我不明白这个错误是从哪里来的

Question

令我难堪的代码和相关前言是：

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{physics}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{cancel}
\usepackage{amsfonts}

\begin{document}


\begin{equation}
\begin{aligned}
& [e^{\frac{ipL}{\hbar}},e^{\frac{2\pi ix}{L'}}]f(x)=e^{\frac{ipL}
{\hbar}}e^{\frac{2\pi ix}{L'}}f(x)-e^{\frac{2\pi ix}{L'}}e^{\frac{ipL}
{\hbar}}f(x) \\
&=e^{\frac{ipL}{\hbar}}e^{\frac{2\pi ix}{L'}}f(x)+e^{i\pi}e^{\frac{2\pi ix}
{L'}}e^{\frac{ipL}{\hbar}}f(x) \\
&=f(x+L)(e^{\frac{2\pi i(x+L)}{L'}}+e^{\frac{i\pi(2(x+L)+L')}{L'}}) \\
&=e^{\frac{ipL}{\hbar}}e^{2\pi ix}{L'}f(x)(e^{2\pi i\frac{L}{L'}}+e^{\pi 
i(2\frac{L}{L'}+1)}) \\
&=e^{\frac{ipL}{\hbar}}e^{2\pi ix}{L'}f(x)(Cos(2\pi\frac{L}{L'}) + 
iSin(2\pi\frac{L}{L'}) + Cos(2\pi\frac{L}{L'}+\pi) + iSin(2\pi\frac{L}{L'} + 
\pi)) \\
&\Longrightarrow  [e^{\frac{ipL}{\hbar}},e^{\frac{2\pi ix}{L'}}] = 
0~\text{for}~\frac{L}{L'} \in \mathbb{Z}\text{\footnote{$Cos(2\pi\frac{L}{L'}) + 
iSin(2\pi\frac{L}{L'}) + Cos(2\pi\frac{L}{L'}+\pi) + iSin(2\pi\frac{L}{L'} + 
\pi) \longrightarrow \cancelto{1}{Cos(2n\pi)} + \cancelto{0}{iSin(2n\pi)} + 
\cancelto{-1}{Cos(2n\pi\frac+\pi)} + \cancelto{0}{iSin(2n\pi + \pi)}=1-1=0}}
\end{aligned}
\end{equation}



\end{document}

我的错误声称是某个地方缺少“$”，数学环境未封闭？但我扫描了几次，并没有发现这样的事情

Answer 1

有两个错误：首先，\footnote一般情况下，等式中不应使用 （脚注编号很容易与指数混淆），除非是非常简单等式，否则必须使用\footnotemark ...\footnotetext。其次，你的脚注最后缺少$。

我借此机会改进了这个等式的总体布局，改变了一些对齐点，并改变了一些分隔符的大小。

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{physics}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{cancel}
\usepackage{amsfonts}

\begin{document}

\begin{equation}
    \begin{aligned}
    \Bigl [e^{\frac{ipL}{\hbar}},e^{\frac{2\pi ix}{L'}}\Bigr] & f(x) =e^{\frac{ipL}
    {\hbar}}e^{\frac{2\pi ix}{L'}}f(x)-e^{\frac{2\pi ix}{L'}}e^{\frac{ipL}
    {\hbar}}f(x) \\
    &=e^{\frac{ipL}{\hbar}}e^{\frac{2\pi ix}{L'}}f(x)+e^{i\pi}e^{\frac{2\pi ix}
    {L'}}e^{\frac{ipL}{\hbar}}f(x) \\
    &=f(x+L)\Bigl(e^{\frac{2\pi i(x+L)}{L'}}+e^{\frac{i\pi(2(x+L)+L')}{L'}}\Bigr) \\
    &=e^{\frac{ipL}{\hbar}}e^{2\pi ix}{L'}f(x)\Bigl(e^{2\pi i\frac{L}{L'}}+e^{\pi
    i(2\frac{L}{L'}+1)}\Bigr) \\
    &=e^{\frac{ipL}{\hbar}}\cos\Bigl(2\pi\frac{L}{L'}+\pi\Bigr) + i\sin\Bigl(2\pi\frac{L}{L'} +
    \pi\Bigr) \\[1ex]
    \Longrightarrow\quad \Bigl[e^{\frac{ipL}{\hbar}},e^{\frac{2\pi ix}{L'}}\Bigr]& =
    0\;\text{for}~\frac{L}{L'} \in \mathbb{Z}\,\footnotemark
    \end{aligned}
\end{equation}

\end{document}