如何使用 tikz-pgf 进行非线性变换？

Question

首先，我认为 pgfmanual 并不完全正确。手册第 107.4.2 节指出

% \pgf@x will contain the radius angle
% \pgf@y will contain the distance
\pgfmathsincos@{\pgf@sys@tonumber\pgf@x}%
% pgfmathresultx is now the cosine of radius angle and 
% pgfmathresulty is the sine of radius angle 
\pgf@x=\pgfmathresultx\pgf@y% 
\pgf@y=\pgfmathresulty\pgf@y%

pgfmanual 中的代码可能正在做的是以xpt 表示坐标，然后取 cos 和 sin x/pt（即，如果 x=50pt，则它将返回 cos(50)），并将结果乘以坐标y，即

（x_new，y_new）=（y_old cos（x_old/pt），y_old sin（x_old/pt））

这导致了代码：

\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\usepgfmodule{nonlineartransformations}
\tikzset{declare function={mymod(\x)=\x-int(\x);}}
\makeatletter
\def\slowtransformation{% modified version of the manual 103.4.2 Installing Nonlinear Transformation
\typeout{before:\space\the\pgf@x\space\the\pgf@y}%
\edef\oriX{\the\pgf@x}%
\edef\oriY{\the\pgf@y}%
\pgfmathsetmacro{\myAngle}{mod(360+atan2(\oriY,\oriX),360)}
\pgfmathsetmacro{\myRadius}{veclen(\oriX,\oriY)}
\typeout{original\space x=\oriX\space y=\oriY}
\typeout{radius=\myRadius\space angle=\myAngle}
\setlength{\pgf@x}{\myAngle pt}
\setlength{\pgf@y}{\myRadius pt}
} 
\def\fastertransformation{% modified version of the manual 103.4.2 Installing Nonlinear Transformation
\pgfmathsetmacro{\myAngle}{mod(720+atan2(\pgf@y,\pgf@x),360)}
\pgfmathsetmacro{\myRadius}{veclen(\pgf@x,\pgf@y)}
\setlength{\pgf@x}{\myAngle pt}
\setlength{\pgf@y}{\myRadius pt}
} 
\makeatother
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[-latex] (-2.3,-2) -- (3.5,-2) node[below]{$x$};
\draw[-latex] (0,-2.3) -- (0,4.5) node[left]{$y$};
\draw[blue]  (-2, -1) -- (3, 4);
\end{tikzpicture}\\
\begin{tikzpicture}
\draw[-latex] (-0.3,0) -- (7.5,0) node[below]{$\varphi$};
\draw[-latex] (0,-0.3) -- (0,4.5) node[left]{$r$};
\pgftransformnonlinear{\slowtransformation}
\draw[blue]  (-2, -1) -- (3, 4);
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
\draw[-latex] (-0.3,0) -- (7.5,0) node[below]{$\varphi$};
\draw[-latex] (0,-0.3) -- (0,4.5) node[left]{$r$};
\pgftransformnonlinear{\fastertransformation}
\draw[blue]  (-2, -1) -- (3, 4);
\end{tikzpicture}
\end{document}

有两个相同的转换，第一个转换（\slowtransformation）更明确，并且问题\typeout更容易理解，而第二个转换（\fastertransformation）则更快一些。

笔记：

必须谨慎使用诸如scale=...和之类的选项。毕竟，这种变换将采用坐标scale和等变换，并且然后将它们映射到极坐标。因此，如果有人[yscale=0.5]在原点周围画一个圆，那么坐标就是椭圆的坐标，那么变换不是将它们映射到一条水平线（无需任何额外的变换即可完成）。
当前代码将产生 0 到 360 度之间的角度，这由控制mod(360+atan2(\oriY,\oriX),360)。如果您使用不同的约定，则需要相应地调整这段代码。

更新atan2(y,x)：修复了角度（ vs ）计算中的两个愚蠢错误，atan2(x,y)并使轴标签更加合适。我还删除了所有scale指令并添加了更多解释。

Answer 1