☰

标准差

tag-icon • tag-icon math-mode
标准差

我的标准差公式代码如下：

\documentclass[11pt,a4paper]{article}  
\usepackage[latin1]{inputenc}  
\usepackage{amsmath}  
\usepackage{amsfonts}  
\usepackage{amssymb}  
\usepackage{makeidx}  
\usepackage{graphicx}  

\begin{document}  
\[ t=\dfrac{\overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}}  
{\sqrt{\dfrac{\left\lbrace\Sigma X_{1}^{2} \dfrac{\left( \Sigma  
 X_{1}\right)^{2}}{N_{1}}\right\rbrace+\left\lbrace\Sigma X_{2}^{2}   
 \dfrac{\left(\Sigma X_{2}\right)^{2}}{N_{2}}\right\rbrace}  
 {N_{1}+N_{2}-2}\text{x}\left( \dfrac{N_{1}+N_{2}}{N_{1}N_{2}} \right)}} \]  
\end{document}

看起来很复杂。有没有简单的方法可以制作相同的配方？

答案1

我必须承认我不确定你的公式是否正确。当然，公式确实不是表示标准差，这似乎是您的查询所暗示的。相反，它似乎是t 检验零假设是两个总体平均值相等，假设抽样是 iid （独立且相同分布）。

以下屏幕截图重现了第一行中的原始公式，这是该公式的印刷简化版本，其中我在第二行中将所有 替换为\Sigma，\sum并在第三行中重现了我认为是 t 检验的标准形式。不管怎么说，这是我多年前在研究生院的计量经济学课程中学到的公式。而且，我敢说，第三行中的公式比第一行和第二行中的公式更容易阅读和解析......

在此处输入图片描述

\documentclass[11pt,a4paper]{article}    
\usepackage{amsmath}  % for 'align*' env.

\begin{document}  
\noindent
We wish to test the null hypothesis that the means of two populations are equal. 
Denote the observations drawn from the two populations by $X_{1i}$ and~$X_{2j}$, 
with $i=1,\dots,N_1$ and $j=1,\dots,N_2$. Let 
\[
\bar{X}_1=\frac{1}{N_1}\sum_{i=1}^{N_1} X_{1i} 
\quad\text{and}\quad
\bar{X}_2=\frac{1}{N_2}\sum_{j=1}^{N_2} X_{2j}
\] 
denote the sample means, and let 
\[
\hat{\sigma}_1^2=\frac{1}{N_1-1}\sum_{i=1}^{N_1} (X_{1i} -\bar{X}_1)^2 
\quad\text{and}\quad
\hat{\sigma}_2^2=\frac{1}{N_2-1}\sum_{j=1}^{N_2} (X_{2j} -\bar{X}_2)^2
\] 
denote the sample variances. If the observations are iid, 
the $t$-test of the null hypothesis is given by
\begin{align*}
t&=\dfrac{\overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}}  
{\sqrt{\dfrac{
\left\lbrace\Sigma X_{1}^{2} 
\dfrac{\left( \Sigma X_{1}\right)^{2}}{N_{1}}\right\rbrace
+\left\lbrace\Sigma X_{2}^{2}
\dfrac{\left(\Sigma X_{2}\right)^{2}}{N_{2}}\right\rbrace}  
 {N_{1}+N_{2}-2}\text{x}
 \left( \dfrac{N_{1}+N_{2}}{N_{1}N_{2}} \right)}} \\
&=\frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{\displaystyle
\Biggl[\frac{
\sum X_1^2 \frac{ (\sum X_1)^2}{N_1}+\sum X_2^2   
    \frac{ (\sum X_2)^2}{N_2}}{N_1+N_2-2}
    \times \frac{N_1+N_2}{N_1N_2}
\Biggr]^{1/2}} \\
&=\frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{\displaystyle
\biggl[
\frac{(N_1-1)\hat{\sigma}_1^2 + (N_2-1)\hat{\sigma}_2^2}{N_1+N_2-2}
\biggl(\frac{1}{N_1}+\frac{1}{N_2}\biggr)
\biggr]^{1/2}}
\end{align*}
\end{document}

答案2

在统计学中，我们可以计算两种类型的标准差。

对于人口 SD：

\begin{equation}
\sigma = \sqrt\frac{\sum{(X-\mu)^2}}{N}
\end{equation}

在哪里，

$\sigma$ = Population S.D.  

X = is individual value  

$\mu$ = Population Mean  

N = Population size

然而，对于样本 SD，我们有一个略有不同的公式：

\begin{equation}
s = \sqrt\frac{\sum{(x_i-\bar{x})^2}}{n-1}
\end{equation}

在哪里

*s* = Sample S.D.
$x_i$ = individual value
$\bar{x}$ = Sample mean
n = Sample size

相关内容