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Question

你的 LaTeX 代码不太容易解析，在很多地方效率很低，而且它使用的环境eqnarray如下严重贬低并且不再有任何理由继续使用它们。我尝试（相当）清理您的代码。作为此清理的副作用，一些节标题上方和下方的大间隙消失了。请花时间研究清理后的代码与原始代码有何不同，并请得出您自己的结论，即您应该在今后的编码实践中做出哪些改变。

以下屏幕截图显示了编号为“3”的页面（共 7 页）；请注意，在部分标题“2 Vide du modèle”上方和下方没有多余的空间。

\documentclass[twoside,12pt,demo]{aesm_edspia}
   % remove 'demo' option in real document

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\usepackage{moreverb} %% pour le verbatim en boite
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\usepackage{url} %% pour citer les url par \url
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\usepackage{setspace} 
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\newcommand{\ie}{c.-à-d.~}
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\makeatletter
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\renewcommand{\SC@figure@vpos}{c}% centrer verticalement le caption avec le package sidecap...
\renewcommand{\fnum@figure}{\small\textbf{Figure~\thefigure}}
\renewcommand{\fnum@table}{\small\textbf{Tableau~\thetable}}
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\def\thechapter{\Roman{chapter}}
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\renewcommand\figurename{\small\textbf{Figure}}


\begin{document}


\addtocounter{page}{-1}%pour revenir à 0


\makethese %% crée la couverture.

\onehalfspacing


\fancyhead[LE,RO]{Introduction }
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\chapter*{Introduction générale}    
\addcontentsline{toc}{chapter}{Introduction générale}

Dans ce chapitre, nous allons parler des
généralités sur la
SUSY. Nous commencerons par la description de l'algèbre supersymétrique, 
ensuite nous allons donner ses représentations. Et
finalement on va parler des superespaces et
superchamps.

\section{Modèle particulier avec une variété hyper-Kählerienne 
et un groupe de jauge $U(1)\times U(1)$}

Dans les parties précédentes, on a vu que ce modèle
contient un multiplet de matière décrit par un multiplet
tensoriel ou un hyper-multiplet, et $n$ superchamps de Maxwell
$U(1)$. Dorénavant on va
le restreindre par l'imposition du potentiel de Kähler suivant:
\begin{equation} \label{20}
K( Q^{u},\bar{Q}^{\bar{u}}) =\bar{Q}^{1}Q^{1}+\bar{Q}^{2}Q^{2}
=\begin{pmatrix} \bar{Q}^{1} & Q^{2} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} Q^{1} \\ Q^{2} \end{pmatrix}. 
\end{equation}
On remarque que la métrique de Kähler est Ricci-plate, on a aussi
changé les notations de deux multiplet chiral de l'hypermultiplet: 
$\begin{pmatrix} \bar{Q}^{1} & Q^{2} \end{pmatrix}$ 
le modèle dual à \eqref{17} avec le potentiel de Kähler particulier~\eqref{20}:
\begin{align}
\mathcal{L} &= \mathcal{L}_{\textrm{gauge}}+\dint d^{4}\theta
\left[
\bar{Q}^{1}e^{-2g_{a}V^{a}}Q^{1}+\bar{Q}^{2}e^{2g_{a}V^{a}}Q^{2}%
\right]  \notag \\
&\quad+\dint d^{2}\theta \left[ ( m+\sqrt{2}ig_{a}X^{a}) Q^{1}Q^{2}-
\frac{ig_{a}}{k_{a}}Y\right] , \label{21}
\end{align}
où $m$ est un paramètre de masse, et $Q^{1}$ et $Q^{2}$ ont
deux charges de $U(1)$ oposées.

Pour determiner $H(L,\Phi ,\bar{\Phi }) $, on doit effectuer une
transformation de dualité inverse, pour ceci on doit faire
le changement de variables suivant:
\begin{equation} \label{tfn}
Q^{1}=\sqrt{\frac{\Phi }{\sqrt{2}}}e^{-\Phi '
},\quad
Q^{2}=i\sqrt{\frac{\Phi
}{\sqrt{2}}}e^{\Phi ' } \quad
\Rightarrow \quad
Q^{1}Q^{2}=\frac{i}{\sqrt{2}}\Phi .  
\end{equation}
Alors \eqref{21} devient:
\begin{align*}
\mathcal{L} &= \mathcal{L}_{\textrm{gauge}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\dint
d^{4}\theta \sqrt{\bar{\Phi }\Phi }\left[ e^{\bar{\Phi}' +\Phi ' 
+2g_{a}V^{a}}+e^{-\bar{\Phi }' -\Phi' -2g_{a}V^{a}}\right] \\
&\quad+\dint d^{2}\theta ( m+\sqrt{2}ig_{a}X^{a}) \frac{i}{\sqrt{2}}\Phi -\frac{ig_{a}}{k_{a}}Y+h.c.
\end{align*}
Le potentiel de Kähler depend maintenant de $\bar{\Phi}'+\Phi'$, 
alors le model dual à~\eqref{21} est donné par:
\begin{equation} \label{24}
\mathcal{L} = \mathcal{L}_{\textrm{gauge}}+\dint d^{4}\theta H( L,\Phi ,\bar{\Phi }) +
\dint d^{2}\theta ( m+\sqrt{2}ig_{a}X^{a}) \frac{i}{\sqrt{2}}\Phi  -\frac{ig_{a}}{k_{a}}Y+h.c, 
\end{equation}
avec:
\begin{equation} \label{25}
H( L,\Phi ,\bar{\Phi }) =\sqrt{L^{2}+2\Phi \bar{\Phi }}
-L\ln \bigl( L+\sqrt{L^{2}+2\Phi \bar{\Phi }}\,\bigr)
+2g_{a}LV^{a}. 
\end{equation}%
En effet:%
\begin{equation}\label{dl1}
\dint d^{4}\theta \sqrt{\frac{\bar{\Phi }\Phi }{2}}\left[ e^{\bar{\Phi }' +\Phi ' 
+2g_{a}V^{a}}+e^{-\bar{\Phi }'
-\Phi ' -2g_{a}V^{a}}\right] ,  
\end{equation}
est équivalant à\footnote{En élimiant L dans \eqref{dl2}, par son équation du
mouvement, on trouve facilement \eqref{dl1}}:
\begin{equation} \label{dl2}
\dint d^{4}\theta \left[ \sqrt{\frac{\bar{\Phi }\Phi}{2}}[ e^{A}+e^{-A}] 
-L( A-2g_{a}V^{a}) \right] ,  
\end{equation}
où $A$ est un superchamp arbitraire réel et $L$ est un superchamp linéaire 
qui joue le r\^{o}le d'un multiplicateur de Lagrange.
L'équation du mouvement de $A$ implique:%
\[
\sqrt{\frac{\bar{\Phi }\Phi }{2}}( e^{A}-e^{-A}) -L=0,
\]
dont la solution est:
\begin{equation} \label{dl3}
e^{A}=\frac{L}{\sqrt{2\lvert \Phi \rvert ^{2}}}
\bigl( L+\sqrt{L^{2}+2\lvert \Phi \rvert ^{2}}\,\bigr) .  
\end{equation}
En substituant \eqref{dl3} dans \eqref{dl2} on trouve:
\[
\dint d^{4}\theta \left[ \sqrt{L^{2}+2\lvert \Phi \rvert
^{2}}
-L\ln\bigl( L+\sqrt{L^{2}+2\lvert \Phi \rvert ^{2}}\,\bigr) +2Lg_{a}V^{a}
\right]+\text{un terme de surface} 
=\dint d^{4}\theta H(L).
\]

Il est maintenant simple de vérifier que $H( L,\Phi ,\bar{\Phi })$ satisfait 
l'équation de Laplace. Le lagrangien
\eqref{21} dépend d'un champ 4-forme $Y$ mais son équation de
mouvement pose la contrainte suivante:
\begin{equation}\label{26}
\frac{g_{a}}{k_{a}}=0.  
\end{equation}
Alors la dépendance du champ non dynamique $Y$ est
éliminée grace à la contrainte~\eqref{26}.

Remarque: dans le cas d'un seul $U(1)$ la contrainte \eqref{26} devient: 
$\frac{g}{k}=0$, alors soit l'hypermultiplet est non chargé sous
$U(1)$ ($ g=0$), ou la seconde SUSY est réalisée
linéairement $\bigl( \frac{1}{k}=0\bigr) $, et
dans les deux cas on peut pas brisée la SUSY $\mathcal{N}=2$ 
à deux échelles différentes.

\section{Vide du modèle}

Comme ce modèle contient un hypermultiplet $( 0^{4},\frac{1}{2}^{2}) $ 
et un multiplet de Maxwell $( 0^{2},\frac{1}{2}^{2},1) $ alors on a 
deux phases; la phase de Higgs qui est associée à l'hypermultiplet et 
dans laquelle le groupe de jauge
$U(1)\times U(1) $ est intact \cite{1}, et celle de Coulomb qui est
associée à le multiplet de Maxwell et dans laquelle le
groupe de jauge $U(1)\times U(1)$ est brisé. on remarque qu'on
ne peut utiliser dans la phase de Coulomb que le formalisme
d'hypermultiplet, car si $U(1)\times U(1)$ est intact
alors la valeur moyenne dans le vide ( VEV ) des champs scalaires 
$\langle q^{u}\rangle$ est nulle, mais la
définition des champs \eqref{tfn} montre que $\langle q^{u}\rangle $ 
ne peut pas être nul, par conséquent
on peut utiliser le formalisme tensoriel seulement dans la phase de
Higgs, mais l'analyse de cette branche est plus simple si on utilise
le formalisme tensoriel.


\subsection{Phase de Coulomb}


Comme ce qu'on a vu, dans le formalisme d'hypermultiplet le
lagrangien est
donné par~\eqref{21} \cite{1}:
\begin{align*}
\mathcal{L} &= \dint d^{4}\theta ( \bar{Q}^{1}e^{-2g_{a}V^{a}}Q^{1}
+\bar{Q}^{2}e^{2g_{a}V^{a}}Q^{2})
+\dint
d^{4}\theta \xi _{a}V^{a} \\
&\quad+\frac{i}{2}\dint d^{4}\theta \left[
\bar{\mathcal{F}}_{a}(\bar{x}^{b}) X^{a}-\mathcal{F}_{a}( X^{b}) 
\bar{x}^{a}\right] \\
&\quad+\dint d^{2}\theta ( m+\sqrt{2}ig_{a}X^{a}) Q^{1}Q^{2}+h.c-
\frac{i}{4}\dint d^{2}\theta \mathcal{F}_{ab}( X^{c})
W^{a}W^{b}+h.c \\
&\quad-\dint d^{2}\theta \bigl( \frac{e}{4}X^{a}+\frac{i}{4k_{a}}
\mathcal{F}_{a}( X^{b}) \bigr) +h.c.
\end{align*}
Le potentiel scalaire est donné par \cite{WB}:
\begin{equation*}
V_{s}=\bar{F}^{\bar{q}^{1}}F^{q^{1}}+\bar{F}^{\bar{q}^{2}}
F^{q^{2}}+h^{ab}\bar{F}^{\bar{x}^{a}}F^{x^{b}}+
\frac{1}{2}h^{ab}D_{a}D_{b}.
\end{equation*}
Calculons les expressions de $\bar{F}^{\bar{q}^{1}}$ et $\bar{F}^{\bar{q}^{2}}$:
\begin{align*}
\dint &d^{4}\theta ( \bar{Q}^{\bar{1}} e^{-2g_{a}V^{a}}Q^{1}) +
\dint d^{2}\theta ( m+\sqrt{2}ig_{a}X^{a})
Q^{1}Q^{2}+h.c  \\
&=\dint d^{4}\theta \left[ \bar{Q}^{\bar{1}}(
1-2g_{a}V^{a}+\dotsb) Q^{1}\right] +\dint d^{2}\theta 
( m+\sqrt{2}ig_{a}X^{a}) Q^{1}Q^{2}+h.c, \\
&\supset \dint d^{4}\theta \left[ ( \bar{\theta }^{2}\bar{F}^{\bar{q}^{1}}) 
( 1) ( \theta ^{2}F^{q^{1}}) \right] +
\dint d^{2}\theta ( m+\sqrt{2}ig_{a}x^{a})
( \theta^{2}F^{q^{1}}) q^{2}+h.c, \\
&=\bar{F}^{\bar{q}^{1}}F^{q^{1}}+
( m+\sqrt{2}ig_{a}x^{a}) F^{q^{1}}q^{2}+h.c.
\end{align*}
Alors l'équation de mouvement de $F^{q^{1}}$:
\begin{equation*}
\bar{F}^{\bar{q}^{1}}+( m+\sqrt{2}ig_{a}x^{a})
q^{2}=0\Rightarrow \bar{F}^{q^{1}}=-(
m+\sqrt{2}ig_{a}x^{a}) q^{2}=-m_{\textrm{eff}}q^{2},
\end{equation*}
avec
\begin{equation*}
m_{\textrm{eff}}=m+\sqrt{2}ig_{a}x^{a}.
\end{equation*}

\begin{itemize}
\item
\begin{align*}
\dint &d^{4}\theta (\bar{Q}^{2}e^{2g_{a}V^{a}}Q^{2})
+\dint d^{2}\theta ( m+\sqrt{2}ig_{a}X^{a}) Q^{1}Q^{2}+h.c \\
&\dint d^{4}\theta \left[ \bar{Q}^{2}(1+2g_{a}V^{a}+\dotsb) Q^{2}\right] +
\dint d^{2}\theta (m+\sqrt{2}ig_{a}X^{a})
Q^{1}Q^{2}+h.c, \\
&\supset \dint d^{4}\theta \left[ 
( \bar{\theta}^{2}\bar{F}^{\bar{q}^{2}}) ( 1 ) ( \theta
^{2}F^{q^{2}}) \right] +
\dint d^{2}\theta ( m+\sqrt{2}ig_{a}x^{a}) ( \theta ^{2}F^{q^{2}}) q^{1}+h.c, \\
&=\bar{F}^{\bar{q}^{2}}F^{q^{2}}+( m+\sqrt{2}ig_{a}x^{a}) F^{q^{2}}q^{1}+h.c.
\end{align*}
Alors l'équation de mouvement de $F^{q^{2}}$:
\begin{equation*}
\bar{F}^{\bar{q}^{2}}+( m+\sqrt{2}ig_{a}x^{a})
q^{1}=0\Rightarrow \bar{F}^{\bar{q}^{2}}=
-( m+\sqrt{2}ig_{a}x^{a}) q^{1}=
-m_{\textrm{eff}}q^{1}.
\end{equation*}
Calcul de $F^{x^{a}}$:
\item
\begin{align*}
\frac{i}{2}\dint d^{4}\theta ( \bar{F}_{a}X^{a}-F_{a}\bar{x}^{a}) &= 
\frac{i}{2}\dint d^{4}\theta ( \bar{F}_{ba}
\bar{x}^{b}X^{a}-F_{ba}X^{b}\bar{x}^{a}) ,\\
&\supset \frac{i}{2}\dint d^{4}\theta \left[
\bar{F}_{ba}( \bar{\theta}^{2}\bar{F}^{\bar{x}^{b}}) 
( \theta^{2}F^{x^{a}}) -F_{ba}( \theta ^{2}F^{x^{b}})
(\bar{\theta}^{2}\bar{F}^{\bar{x}^{a}}) \right] , \\
&=\frac{i}{2}\left[ \bar{F}_{ba}\bar{F}^{\bar{x}^{b}}
F^{x^{a}}-F_{ba}F^{x^{b}}\bar{F}^{\bar{x}^{a}}\right] .
\end{align*}
\end{itemize}
\end{document}

Answer 1

你的 LaTeX 代码不太容易解析，在很多地方效率很低，而且它使用的环境eqnarray如下严重贬低并且不再有任何理由继续使用它们。我尝试（相当）清理您的代码。作为此清理的副作用，一些节标题上方和下方的大间隙消失了。请花时间研究清理后的代码与原始代码有何不同，并请得出您自己的结论，即您应该在今后的编码实践中做出哪些改变。

以下屏幕截图显示了编号为“3”的页面（共 7 页）；请注意，在部分标题“2 Vide du modèle”上方和下方没有多余的空间。

\documentclass[twoside,12pt,demo]{aesm_edspia}
   % remove 'demo' option in real document

\usepackage[english,french]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
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\renewcommand{\SC@figure@vpos}{c}% centrer verticalement le caption avec le package sidecap...
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\usepackage{subfig}
\def\thechapter{\Roman{chapter}}
%%%\def\thechapter{\Roman{chapter}}
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\usepackage{pifont}
%%%%\input{tcilatex}
\newcommand{\dint}{\displaystyle\int} % ? do make sure that this is the correct definition

\renewcommand\figurename{\small\textbf{Figure}}


\begin{document}


\addtocounter{page}{-1}%pour revenir à 0


\makethese %% crée la couverture.

\onehalfspacing


\fancyhead[LE,RO]{Introduction }
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\fancyfoot[LE]{\thepage}
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\chapter*{Introduction générale}    
\addcontentsline{toc}{chapter}{Introduction générale}

Dans ce chapitre, nous allons parler des
généralités sur la
SUSY. Nous commencerons par la description de l'algèbre supersymétrique, 
ensuite nous allons donner ses représentations. Et
finalement on va parler des superespaces et
superchamps.

\section{Modèle particulier avec une variété hyper-Kählerienne 
et un groupe de jauge $U(1)\times U(1)$}

Dans les parties précédentes, on a vu que ce modèle
contient un multiplet de matière décrit par un multiplet
tensoriel ou un hyper-multiplet, et $n$ superchamps de Maxwell
$U(1)$. Dorénavant on va
le restreindre par l'imposition du potentiel de Kähler suivant:
\begin{equation} \label{20}
K( Q^{u},\bar{Q}^{\bar{u}}) =\bar{Q}^{1}Q^{1}+\bar{Q}^{2}Q^{2}
=\begin{pmatrix} \bar{Q}^{1} & Q^{2} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} Q^{1} \\ Q^{2} \end{pmatrix}. 
\end{equation}
On remarque que la métrique de Kähler est Ricci-plate, on a aussi
changé les notations de deux multiplet chiral de l'hypermultiplet: 
$\begin{pmatrix} \bar{Q}^{1} & Q^{2} \end{pmatrix}$ 
le modèle dual à \eqref{17} avec le potentiel de Kähler particulier~\eqref{20}:
\begin{align}
\mathcal{L} &= \mathcal{L}_{\textrm{gauge}}+\dint d^{4}\theta
\left[
\bar{Q}^{1}e^{-2g_{a}V^{a}}Q^{1}+\bar{Q}^{2}e^{2g_{a}V^{a}}Q^{2}%
\right]  \notag \\
&\quad+\dint d^{2}\theta \left[ ( m+\sqrt{2}ig_{a}X^{a}) Q^{1}Q^{2}-
\frac{ig_{a}}{k_{a}}Y\right] , \label{21}
\end{align}
où $m$ est un paramètre de masse, et $Q^{1}$ et $Q^{2}$ ont
deux charges de $U(1)$ oposées.

Pour determiner $H(L,\Phi ,\bar{\Phi }) $, on doit effectuer une
transformation de dualité inverse, pour ceci on doit faire
le changement de variables suivant:
\begin{equation} \label{tfn}
Q^{1}=\sqrt{\frac{\Phi }{\sqrt{2}}}e^{-\Phi '
},\quad
Q^{2}=i\sqrt{\frac{\Phi
}{\sqrt{2}}}e^{\Phi ' } \quad
\Rightarrow \quad
Q^{1}Q^{2}=\frac{i}{\sqrt{2}}\Phi .  
\end{equation}
Alors \eqref{21} devient:
\begin{align*}
\mathcal{L} &= \mathcal{L}_{\textrm{gauge}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\dint
d^{4}\theta \sqrt{\bar{\Phi }\Phi }\left[ e^{\bar{\Phi}' +\Phi ' 
+2g_{a}V^{a}}+e^{-\bar{\Phi }' -\Phi' -2g_{a}V^{a}}\right] \\
&\quad+\dint d^{2}\theta ( m+\sqrt{2}ig_{a}X^{a}) \frac{i}{\sqrt{2}}\Phi -\frac{ig_{a}}{k_{a}}Y+h.c.
\end{align*}
Le potentiel de Kähler depend maintenant de $\bar{\Phi}'+\Phi'$, 
alors le model dual à~\eqref{21} est donné par:
\begin{equation} \label{24}
\mathcal{L} = \mathcal{L}_{\textrm{gauge}}+\dint d^{4}\theta H( L,\Phi ,\bar{\Phi }) +
\dint d^{2}\theta ( m+\sqrt{2}ig_{a}X^{a}) \frac{i}{\sqrt{2}}\Phi  -\frac{ig_{a}}{k_{a}}Y+h.c, 
\end{equation}
avec:
\begin{equation} \label{25}
H( L,\Phi ,\bar{\Phi }) =\sqrt{L^{2}+2\Phi \bar{\Phi }}
-L\ln \bigl( L+\sqrt{L^{2}+2\Phi \bar{\Phi }}\,\bigr)
+2g_{a}LV^{a}. 
\end{equation}%
En effet:%
\begin{equation}\label{dl1}
\dint d^{4}\theta \sqrt{\frac{\bar{\Phi }\Phi }{2}}\left[ e^{\bar{\Phi }' +\Phi ' 
+2g_{a}V^{a}}+e^{-\bar{\Phi }'
-\Phi ' -2g_{a}V^{a}}\right] ,  
\end{equation}
est équivalant à\footnote{En élimiant L dans \eqref{dl2}, par son équation du
mouvement, on trouve facilement \eqref{dl1}}:
\begin{equation} \label{dl2}
\dint d^{4}\theta \left[ \sqrt{\frac{\bar{\Phi }\Phi}{2}}[ e^{A}+e^{-A}] 
-L( A-2g_{a}V^{a}) \right] ,  
\end{equation}
où $A$ est un superchamp arbitraire réel et $L$ est un superchamp linéaire 
qui joue le r\^{o}le d'un multiplicateur de Lagrange.
L'équation du mouvement de $A$ implique:%
\[
\sqrt{\frac{\bar{\Phi }\Phi }{2}}( e^{A}-e^{-A}) -L=0,
\]
dont la solution est:
\begin{equation} \label{dl3}
e^{A}=\frac{L}{\sqrt{2\lvert \Phi \rvert ^{2}}}
\bigl( L+\sqrt{L^{2}+2\lvert \Phi \rvert ^{2}}\,\bigr) .  
\end{equation}
En substituant \eqref{dl3} dans \eqref{dl2} on trouve:
\[
\dint d^{4}\theta \left[ \sqrt{L^{2}+2\lvert \Phi \rvert
^{2}}
-L\ln\bigl( L+\sqrt{L^{2}+2\lvert \Phi \rvert ^{2}}\,\bigr) +2Lg_{a}V^{a}
\right]+\text{un terme de surface} 
=\dint d^{4}\theta H(L).
\]

Il est maintenant simple de vérifier que $H( L,\Phi ,\bar{\Phi })$ satisfait 
l'équation de Laplace. Le lagrangien
\eqref{21} dépend d'un champ 4-forme $Y$ mais son équation de
mouvement pose la contrainte suivante:
\begin{equation}\label{26}
\frac{g_{a}}{k_{a}}=0.  
\end{equation}
Alors la dépendance du champ non dynamique $Y$ est
éliminée grace à la contrainte~\eqref{26}.

Remarque: dans le cas d'un seul $U(1)$ la contrainte \eqref{26} devient: 
$\frac{g}{k}=0$, alors soit l'hypermultiplet est non chargé sous
$U(1)$ ($ g=0$), ou la seconde SUSY est réalisée
linéairement $\bigl( \frac{1}{k}=0\bigr) $, et
dans les deux cas on peut pas brisée la SUSY $\mathcal{N}=2$ 
à deux échelles différentes.

\section{Vide du modèle}

Comme ce modèle contient un hypermultiplet $( 0^{4},\frac{1}{2}^{2}) $ 
et un multiplet de Maxwell $( 0^{2},\frac{1}{2}^{2},1) $ alors on a 
deux phases; la phase de Higgs qui est associée à l'hypermultiplet et 
dans laquelle le groupe de jauge
$U(1)\times U(1) $ est intact \cite{1}, et celle de Coulomb qui est
associée à le multiplet de Maxwell et dans laquelle le
groupe de jauge $U(1)\times U(1)$ est brisé. on remarque qu'on
ne peut utiliser dans la phase de Coulomb que le formalisme
d'hypermultiplet, car si $U(1)\times U(1)$ est intact
alors la valeur moyenne dans le vide ( VEV ) des champs scalaires 
$\langle q^{u}\rangle$ est nulle, mais la
définition des champs \eqref{tfn} montre que $\langle q^{u}\rangle $ 
ne peut pas être nul, par conséquent
on peut utiliser le formalisme tensoriel seulement dans la phase de
Higgs, mais l'analyse de cette branche est plus simple si on utilise
le formalisme tensoriel.


\subsection{Phase de Coulomb}


Comme ce qu'on a vu, dans le formalisme d'hypermultiplet le
lagrangien est
donné par~\eqref{21} \cite{1}:
\begin{align*}
\mathcal{L} &= \dint d^{4}\theta ( \bar{Q}^{1}e^{-2g_{a}V^{a}}Q^{1}
+\bar{Q}^{2}e^{2g_{a}V^{a}}Q^{2})
+\dint
d^{4}\theta \xi _{a}V^{a} \\
&\quad+\frac{i}{2}\dint d^{4}\theta \left[
\bar{\mathcal{F}}_{a}(\bar{x}^{b}) X^{a}-\mathcal{F}_{a}( X^{b}) 
\bar{x}^{a}\right] \\
&\quad+\dint d^{2}\theta ( m+\sqrt{2}ig_{a}X^{a}) Q^{1}Q^{2}+h.c-
\frac{i}{4}\dint d^{2}\theta \mathcal{F}_{ab}( X^{c})
W^{a}W^{b}+h.c \\
&\quad-\dint d^{2}\theta \bigl( \frac{e}{4}X^{a}+\frac{i}{4k_{a}}
\mathcal{F}_{a}( X^{b}) \bigr) +h.c.
\end{align*}
Le potentiel scalaire est donné par \cite{WB}:
\begin{equation*}
V_{s}=\bar{F}^{\bar{q}^{1}}F^{q^{1}}+\bar{F}^{\bar{q}^{2}}
F^{q^{2}}+h^{ab}\bar{F}^{\bar{x}^{a}}F^{x^{b}}+
\frac{1}{2}h^{ab}D_{a}D_{b}.
\end{equation*}
Calculons les expressions de $\bar{F}^{\bar{q}^{1}}$ et $\bar{F}^{\bar{q}^{2}}$:
\begin{align*}
\dint &d^{4}\theta ( \bar{Q}^{\bar{1}} e^{-2g_{a}V^{a}}Q^{1}) +
\dint d^{2}\theta ( m+\sqrt{2}ig_{a}X^{a})
Q^{1}Q^{2}+h.c  \\
&=\dint d^{4}\theta \left[ \bar{Q}^{\bar{1}}(
1-2g_{a}V^{a}+\dotsb) Q^{1}\right] +\dint d^{2}\theta 
( m+\sqrt{2}ig_{a}X^{a}) Q^{1}Q^{2}+h.c, \\
&\supset \dint d^{4}\theta \left[ ( \bar{\theta }^{2}\bar{F}^{\bar{q}^{1}}) 
( 1) ( \theta ^{2}F^{q^{1}}) \right] +
\dint d^{2}\theta ( m+\sqrt{2}ig_{a}x^{a})
( \theta^{2}F^{q^{1}}) q^{2}+h.c, \\
&=\bar{F}^{\bar{q}^{1}}F^{q^{1}}+
( m+\sqrt{2}ig_{a}x^{a}) F^{q^{1}}q^{2}+h.c.
\end{align*}
Alors l'équation de mouvement de $F^{q^{1}}$:
\begin{equation*}
\bar{F}^{\bar{q}^{1}}+( m+\sqrt{2}ig_{a}x^{a})
q^{2}=0\Rightarrow \bar{F}^{q^{1}}=-(
m+\sqrt{2}ig_{a}x^{a}) q^{2}=-m_{\textrm{eff}}q^{2},
\end{equation*}
avec
\begin{equation*}
m_{\textrm{eff}}=m+\sqrt{2}ig_{a}x^{a}.
\end{equation*}

\begin{itemize}
\item
\begin{align*}
\dint &d^{4}\theta (\bar{Q}^{2}e^{2g_{a}V^{a}}Q^{2})
+\dint d^{2}\theta ( m+\sqrt{2}ig_{a}X^{a}) Q^{1}Q^{2}+h.c \\
&\dint d^{4}\theta \left[ \bar{Q}^{2}(1+2g_{a}V^{a}+\dotsb) Q^{2}\right] +
\dint d^{2}\theta (m+\sqrt{2}ig_{a}X^{a})
Q^{1}Q^{2}+h.c, \\
&\supset \dint d^{4}\theta \left[ 
( \bar{\theta}^{2}\bar{F}^{\bar{q}^{2}}) ( 1 ) ( \theta
^{2}F^{q^{2}}) \right] +
\dint d^{2}\theta ( m+\sqrt{2}ig_{a}x^{a}) ( \theta ^{2}F^{q^{2}}) q^{1}+h.c, \\
&=\bar{F}^{\bar{q}^{2}}F^{q^{2}}+( m+\sqrt{2}ig_{a}x^{a}) F^{q^{2}}q^{1}+h.c.
\end{align*}
Alors l'équation de mouvement de $F^{q^{2}}$:
\begin{equation*}
\bar{F}^{\bar{q}^{2}}+( m+\sqrt{2}ig_{a}x^{a})
q^{1}=0\Rightarrow \bar{F}^{\bar{q}^{2}}=
-( m+\sqrt{2}ig_{a}x^{a}) q^{1}=
-m_{\textrm{eff}}q^{1}.
\end{equation*}
Calcul de $F^{x^{a}}$:
\item
\begin{align*}
\frac{i}{2}\dint d^{4}\theta ( \bar{F}_{a}X^{a}-F_{a}\bar{x}^{a}) &= 
\frac{i}{2}\dint d^{4}\theta ( \bar{F}_{ba}
\bar{x}^{b}X^{a}-F_{ba}X^{b}\bar{x}^{a}) ,\\
&\supset \frac{i}{2}\dint d^{4}\theta \left[
\bar{F}_{ba}( \bar{\theta}^{2}\bar{F}^{\bar{x}^{b}}) 
( \theta^{2}F^{x^{a}}) -F_{ba}( \theta ^{2}F^{x^{b}})
(\bar{\theta}^{2}\bar{F}^{\bar{x}^{a}}) \right] , \\
&=\frac{i}{2}\left[ \bar{F}_{ba}\bar{F}^{\bar{x}^{b}}
F^{x^{a}}-F_{ba}F^{x^{b}}\bar{F}^{\bar{x}^{a}}\right] .
\end{align*}
\end{itemize}
\end{document}

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