如何在 LaTeX 中创建谢尔宾斯基三角形？

Question

我一直在尝试用 LaTeX 重新创建以下图像

就我个人而言，这必须使用 pdflatex 来完成。虽然使用pst-fractals From Jake 回答，但我有一个好的开始，这导致了以下代码

\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\def\level{5}
\usetikzlibrary{lindenmayersystems}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[l-system={step=5pt, order=\level, angle=120},rotate=180]
    \pgfdeclarelindenmayersystem{Sierpinski triangle}{
    \symbol{X}{\pgflsystemdrawforward}
    \symbol{Y}{\pgflsystemdrawforward}
    \rule{X -> X-Y+X+Y-X}
    \rule{Y -> YY}
    }
    \draw [black] (3,2) l-system
    [l-system={Sierpinski triangle, axiom=X, anchor=north east},fill=white];
\end{tikzpicture}

\end{document}

然而该代码存在两个问题。

• 我在 lindenmayersystem 后面分层放置了一个黑色三角形？

• 如何保持三角形的大小与不同数量的递归级别保持一致。

Answer 1

背景三角形的宽度为 2^order*stepsize，因此您可以根据所需整体宽度计算步长：

\documentclass[border=5mm]{standalone}
\usepackage{tikz}

\usetikzlibrary{lindenmayersystems}

\begin{document}%
\def\trianglewidth{2cm}%
\pgfdeclarelindenmayersystem{Sierpinski triangle}{
    \symbol{X}{\pgflsystemdrawforward}
    \symbol{Y}{\pgflsystemdrawforward}
    \rule{X -> X-Y+X+Y-X}
    \rule{Y -> YY}
}%
\foreach \level in {0,...,3}{%
\tikzset{
    l-system={step=\trianglewidth/(2^\level), order=\level, angle=-120}
}%
\begin{tikzpicture}
    \fill [black] (0,0) -- ++(0:\trianglewidth) -- ++(120:\trianglewidth) -- cycle;
    \draw [draw=none] (0,0) l-system
    [l-system={Sierpinski triangle, axiom=X},fill=white];
\end{tikzpicture}
}%
\end{document}

Answer 2

另一种方法是使用装饰。这有点依赖于初始三角形的绘制方式（即路径的方向），并且必须手动完成装饰的嵌套。

\documentclass[border=5pt]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations}

% Not sure this follows any proper defition of 
% Sirpinksi triangle. It just works.
\pgfdeclaredecoration{quasi-sirpinski}{do}{%
    \state{do}[width=\pgfdecoratedinputsegmentlength, next state=do]{%
        \pgfpathmoveto{\pgfpointpolar{-60}{\pgfdecoratedinputsegmentlength/2}}%
        \pgfpathlineto{\pgfpointorigin}%
        \pgfpathlineto{\pgfpoint{\pgfdecoratedinputsegmentlength/2}{0pt}}%
        \pgfpathclose%
    }
}

\begin{document}

\tikz
    \fill (0,0) -- ++(60:3) -- ++(-60:3) -- cycle;

\tikz[decoration=quasi-sirpinski]
    \fill decorate { (0,0) -- ++(60:3) -- ++(-60:3) -- cycle };

\tikz[decoration=quasi-sirpinski]
    \fill decorate { decorate { 
        (0,0) -- ++(60:3) -- ++(-60:3) -- cycle } };

\tikz[decoration=quasi-sirpinski]
    \fill decorate { decorate { decorate { 
        (0,0) -- ++(60:3) -- ++(-60:3) -- cycle } } };

\tikz[decoration=quasi-sirpinski]
    \fill decorate { decorate { decorate {  decorate {
        (0,0) -- ++(60:3) -- ++(-60:3) -- cycle } } } };

\end{document}

Answer 3

\documentclass[pstricks]{standalone}
\usepackage{pst-fractal}
\begin{document}

\multido{\iA=1+1}{5}{%
 \begin{pspicture}(3,2.8)
 \psSier[linecolor=blue!70,fillcolor=red!40](0,0){3cm}{\iA}
 \end{pspicture}}

 \multido{\iA=1+1}{5}{%
   \begin{pspicture}(3,2.7)\psSier(0,0){3cm}{\iA}
\end{pspicture}}


\end{document}

Answer 4

我刚刚偶然发现了这个问题，因为它与我不记得的另一个问题有关。尽管已经晚了好几年，但我还是忍不住用 MetaPost 做了一些东西。没有加载任何特定的包，它只是嵌入 LuaLaTeX 程序的普通 MetaPost 代码。

主宏的调用很简单Sierpinsky。它以三角形的顶点和所需的递归次数作为参数，填充三角形并继续进行所需的递归。

编辑算法已得到改进。现在Sierpinski不填充任何内容，而只取消填充中心子三角形并在其他子三角形上调用自身。这需要创建另一个宏，Sierpinski_triangle该宏填充第一个三角形然后调用Sierpinski它。

\documentclass[border=2mm, multi=mplibcode]{standalone}
\usepackage{luamplib}
  \everymplib{
    vardef Sierpinski(expr A, B, C, n) = % The recursive macro, à la MetaPost
      if n>0: 
        save midAC, midBC, midAB; pair midAC, midBC, midAB;
        midAC = .5[A, C]; midBC = .5[B, C]; midAB = .5[A, B]; % The midpoints
        unfill midAC -- midBC -- midAB -- cycle;
        Sierpinski(A, midAB, midAC, n-1); 
        Sierpinski(midAC, midBC, C, n-1); 
        Sierpinski(midAB, B, midBC, n-1);
      fi
    enddef;
    def Sierpinski_triangle(expr A, B, C, n) =
      fill A--B--C--cycle; Sierpinski(A, B, C, n);
    enddef;
    beginfig(1);}
  \everyendmplib{endfig;}
\begin{document}
  \begin{mplibcode}
    u = 3cm; % Size of the main triangle
    pair v; v = 1.1u*right; % translation vector
    for i = 0 upto 4:
      draw image(Sierpinski_triangle(origin, (u,0), u*dir 60, i)) shifted (i*v);
    endfor
  \end{mplibcode}
  \begin{mplibcode}
    u = 14cm;
    Sierpinski_triangle(origin, (u,0), u*dir 60, 8); % Eight levels of recursion
  \end{mplibcode}
\end{document}