打印伸缩序列的前 N ​​项

Question

我想生成一个 LaTeX 文档，生成伸缩级数 sum(1/k-1/(1+k)) 的前 N ​​项，其中 k=1,2,3...,N，以便至少显示前 10 项。我希望输出格式为 (1-1/2)+(1/2-1/3)+.....+(1/10-1/11)

我怎样才能实现这个目标？

Answer 1

困难不在于生产它，而在于印刷它。

这里有一种方法；为了打印十个项，我们需要两行，我决定让 TeX 来处理拆分。该\telescope命令是通用的，通过重新定义，\Term您可以打印其他类似的系列。

\documentclass{article}
\usepackage{xparse,amsmath}
\ExplSyntaxOn
\NewDocumentCommand{\telescope}{m}
 {
  \Term{1}
  \int_step_inline:nnnn { 2 } { 1 } { #1 }
   {
    +\Term{##1}
   }
 }
\ExplSyntaxOff
\newcommand{\Term}[1]{%
  {\biggl(
  \ifnum#1=1
    1
  \else
    \dfrac{1}{#1}
  \fi
  -
  \dfrac{1}{\number\numexpr#1+1}
  \biggr)}
}

\begin{document}
Here are ten terms
\[
\begin{minipage}{.9\displaywidth}
\linespread{2.5}\selectfont
\raggedright
\leftskip=2em\hspace*{-2em}
$
\telescope{10}
$
\end{minipage}
\]
and here are twenty-five
\[
\begin{minipage}{.9\displaywidth}
\linespread{2.5}\selectfont
\raggedright
\leftskip=2em\hspace*{-2em}
$
\telescope{25}
$
\end{minipage}
\]
\end{document}

Answer 2

egreg 先到了那里，但是：

\documentclass{article}
\newcommand\term[1]{%
{(\ifnum#1=1 1 \else\frac{1}{#1}\fi
 -
 \frac{1}{\the\numexpr#1+1\relax})}}

\newcommand\xsum[1]{%
\term{#1}%
\ifnum#1<10
+
\expandafter\xsum\expandafter{\the\numexpr#1+1\relax}%
\fi}


\begin{document}
$
\xsum{1}
$
\end{document}

Answer 3

这是另一个答案，提出了一个替代非常好的 egreg 答案的替代方案：

\documentclass{article}

\newcounter{temp}
\usepackage{pgffor}

\begin{document}

$\sum_{k=1}^N \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right) = \left(1-\frac{1}{2}\right)
\foreach \n in {2,...,10}
{\setcounter{temp}{\n}\stepcounter{temp} +\left(\frac{1}{\n}-\frac{1}{\arabic{temp}} \right)}
+\dots+\left(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\right)$

\end{document}

它基于包\foreach中的一个循环pgffor。

下面是它的输出

编辑使用 Tobi 的提示，MWE 的更好版本将是：

\documentclass{article}

\usepackage{pgffor}

\begin{document}

$\sum_{k=1}^N \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right) = \left(1-\frac{1}{2}\right)
\foreach \n [remember=\n as \lastn (initially 2)] in {3,...,11} 
{+\left(\frac{1}{\lastn}-\frac{1}{\n} \right)}
+\dots+\left(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\right)$

\end{document}