使用数学模式？

Question

一位 MWE 表示：

\documentclass[12pt]{book}
\usepackage{imakeidx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{setspace}
\usepackage{lipsum}
\usepackage[margin=.5in]{geometry}
\usepackage{parskip}
\usepackage{bookmark}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{float}
\usepackage{caption}
\usepackage{subcaption}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{accents}
\usepackage{bm}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{fancyvrb}
\usepackage[bottom]{footmisc}
\makeindex
\usepackage{hyperref}

\begin{document}

    We know that the \textbf{dual} of $\mathbf{a_1}$ is ${\mathbf{a_1}^\perp}$

    We know that the \textbf{dual} of $\mathbf{a_1}$ is {${\mathbf{a_1}}^\perp$}

\end{document}

刚刚学会使用数学模式，我遇到了以下问题：

We know that the \textbf{dual} of $\mathbf{a_1}$ is ${\mathbf{a_1}^\perp}$

导致错误“Mathbf 仅允许在数学模式下使用”。我尝试了一些变体，但都导致错误“insert } missing”，如下所示：

We know that the \textbf{dual} of $\mathbf{a_1}$ is {${\mathbf{a_1}}^\perp$}

我实在不明白数学符号周围 $ 符号的位置。有什么提示吗？

Answer 1

（评论太长，因此作为答案发布）

一些评论和意见：

• 甚至连序言中加载的软件包都不需要编译文档正文。请花些时间弄清楚编译完整文档真正需要哪些软件包。

• 您发布的文档主体实际上编译时没有错误。

• 您可能需要特别考虑下标项是否也应出现在大胆的。以下屏幕截图显示了下标项的两种输入类型的结果。

\documentclass[12pt]{book}
\begin{document}
We know that the \emph{dual} of $\mathbf{a}_1^{}$ is $\mathbf{a}_1^\perp$.

\medskip
We know that the \emph{dual} of $\mathbf{a_1^{}}$ is $\mathbf{a}_{\mathbf{1}}^\perp$.
\end{document}