如何编写卷积和傅里叶变换

Question

我想在 LaTeX 中写下以下等式：

\begin{equation}
x(t) \ast h(t) = y(t) 

X(f) H(f) = Y(f) 
\end{equation}

我想\ast表示卷积。我知道还有命令\star。我用哪一个来表示卷积有关系吗？然后我想要一个傅里叶变换符号，我的意思是两边各有一个彩色圆圈和一个空心圆圈的线，分别连接 x(t) 和 X(f)、h(t) 和 H(f)、y(t) 和 Y(f)。有办法吗？

Answer 1

\circledast通常使用包中的符号来amssymb表示循环卷积过程。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}

\begin{align*}
x(t) \circledast h(t) &= y(t) \\
X(f) H(f) &= Y(f) 
\end{align*}

\end{document}

对于线性卷积，一个简单的*更合适：

\begin{align*}
x(t)*h(t) &= y(t) \\
X(f) H(f) &= Y(f) 
\end{align*}

为了在方程式各部分之间绘制连接，可以使用 TikZ 包及其tikzmark库来标记线条的开始和结束位置。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,tikzmark}
\begin{document}

\begin{align*}
x\tikzmark{x}(t)*h\tikzmark{h}(t) &= y\tikzmark{y}(t) \\[2em]
X(f) \, H(f) &= Y(f) 
\end{align*}

\begin{tikzpicture}[overlay,remember picture, > = {Circle[open,blue]}]
  \draw [<->] ([yshift=-.7ex]pic cs:x) -- ++(0,-2.2em);
  \draw [<->] ([yshift=-.7ex]pic cs:h) -- ++(0,-2.2em);
  \draw [<->] ([yshift=-.7ex]pic cs:y) -- ++(0,-2.2em);
\end{tikzpicture}

\end{document}

Answer 2

我只想补充一点，使用 trfsigns 包可以更轻松地获取傅里叶变换对之间的符号。

\usepackage{trfsigns}
$g(x_1,x_2)* h(x_1,x_2)\laplace G(\omega_1,\omega_2)\cdot H(\omega_1,\omega_2)$