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来自朗兰兹“欧拉积”的 Dynkin 图

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来自朗兰兹“欧拉积”的 Dynkin 图

我想重现 Langlands 讲座集末尾的 Dynkin 图列表Euler 产品。此列表从第 35 页开始。

在此处输入图片描述

我正在使用 Benjamin McKay 的 Dynkin 图表包。我做了几个，但似乎无法做到 (v)、(ix)、(xi)、(xiii)、(xxi)、(xxvi) 以及以下所有。有人知道我错过了什么吗？

例如，我找不到将双边放在直线节点的前两个节点之间的方法，而不能放在其他地方。

第 (iv) 项很简单。忽略给出 $r$、$a_1$ 和 $\lambda_1$ 的那一行，我有

\documentclass{amsart}
\usepackage{tikz}

\usepackage{dynkin-diagrams}

\begin{document}

\begin{tikzpicture}  
\dynkin[edgeLength=1,arrows=false]{B}{oo.ooo};
\dynkinLabelRoot*{1}{2}
\dynkinLabelRoot*{2}{2}
\dynkinLabelRoot*{3}{2}
\dynkinLabelRoot*{4}{2}
\dynkinLabelRoot*{5}{1}
\dynkinLabelRoot{1}{\alpha_1}
\dynkinLabelRoot{2}{\alpha_2}
\dynkinLabelRoot{3}{\alpha_{n-1}}
\dynkinLabelRoot{4}{\alpha_n}
\end{tikzpicture}

\end{document}

根据以下方式绘制图表：文档。文档中似乎没有与 (v) 和 Langlands 列表中的其他示例相对应的图表。还有其他我错过的生成它们的方法吗？

答案1

更新：下面是如何通过 (iv) 获取 (v) 的方法xscale=-1。

\documentclass{amsart}
\usepackage{tikz}

\usepackage{dynkin-diagrams}

\begin{document}

\paragraph{(v)}

\begin{tikzpicture}  
\dynkin[edgeLength=1,xscale=-1]{B}{oo.ooo};
\dynkinLabelRoot*{1}{2}
\dynkinLabelRoot*{2}{2}
\dynkinLabelRoot*{3}{2}
\dynkinLabelRoot*{4}{2}
\dynkinLabelRoot*{5}{1}
\dynkinLabelRoot{1}{\alpha_n}
\dynkinLabelRoot{2}{\alpha_{n-1}}
\dynkinLabelRoot{3}{\alpha_2}
\dynkinLabelRoot{4}{\alpha_1}
\end{tikzpicture}

\paragraph{(ix)}

\begin{tikzpicture}  
\dynkin[edgeLength=1]{D}{oo.ooo};
\dynkinLabelRoot*{1}{1}
\dynkinLabelRoot*{2}{1}
\dynkinLabelRoot*{3}{1}
\dynkinLabelRoot*{4}{1}
\dynkinLabelRoot*{5}{1}
\dynkinLabelRoot{1}{\alpha_1}
\dynkinLabelRoot{2}{\alpha_{2}}
\dynkinLabelRoot{3}{\alpha_{n-1}}
\dynkinLabelRoot{5}{\alpha_n}
\end{tikzpicture}

\paragraph{(xi)}

\begin{tikzpicture}  
\dynkin[edgeLength=1,xscale=-1]{E}{ooooooo};
\dynkinLabelRoot*{1}{1}
\dynkinLabelRoot*{2}{1}
\dynkinLabelRoot*{3}{1}
\dynkinLabelRoot*{4}{1}
\dynkinLabelRoot*{5}{1}
\dynkinLabelRoot*{6}{1}
\dynkinLabelRoot*{7}{1}
\dynkinLabelRoot{1}{\alpha_6}
\dynkinLabelRoot{3}{\alpha_5}
\dynkinLabelRoot{4}{\alpha_4}
\dynkinLabelRoot{5}{\alpha_3}
\dynkinLabelRoot{6}{\alpha_2}
\dynkinLabelRoot{7}{\alpha_1}
\end{tikzpicture}

\paragraph{(xiii)}

\begin{tikzpicture}  
\dynkin[edgeLength=1,xscale=-1]{E}{oooooooo};
\dynkinLabelRoot*{1}{1}
\dynkinLabelRoot*{2}{1}
\dynkinLabelRoot*{3}{1}
\dynkinLabelRoot*{4}{1}
\dynkinLabelRoot*{5}{1}
\dynkinLabelRoot*{6}{1}
\dynkinLabelRoot*{7}{1}
\dynkinLabelRoot*{8}{1}
\dynkinLabelRoot{1}{\alpha_7}
\dynkinLabelRoot{3}{\alpha_6}
\dynkinLabelRoot{4}{\alpha_5}
\dynkinLabelRoot{5}{\alpha_4}
\dynkinLabelRoot{6}{\alpha_3}
\dynkinLabelRoot{7}{\alpha_2}
\dynkinLabelRoot{8}{\alpha_1}
\end{tikzpicture}

\paragraph{(xxi)}

\begin{tikzpicture}  
\dynkin[edgeLength=1,xscale=-1]{B}{ooo};
\dynkinLabelRoot*{1}{2}
\dynkinLabelRoot*{2}{2}
\dynkinLabelRoot*{3}{1}
\dynkinLabelRoot{1}{\alpha_3}
\dynkinLabelRoot{2}{\alpha_2}
\dynkinLabelRoot{3}{\alpha_1}
\end{tikzpicture}

\paragraph{(xiii)}

\begin{tikzpicture}  
\dynkin[edgeLength=1]{D}{oo.oooo};
\dynkinLabelRoot*{1}{1}
\dynkinLabelRoot*{2}{1}
\dynkinLabelRoot*{3}{1}
\dynkinLabelRoot*{4}{1}
\dynkinLabelRoot*{5}{1}
\dynkinLabelRoot*{6}{1}
\dynkinLabelRoot{1}{\alpha_1}
\dynkinLabelRoot{2}{\alpha_{2}}
\dynkinLabelRoot{3}{\alpha_{n-3}}
\dynkinLabelRoot{4}{\alpha_{n-2}}
\dynkinLabelRoot{5}{\alpha_{n-1}}
\dynkinLabelRoot{6}{\alpha_n}
\end{tikzpicture}

\paragraph{(xxvi)}

\begin{tikzpicture}  
\dynkin[edgeLength=1,xscale=-1]{E}{oooooooo};
\dynkinLabelRoot*{1}{1}
\dynkinLabelRoot*{2}{1}
\dynkinLabelRoot*{3}{1}
\dynkinLabelRoot*{4}{1}
\dynkinLabelRoot*{5}{1}
\dynkinLabelRoot*{6}{1}
\dynkinLabelRoot*{7}{1}
\dynkinLabelRoot{1}{\alpha_7}
\dynkinLabelRoot{3}{\alpha_6}
\dynkinLabelRoot{4}{\alpha_5}
\dynkinLabelRoot{5}{\alpha_4}
\dynkinLabelRoot{6}{\alpha_3}
\dynkinLabelRoot{7}{\alpha_2}
\dynkinLabelRoot{8}{\alpha_1}
\end{tikzpicture}

\end{document}

在此处输入图片描述

所有其他图表都完全类似，您只需记住标签是反转的，即根 1 将在右侧。输出不是最佳的，因为标签放置在其他元素（衬线）的顶部。请参阅下面的代码以了解如何修复该问题。

原始答案（在 OP 的 MWE 之前，可能对其他人有用）：所有这些图表对于该包来说都是很简单的。

\documentclass[tikz,border=3.14mm]{standalone}
\usepackage{dynkin-diagrams}
\usetikzlibrary{positioning}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
 \dynkin[name=reverseCn,xscale=-2,yscale=2,arrows=false]{C}{}
 \foreach \X in {1,...,5}
 {\node[above=0pt of reverseCn root \X]{\ifnum\X=5
 1
 \else
 2
 \fi};}
 \node[below=0pt of reverseCn root 1]{$\alpha_{n}$};
 \node[below=0pt of reverseCn root 2]{$\alpha_{n-1}$};
 \node[below=0pt of reverseCn root 3]{$\alpha_{2}$};
 \node[below=0pt of reverseCn root 4]{$\alpha_{1}$}; 
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
 \dynkin[name=Dn,scale=2]{D}{}
 \foreach \X in {1,...,6}
 {\node[above=0pt of Dn root \X]{1};}
 \foreach \X in {1,2}
 {\node[below=0pt of Dn root \X]{$\alpha_\X$};}
 \node[below=0pt of Dn root 3]{$\alpha_{n-2}$};
 \node (anm1) at([yshift=-3pt]Dn root 3|-Dn root 6){$\alpha_{n-1}$};
 \draw[-latex] (anm1) to[out=20,in=-110] (Dn root 4);
 \node[below=0pt of Dn root 6]{$\alpha_{n}$};
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
 \dynkin[name=reverseE8,xscale=-2,yscale=2,ordering=Dynkin]{E}{8}
 \foreach \X in {1,...,8}
 {\node[above=0pt of reverseE8 root \X]{1};}
 \foreach \X [evaluate=\X as \Y using int(8-\X)]in {1,...,7}
 {\node[below=0pt of reverseE8 root \X]{$\alpha_\Y$};}
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
 \dynkin[name=reverseB3,xscale=-2,yscale=2,ordering=Dynkin,arrows=false]{B}{3}
 \foreach \X in {1,...,3}
 {\node[above=0pt of reverseB3 root \X]{1};}
 \foreach \X [evaluate=\X as \Y using int(4-\X)]in {1,...,3}
 {\node[below=0pt of reverseB3 root \X]{$\alpha_\Y$};}
\end{tikzpicture}
\end{document}

在此处输入图片描述

答案2

该软件包的最新版本 (3.141)dynkin-diagrams在将根标签挡在边缘之外方面做得更好。朗兰兹表包含在软件包文档中，但这里是完整的代码示例：

Langlands 的表格第 1 页Langlands 的表格第 2 页

Langlands 的表格第 3 页

\documentclass{amsart}
\usepackage{dynkin-diagrams}
\usepackage{longtable}
\tikzset{/Dynkin diagram,ordering=Dynkin,label macro/.code={\alpha_{#1}}}
\newcounter{EPNo}
\setcounter{EPNo}{0}
\NewDocumentCommand\EP{smmmm}%
{%
\stepcounter{EPNo}\roman{EPNo}. &
\def\eL{.6cm}
\IfStrEqCase{#2}%
{%
{D}{\gdef\eL{1cm}}%
{E}{\gdef\eL{.75cm}}%
{F}{\gdef\eL{.35cm}}%
{G}{\gdef\eL{.35cm}}%
}%
\tikzset{/Dynkin diagram,edge length=\eL}
\IfBooleanTF{#1}%
{\dynkin[backwards,labels*={#4},labels={#5}]{#2}{#3}}
{\dynkin[labels*={#4},labels={#5}]{#2}{#3}}
\\
}%
\begin{document}
\begin{longtable}{rl}
\caption{Dynkin diagrams from Robert P. Langlands, \emph{Euler products}, Yale University Press, New Haven, Conn.-London, 1971, A James K. Whittemore Lecture in Mathematics given at Yale University, 1967, Yale Mathematical Monographs, 1. MR 0419366}
\\
\endfirsthead
\caption{\dots continued}\\
\endhead
\multicolumn{2}{c}{continued \dots}\\
\endfoot
\endlastfoot
\EP{A}{***.**}{1,1,1,1,1}{,1,2,n-1,n}
\EP{A}{***.**}{1,1,1,1,1}{1,2,n-1,n}
\EP{A}{**.***.*}{1,1,1,1,1,1}{1,2,m-1,,m,n}
\EP{B}{**.***}{2,2,2,2,1}{1,2,n-1,n}
\EP*{B}{***.**}{2,2,2,2,1}{n,n-1,2,1,}
\EP{C}{**.***}{1,1,1,1,2}{1,2,n-1,}
\EP*{C}{***.**}{1,1,1,1,2}{n,n-1,2,1,}
\EP{D}{**.****}{1,1,1,1,1,1}{1,2,n-2,n-1,n}
\EP{D}{**.****}{1,1,1,1,1,1}{1,2,n-2,n-1,n}
\EP{E}{6}{1,1,1,1,1,1}{1,...,5}
\EP*{E}{7}{1,1,1,1,1,1,1}{6,...,1}
\EP{E}{7}{1,1,1,1,1,1,1}{1,...,6}
\EP*{E}{8}{1,1,1,1,1,1,1,1}{7,...,1}
\EP{E}{8}{1,1,1,1,1,1,1,1}{1,...,7}
\EP{G}{2}{1,3}{,1}
\EP{G}{2}{1,3}{1}
\EP{B}{**.*.**}{2,2,2,2,1}{,1,2,n-1,n}
\EP{F}{4}{1,1,2,2}{,3,2,1}
\EP{C}{3}{1,1,2}{,2,1}
\EP{C}{**.***}{1,1,1,1,2}{,1,n-2,n-1,n}
\EP*{B}{3}{2,2,1}{1,2}
\EP{F}{4}{1,1,2,2}{1,2,3}
\EP{D}{**.****}{1,1,1,1,1,1}{1,2,n-2,n-2,n,n}
\EP{E}{6}{1,1,1,1,1,1}{1,2,3,4,,5}
\EP{E}{6}{1,1,1,1,1,1}{1,2,3,5,,4}
\EP*{E}{7}{1,1,1,1,1,1,1}{,5,...,1,6}
\EP*{E}{7}{1,1,1,1,1,1,1}{,6,4,3,2,1,5}
\EP*{E}{8}{1,1,1,1,1,1,1,1}{,6,...,1,7}
\EP*{E}{8}{1,1,1,1,1,1,1,1}{,7,5,4,3,2,1,6}
\EP*{E}{7}{1,1,1,1,1,1,1}{5,...,1,,6}
\EP*{E}{7}{1,1,1,1,1,1,1}{1,...,5,,6}
\EP*{E}{8}{1,1,1,1,1,1,1,1}{6,...,1,,7}
\end{longtable}
\end{document}

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