6t))\\-\frac{1}{13600}e^{8t}\cos(7t)(-119e^{8t}+544\cos(6t)-408\sin(6t)-800\cos(2t)+200\sin(2t)+800-425\cos(8t)+425\sin(8t)-16000\sin(t)^2-400\sin(t)\cos(t))e^{-8t}
\end{array} \right.\\
&\left.\begin{array} {cc}
+\frac{1}/{13600}te^{-t}(-119e^{8t}+544\cos{6t}-408\sin(6t)-800\cos(2t)+200\sin(2t)+800-425\cos(8t)+425\sin(8t)-1600\sin(t)^{2}-400\sin(t)\cos(t))e^{-8t}\\-\frac{1}{13600}(-te^{-t}+e^{8t}\sin(7t))(-119e^{8t}+544\cos(6t)-408\sin(6t)-800\cos(2t)+200\sin(2t)+800-425\cos(8t)+425\sin(8t)-1600\sin(t)^{2}-400\sin(t)\cos(t))e^{-8t}\\+e^{8t}\sin(7t)(-\frac{7}{5000}+\frac{1}{25}e^{-8t}\cos(6t)+\frac{7}{5000}e^{-8t}\cos(6t)-\frac{3}{100}e^{-8t}\sin(6t)t-\frac{3}{625}e^(-8t)\sin(6t)-\frac{1}{32}te^{-8t}\cos(8t)+\frac{1}{32}e^{-8t}\sin(8t)t+\frac{1}{256}e^{-8t}\sin(8t))-\frac{1}{13600}te^{8t}sin(7t)(-119e^{8t}+544\cos(6t)-408\sin(6t)-800\cos(2t)+200\sin(2t)+800-425\cos(8t)+425\sin(8t)-16000\sin(t)^2-400\sin(t)\cos(t))e^{-8t}\\+e^{8t}\cos(7t)(-\frac{7}{5000}+\frac{1}{25}e^{-8t}\cos(6t)t+\frac{7}{5000}e^{-8t}\cos(6t)-\frac{3}{100}e^{-8t}\sin(6t)t-\frac{3}{625}e^{8t}\sin(6t)-\frac{1}{32}te^(-8t)\cos(8t)+\frac{1}{32}e^{-8t}\sint(8t)t+\frac{1}{256}e^{-8t}\sin(8t))-\frac{1}{13600}(e^{8t}\sin(7t)+te^{8t}\cos{7t})(-119e^{8t}+544\cos(6t)-408\sin(6t)-800\cos(2t)+200\sin(2t)+800-425\cos(8t)+425\sin(8t)-16000\sin(t)^2-400\sin(t)\cos(t))e^{-8t}\\-\frac{1}{3600}(e^{-t}+e^{8t}\cos(7t))(-119e^{8t}+544\cos{6t}-408\sin(6t)-800\cos(2t)+200\sin(2t)+800-425\cos(8t)+425\sin(8t)-16000\sin(t)^{2}-400\sin(t)\cos(t))e{-8t}\\+2e^{8t}\sin(7t)
\end{array}\right],
\end{align*}
\\
Sijoittamalla ratkaisuun \(t=0\) saadaan vektori \textbf{c}, joten yhtälöryhmän ratkaisu on oikea. Alkuperäisen differentiaaliryhmän ratkaisut x_1 -- x_6 voidaan lukean edeltävän matriisin vastaavilta riveiltä. Ratkaisun stabiiliutta voidaan tarkastella niin kutsutun Lyapunovin lauseen avulla. Sen nojalla yhtälöryhmän ratkaisu on stabiili mikäli kerroinmatriisien kaikkien ominaisarvojen reaaliosat ovat negatiivisia. Koska \(\RE(\lambda_{3,4,5,6})=8\]), ratkaisu ei ole stabiili.
\eject
\end{document}
答案1
一旦出现 TeX 错误,您就应该修复该错误,而不必考虑查看 pdf。如果您忽略错误,TeX 的错误恢复几乎不会采取任何明智的措施。
所以
! LaTeX Error: Option clash for package inputenc.
消除
\usepackage[ansinew]{inputenc}
然后
! LaTeX Error: There's no line here to end.
删除任何\\
不在表格、案例或类似结构中的内容。
! LaTeX Error: Bad math environment delimiter.
See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation.
Type H <return> for immediate help.
...
l.100 Ratkaisemalla karakteristinen yhtälö \[\(
您可以显示数学\[
或内联数学,\(
但不能同时使用两者。
! Missing $ inserted.
<inserted text>
$
l.100 ... saadaan matriisille ominaisarvot \lambda
数学结构\lambda
必须处于数学模式
! Missing $ inserted.
<inserted text>
$
l.100 .... Ominaisvektoreiksi saadaan \textbf{v_1}
\textbf
将您从数学模式带回到文本模式,因此 tt 下标字符在该模式下不合法。您需要\mathbf{v}_1
然后其他的事情,在 displaymath 之前永远不要留下一个空行,最后\[
也不要有。\eject
我修复了前几个问题但后来放弃了,但这个运行没有错误:
\documentclass[a4paper,finnish,12pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[text={18cm,27cm},centering]{geometry}
%\usepackage{hyperref}
\usepackage{bm}
\newcommand*{\m}[1]{\mathbf{#1}}
\DeclareMathOperator{\TR}{tr}
\DeclareMathOperator{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator{\IM}{Im}
\newcommand*{\BAR}[1]{\overline{#1}}
\newtheorem{lause}{Lause}[section]
\newtheorem{lemma}[lause]{Lemma}
\newtheorem{esim}[lause]{Esimerkki}
\newtheorem{prop}[lause]{Propositio}
\newtheorem{seur}[lause]{Seuraus}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\title{MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt -- Harjoitustyö}
\maketitle
\textbf{Niina Kuittinen, 212291}
Tehtävänannon epähomogeeninen differentiaaliyhtälösysteemi on määritelty opiskelijanumerosta riippuvien muuttujien a, b ja c avulla. Opiskelijanumerolla 212291 saadaan muuttujien arvoiksi \(a=-1\), \(b=8\) ja \(c=-7\). Sijoittamalla muuttujien arvot saadaan seuraava yhtälöryhmä.
\[
\begin{cases}
x_1'=-1x_1+1x_5-1x_6, & x_1(0)=1\\
x_2'=-9x_1+8x_2+x_5+6x_6, & x_2(0)=-1\\
x_3'=6x_1-6x_2+8x_4+7x_4, & x_3(0)=0\\
x_4'=-7x_3+8x_4+8x_6, & x_4(0)=0\\
x_5'=7x_1-7x_2-1x_5+9x_6+sin(t), & x_5(0)=0\\
x_6'=7x_1-7x_2+8x_6, & x_6(0)=0
\end{cases}
\]
Määritetään vektorit \textbf{x}, \textbf{f} ja \textbf{c} sekä kerroinmatriisi A.
\[
\mathbf{x}=\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4\\
x_5\\
x_6
\end{bmatrix}.
\]
\[
\mathbf{c}=\begin{bmatrix}
1\\
-1\\
0\\
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}.
\]
\[
\mathbf{f}=\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0\\
0\\
sin(t)\\
0
\end{bmatrix}.
\]
\[
A=\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\
-9 & 8 & 0 & 0 & 1 & 6\\
6 & -6 & 8 & 7 & 0 & 0\\
0 & 0 & -7 & 8 & 0 & 8\\
7 & -7 & 0 & 0 & -1 & 9\\
7 & -7 & 0 & 0 & 0 & 8
\end{bmatrix}.
\]
Ratkaisemalla karakteristinen yhtälö \(A-I\lambda=0\) saadaan matriisille ominaisarvot \(\lambda_1,2 = -1 ja \lambda_3,4,5,6 = 8\pm7i\). Ominaisvektoreiksi saadaan \(\mathbf{v}_1\) ja \(\mathbf{v}_2\). Matriisihtälöiden ratkaisuun on käytetty koko harjoitustyön osalta Maple-ohjelmistoa.
\[
\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}
1\\
1\\
0\\
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}.
\]
\[
\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}
0\\
0\\
-i\\
1\\
0\\
0
\end{bmatrix}.
\]
\end{document}
答案2
它确实有点混乱;)好吧,这里有一个可以编译的代码版本(只删除了 align* 部分,因为我真的不知道你想用它们做什么。
一些提示:
始终使用数学环境“$”表示向量,
下标(例如“_1”)必须位于数学环境内
在数学环境中使用“mathbf”而不是“textbf”...
\documentclass[a4paper,finnish,12pt]{article} % \usepackage[T1]{fontenc} % \usepackage[utf8]{inputenc} % \usepackage[ansinew]{inputenc} \usepackage{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage[text={18cm,27cm},centering]{geometry} %\usepackage{hyperref} \usepackage{bm} \newcommand*{\m}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator{\TR}{tr} \DeclareMathOperator{\RE}{Re} \DeclareMathOperator{\IM}{Im} \newcommand*{\BAR}[1]{\overline{#1}} \newtheorem{lause}{Lause}[section] \newtheorem{lemma}[lause]{Lemma} \newtheorem{esim}[lause]{Esimerkki} \newtheorem{prop}[lause]{Propositio} \newtheorem{seur}[lause]{Seuraus} \pagestyle{empty} \begin{document} \title{MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt -- Harjoitustyö} \maketitle \section{Niina Kuittinen, 212291} Tehtävänannon epähomogeeninen differentiaaliyhtälösysteemi on määritelty opiskelijanumerosta riippuvien muuttujien a, b ja c avulla. Opiskelijanumerolla 212291 saadaan muuttujien arvoiksi \(a=-1\), \(b=8\) ja \(c=-7\). Sijoittamalla muuttujien arvot saadaan seuraava yhtälöryhmä.\\ \[ \begin{cases} x_1'=-1x_1+1x_5-1x_6, & x_1(0)=1\\ x_2'=-9x_1+8x_2+x_5+6x_6, & x_2(0)=-1\\ x_3'=6x_1-6x_2+8x_4+7x_4, & x_3(0)=0\\ x_4'=-7x_3+8x_4+8x_6, & x_4(0)=0\\ x_5'=7x_1-7x_2-1x_5+9x_6+sin(t), & x_5(0)=0\\ x_6'=7x_1-7x_2+8x_6, & x_6(0)=0 \end{cases} \] Määritetään vektorit \textbf{x}, \textbf{f} ja \textbf{c} sekä kerroinmatriisi A.\\ \[ \textbf{x}=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\\ x_6 \end{bmatrix}. \] \[ \textbf{c}=\begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}. \] \[ \textbf{f}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ sin(t)\\ 0 \end{bmatrix}. \] \[ A=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\ -9 & 8 & 0 & 0 & 1 & 6\\ 6 & -6 & 8 & 7 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -7 & 8 & 0 & 8\\ 7 & -7 & 0 & 0 & -1 & 9\\ 7 & -7 & 0 & 0 & 0 & 8 \end{bmatrix}. \] Ratkaisemalla karakteristinen yhtälö $(A-I\lambda)=0$ saadaan matriisille ominaisarvot $\lambda_1,2 = -1$ ja $\lambda_3,4,5,6 = 8\pm7i$. Ominaisvektoreiksi saadaan $\mathbf{v_1}$ ja $\mathbf{v_2}$. Matriisihtälöiden ratkaisuun on käytetty koko harjoitustyön osalta Maple-ohjelmistoa. \[ \mathbf{v_1}=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}. \] \[ \mathbf{v_2}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ -i\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}. \] Koska matriisilla ei ole täyttä määrää ominaisarvoja vaan \(alg(\lambda_1,2)=2\)] ja \([alg(\lambda_3,4,5,6)=4\), tulee etsiä yleistettyjä ominaisvektoreita. Selvitetään Jordanin ketjun avulla ominaisarvoa -1 vastaava yleistetty ominaisvektori \textbf{u} sekä ominaisarvoa \(8+7i\) vastaava kompleksinen yleistetty ominaisvektori \textbf{w}. \[ \textbf{u}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}. \] \[ \textbf{w}=\begin{bmatrix} 0\\ -i\\ 1\\ 0\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}. \] Ominaisvektorien avulla voidaan muodostaa similaarimuunnosmatriisi P.\\ \[ P=\begin{bmatrix}\m{v}_1 & \m{u} & \RE(\m{v}_2) & \IM(\m{v}_2) & \RE(\m{w}) & \IM(\m{w}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}. \] ja siis $P^{-1}$ on P:n käänteismatriisi. \[ P^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \] Nyt \[ e^{\Big(t\begin{bmatrix}8 & 7 & 1 & 0\\ -7 & 8 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & -7 & 8\end{bmatrix}\Big)}=e^{8t} \begin{bmatrix}\cos(7t) & \sin(7t) & t\cos(7t) & \sin(7t)\\ -\sin(7t) & \cos(7t) & -t\sin(7t) & t\cos(7t)\\0 & 0 & \cos(7t) & \sin(7t)\\0 & 0 & -\sin(7t) & \cos(7t) \end{bmatrix} \] ja siis Jos $\m{f}:[0,\infty)\to\mathbb{R}^n$ on paloittain jatkuva funktio, niin alkuarvo-ongelman \[ \m{x}'=A\m{x}+\m{f},\ \m{x}(0)=\m{c} \] ratkaisu on \[ \m{x}(t)=e^{tA}\m{c}+\int_0^t e^{(t-s)A}\m{f}(s) ds \] eikä muita ratkaisuja ole. Kun $e^{tA}$ tunnetaan, voidaan tämän nojalla selvittää vektori $\m{x}$ vakionvariointikaavan avulla. Integrointi ja sievennys on suoritettu käyttäen Maple-ohjelmistoa. Ratkaisuksi saadaan Sijoittamalla ratkaisuun $(t=0)$ saadaan vektori \textbf{c}, joten yhtälöryhmän ratkaisu on oikea. Alkuperäisen differentiaaliryhmän ratkaisut $x_1 -- x_6$ voidaan lukean edeltävän matriisin vastaavilta riveiltä. Ratkaisun stabiiliutta voidaan tarkastella niin kutsutun Lyapunovin lauseen avulla. Sen nojalla yhtälöryhmän ratkaisu on stabiili mikäli kerroinmatriisien kaikkien ominaisarvojen reaaliosat ovat negatiivisia. Koska $(\RE(\lambda_{3,4,5,6})=8)$, ratkaisu ei ole stabiili. \end{document}