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为什么 pgffor 在 \foreach 循环中估算出 0.1-0=0.100005 ？

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为什么 pgffor 在 \foreach 循环中估算出 0.1-0=0.100005 ？

在第 902 页的手册中说

通常，当遇到列表项...时，它之前应该已经有两个列表项，即数字。

数字的例子有 1、-10 或 -0.24。我们把这些数字称为 x 和 y，设d:=y−x它们是差。接下来，三个点后面还应该有一个数字，我们把这个数字称为z。

在这种情况下，列表阅读的部分x,y,...,z被替换为x，，，，，...，其中最后的点是语义点，而不是句法点。值 m 是满足以下条件的最大数：或x+d满足以下条件：x+2dx+3dx+mdx+md≤zd is positivex+md ≥ zd is negative

也许最好通过一些例子来解释这一点：以下<list>具有相同的效果：

\foreach \x in {0,0.1,...,0.5} {\x, }0收益率0.1，，，，，0.20001​0.30002​0.40002​

正如这里x=0，我们推断2d=0.20001，因此只有d=0.100005。

编辑： 3d=0.30002因此d=0.10000666666...

编辑：那么，在这种情况下，从条目0中减去，并修改0.1该条目。由于根本没有减去任何内容，这怎么可能呢？这是否意味着减法会从数字中减去某些内容？0.10.100.1

  • 是不是因为 2 进制中的二进制减法用TeX? 用pgffor?
  • TeX?是因为中的数字 0 的二进制编码吗pgffor？
  • 如何pgffor计算 foreach 循环中的增量？

使用 www.DeepL.com/Translator 翻译

答案1

是如何\foreach \x in { a, b, ..., z } { <code> }工作的？

基本上，PGF 确实

\start=a pt
\step=b pt
\advance\step by -\start

此处a，b和z应为十进制数，\start和\step为dimen寄存器（不是真实名称）。然后，如手册所述，执行<code>具有\start初始值的；然后\advance\start by \step执行并<code>跟进。循环一直持续到\start>z pt（此时<code>不会执行）。这是\step>0pt，但情况\step<0pt类似。

现在，在 TeX 中如何使用 dimen 寄存器进行算术运算？

一个 dimen 寄存器的值以点为单位显示，但实际上以“缩放点”为单位存储，其中一个点是 65536 个缩放点。

在您的例子中，\step设置为 0.1pt，相当于 6554sp。再加 0.1pt 使内部值变为 13108sp。当 13108sp 转换回点时，该值为 0.20001pt。

但是，\dimen0=0.2pt对应于内部值 13107sp，因为 65536 乘以 2 等于 131072。并且0.00001pt是 1sp，即最小非零 TeX 维度。

随着进一步的增加，舍入误差会累积。

应尽可能避免使用\foreach小数值；当值为整数时，不会进行舍入。

答案2

0.1二进制有无限的表示形式。例如，为什么浮点数中不存在 0.1？因此会有舍入误差。此外，正如@DavidCarlisle 在评论中指出的那样，TeX 擅长整数运算，这又增加了一层误差。

\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=16]
\foreach \x in {0,0.1,...,0.5}
    \node at (\x,0.1) {\x};
\draw (0,0.05) -- (0.5,0.05);
\foreach \x[evaluate=\x as \y using \x/10] in {0,1,...,5}
    \node at (\y,0) {\y};
\draw (0,-0.05) -- (0.5,-0.05);
\foreach \x[evaluate=\x as \y using \x/10] in {0,1,...,5}
    \node at (\y,-0.1) {\pgfmathprintnumber[fixed,precision=1]{\y}};
\end{tikzpicture}
\end{document}

舍入误差

添加：的二进制表示 0.1为

0.00011001100110011...（重复 0011）

如果计算机使用 16 个二进制小数存储上述内容，则将变成

0.0001100110011010

转换回3277/32768 = 0.100006103515625。然后您将得到0.20001220703125，0.300018310546875和0.4000244140625。这里不涉及减法。这只是计算机存储数字的方式。

第二次编辑: 正如 @egreg 指出的那样，TeX 中的实际“浮点运算”是通过维度寄存器实现的。因此，您将受到将 pt转换为 时产生的舍入误差的影响sp。

巧合的是，由于3277/32768 = 6554/65536，这符合完美与我上面说明的转换：0.1通过 0.5正在积累恰恰如0.100006103515625、0.20001220703125、0.300018310546875、0.4000244140625和0.500030517578125。

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