用“螺旋”排列的方块覆盖整个页面

Question

我试图用在 TikZ 中绘制的小方块覆盖整张横向 A4 纸，从页面左下角开始以螺旋状向页面中心移动，但我的方法存在缺陷，因为页面最后没有填满。

每个小方块的边长为 1.5 毫米。要让整个页面完全被方块覆盖，还需要满足一些先决条件。

1. 页面的宽度和高度（297 毫米 × 210 毫米）必须能被正方形的边长整除。

   210模1.5=0

   297 模 1.5 = 0

2. 页面的面积必须能被正方形的面积整除。

   297 毫米 × 210 毫米 = 62370 毫米²

   1.5 毫米 × 1.5 毫米 = 2.25 毫米²

   62370 模 2.25 = 0

而且我必须迭代 62370 / 2.25 = 27720 次才能覆盖整个页面。所有条件都满足，所以我的算法不正确。（请注意，以下代码需要编译两次，lualatex这在较旧的 i7 CPU 上大约需要 2 分钟。）

\documentclass{article}

\usepackage[nohead,%
    nofoot,%
    nomarginpar,%
    paperwidth=297mm,%
    paperheight=210mm,%
    tmargin=5mm,%
    rmargin=5mm,%
    bmargin=5mm,%
    lmargin=5mm,%
    vscale=1,%
    hscale=1]{geometry}

\usepackage{tikz}

\usepackage{luacode}

\pagestyle{empty}

\begin{luacode*}
    function square_spiral()
        local direction = 0
        local x = 0
        local y = 0
        local shift = 1.5
        local x_min = 0
        local y_min = shift
        local x_max = 297 - 1.5 * shift
        local y_max = 210 - 1.5 * shift
        local square_count = (297 * 210) / (1.5 * 1.5)

        tex.sprint("\\begin{tikzpicture}[remember picture, overlay]")

        for i = 1, square_count, 1 do

            tex.sprint("\\filldraw[black!" .. (i - 1) / (square_count - 1) * 100 ..
                ", line width=0pt] (current page.south west) ++(" ..
                string.format("%.1f", x) .. "mm, " .. string.format("%.1f", y) ..
                "mm) rectangle +(" .. shift .. "mm, " .. shift .. "mm);")

            if direction == 0 then -- right
                if x < x_max then
                    x = x + shift
                else
                    direction = 1
                    x_max = x_max - shift
                end
            elseif direction == 1 then -- up
                if y < y_max then
                    y = y + shift
                else
                    direction = 2
                    y_max = y_max - shift
                end
            elseif direction == 2 then -- left
                if x > x_min then
                    x = x - shift
                else
                    direction = 3
                    x_min = x_min + shift
                end
            elseif direction == 3 then -- down
                if y > y_min then
                    y = y - shift
                else
                    direction = 0
                    y_min = y_min + shift
                end
            end

            --[[
            print(string.format("%.1f", x) .. ", " ..
                string.format("%.1f", y) .. ", " .. i)
            ]]

        end

        tex.sprint("\\end{tikzpicture}")
    end
\end{luacode*}

\begin{document}

\luadirect{square_spiral()}

\end{document}

Answer 1

我认为问题出现的原因在于当螺旋改变方向时，每个角都会绘制两个方块。例如，如果螺旋向右移动，当条件x < x_max不满足时，方向会改变，但坐标y不会向上移动，因此下一个方块会绘制在与上一个方块相同的位置。

我已在下面的代码中更正了这个问题（并做了一些其他希望不重要的更改）

\documentclass{article}

\usepackage[nohead,%
    nofoot,%
    nomarginpar,%
    paperwidth=297mm,%
    paperheight=210mm,%
    tmargin=5mm,%
    rmargin=5mm,%
    bmargin=5mm,%
    lmargin=5mm,%
    vscale=1,%
    hscale=1]{geometry}

\usepackage{tikz}

\usepackage{luacode} 

\pagestyle{empty} 

\begin{luacode*}
    function square_spiral()
        local direction = 0 
        local x = 0
        local y = 0
        local shift = 1.5 
        local x_min = 0     
        local y_min = shift  
        local paperwidth = math.floor(tex.dimen["paperwidth"]/65536/2.84526)
        local paperheight = math.floor(tex.dimen["paperheight"]/65536/2.84526)
        local x_max = paperwidth - 1.5*shift   
        local y_max = paperheight - 1.5*shift
        local square_count = (paperwidth)*(paperheight) / (shift*shift)
        tex.sprint("\\begin{tikzpicture}[remember picture, overlay]")

        for i = 1, square_count, 1 do 

            tex.sprint("\\filldraw[black!" .. (i - 1) / (square_count - 1) * 100 ..
                ", line width=0pt] (current page.south west) ++(" ..
                string.format("%.1f", x) .. "mm, " .. string.format("%.1f", y) ..
                "mm) rectangle +(" .. shift .. "mm, " .. shift .. "mm);") 


            if direction == 0 then -- right
                if x < x_max then
                    x = x + shift
                else
                    direction = 1
                    x_max = x_max - shift
                    y = y + shift -- MOVE UP
                end
            elseif direction == 1 then -- up
                if y < y_max then
                    y = y + shift
                else
                    direction = 2
                    y_max = y_max - shift
                    x = x - shift -- MOVE LEFT
                end
            elseif direction == 2 then -- left
                if x > x_min then
                    x = x - shift
                else
                    direction = 3
                    x_min = x_min + shift
                    y = y - shift -- MOVE DOWN
                end
            elseif direction == 3 then -- down
                if y > y_min then
                    y = y - shift
                else
                    direction = 0
                    y_min = y_min + shift
                    x = x + shift -- MOVE RIGHT
                end
            end

            --[[
            print(string.format("%.1f", x) .. ", " ..
                string.format("%.1f", y) .. ", " .. i)
            ]]

        end

        tex.sprint("\\end{tikzpicture}")
    end
\end{luacode*}

\begin{document}
\luadirect{square_spiral()}
\end{document}