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对齐方程式：这里出了什么问题？

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对齐方程式：这里出了什么问题？ 
\begin{align*}
\text{Mean: }\\
E[Y] & = f(y) \cdot 0 + \sum_{y=1}^{\infty} f(y)\cdot y\\
& = [p_i + (1-p_i)e^{-\lambda_i}] \cdot 0 + \sum_{y=1}^{\infty} (1-p_i)\frac{e^{-\lambda_i}\lambda_i^y}{y!} \cdot y\\
& = 0 + \sum_{y=1}^{\infty} (1-p_i)\frac{e^{-\lambda_i}\lambda_i^y}{y!} \cdot y\\
& = (1-p_i) e^{-\lambda_i} [\lambda_i+\frac{2\lambda_i^2}{2!}+\frac{3\lambda_i^3}{3!}+....]\\
& = (1-p_i) e^{-\lambda_i} \lambda_i [1+\frac{\lambda_i}{1!}+\frac{\lambda_i^2}{2!}+....]\\
& = (1-p_i)\lambda_i e^{-\lambda_i}e^{\lambda}\\
& = (1-p_i)\lambda.\\
\text{Variance: }\\
E[Y^2] & = f(y) \cdot 0 + \sum_{y=1}^{\infty} f(y)\cdot y^2\\
& = [p_i + (1-p_i)e^{-\lambda_i}] \cdot 0 + \sum_{y=1}^{\infty} (1-p_i)\frac{e^{-\lambda_i}\lambda_i^y}{y!} \cdot y^2\\
& = 0 + \sum_{y=1}^{\infty} (1-p_i)\frac{e^{-\lambda_i}\lambda_i^y}{y!} \cdot y^2\\
& = (1-p_i) e^{-\lambda_i} [\lambda_i+\frac{4\lambda_i^2}{2!}+\frac{9\lambda_i^3}{3!}+\frac{16\lambda_i^4}{4!}+\frac{25\lambda_i^5}{5!}+....]\\
& = (1-p_i) e^{-\lambda_i}[\lambda_i+(\lambda_i^2+\lambda_i^2)+(\frac{\lambda_i^3}{2!}+\lambda_i^3)+(\frac{\lambda_i^4}{3!} \\
+\frac{\lambda_i^4}{2!}+)+(\frac{\lambda_i^5}{4!}+\frac{\lambda_i^5}{3!})+....]\\
& = (1-p_i)e^{-\lambda_i} [\lambda_i(1+\lambda_i+\frac{\lambda_i^2}{2!} + \frac{\lambda_i^3}{3!}+.....)+\lambda_i^2(1+\lambda_i+\frac{\lambda_i^2}{2!} + \frac{\lambda_i^3}{3!}+.....)]\\
& = (1-p_i) e^{-\lambda_i} [\lambda_ie^{\lambda_i}+\lambda_i^2 e^{\lambda}]\\
& = (1-p_i) e^{-\lambda_i} e^{\lambda_i} (\lambda_i+\lambda_i^2) \\
& = (1-p_i)(\lambda_i+\lambda_i^2)\\
V[Y]= E[y^2]-(E[y])^2 = (1-p_i)(\lambda_i+\lambda_i^2) - ((1-p_i)\lambda)^2.
\end{align*}

答案1

这是一个猜测（因为您还没有告诉我们问题是什么）：

\documentclass{article}

\usepackage{mathtools}

\begin{document}

\noindent Mean:
\begin{align*}
E[Y]
& = f(y) \cdot 0 + \sum_{y=1}^\infty f(y) \cdot y\\
& = \left[p_i + (1 - p_i) e^{-\lambda_i}\right] \cdot 0 + \sum_{y=1}^{\infty}(1 - p_i) \frac{e^{-\lambda_i} \lambda_i^y}{y!} \cdot y\\
& = 0 + \sum_{y=1}^\infty (1 - p_i) \frac{e^{-\lambda_i} \lambda_i^y}{y!} \cdot y\\
& = (1 - p_i) e^{-\lambda_i} \left[\lambda_i + \frac{2\lambda_i^2}{2!} + \frac{3\lambda_i^3}{3!}+\dots\right]\\
& = (1 - p_i) e^{-\lambda_i} \lambda_i \left[1 + \frac{\lambda_i}{1!} + \frac{\lambda_i^2}{2!}+\dots\right]\\
& = (1 - p_i) \lambda_i e^{-\lambda_i} e^{\lambda}\\
& = (1 - p_i) \lambda.
\intertext{Variance:}
E\left[Y^2\right]
& = f(y) \cdot 0 + \sum_{y=1}^\infty f(y) \cdot y^2\\
& = \left[p_i + (1 - p_i) e^{-\lambda_i}\right] \cdot 0 + \sum_{y=1}^\infty (1 - p_i) \frac{e^{-\lambda_i} \lambda_i^y}{y!} \cdot y^2\\
& = 0 + \sum_{y=1}^\infty (1 - p_i) \frac{e^{-\lambda_i} \lambda_i^y}{y!} \cdot y^2\\
& = (1 - p_i) e^{-\lambda_i} \left[\lambda_i + \frac{4\lambda_i^2}{2!} + \frac{9\lambda_i^3}{3!} + \frac{16\lambda_i^4}{4!} + \frac{25\lambda_i^5}{5!} + \dots\right]\\
& = (1 - p_i) e^{-\lambda_i} \biggl[\lambda_i + \left(\lambda_i^2 + \lambda_i^2\right) + \left(\frac{\lambda_i^3}{2!} + \lambda_i^3\right)\\
&\hphantom{{}= (1 - p_i) e^{-\lambda_i} \biggl[} + \left(\frac{\lambda_i^4}{3!} + \frac{\lambda_i^4}{2!}\right) + \left(\frac{\lambda_i^5}{4!} + \frac{\lambda_i^5}{3!}\right) + \dots\biggr]\\
& = (1 - p_i) e^{-\lambda_i} \biggl[\lambda_i \left(1 + \lambda_i + \frac{\lambda_i^2}{2!} + \frac{\lambda_i^3}{3!} + \dots\right)\\
&\hphantom{{}= (1 - p_i) e^{-\lambda_i} \biggl[} + \lambda_i^2 \left(1 + \lambda_i + \frac{\lambda_i^2}{2!} + \frac{\lambda_i^3}{3!} + \dots\right)\biggr]\\
& = (1 - p_i) e^{-\lambda_i} \left[\lambda_i e^{\lambda_i} + \lambda_i^2 e^{\lambda}\right]\\
& = (1 - p_i) e^{-\lambda_i} e^{\lambda_i} \left(\lambda_i + \lambda_i^2\right)\\
& = (1 - p_i) \left(\lambda_i + \lambda_i^2\right).
\end{align*}
So we have
\begin{align*}
V[Y]
& = E\left[y^2\right] - (E[y])^2\\
& = (1 - p_i) \left(\lambda_i + \lambda_i^2\right) - ((1 - p_i)\lambda)^2.
\end{align*}

\end{document}

输出

答案2

我认为主要有两个问题：

  • &您在最后一行等式中缺少一个对齐符号 ( )，以 开头；请在第一个 之前V[Y]= E[y^2]-(E[y])^2插入以修复它。&=
  • 在 之前有一个非常糟糕且可能不必要的换行符+\frac{\lambda_i^4}{2!}；我建议删除该换行符。

您可能应该将非常长的环境拆分\align*为两个单独的较短环境，分别用于均值和方差表达式。在此过程中，请将标题行（Mean:和Variance）从align*环境中完全移除。

另外，您可能希望用 替换所有那些.....和....实例\cdots。此外，您可能应该在很多地方增加方括号的大小，例如，明智地使用\Bigl[和\Bigr]。我不建议使用\left[和 ，\right]因为这会导致“栅栏”符号（从印刷上讲）相对于其周围环境太大。

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