为了使用答案包，我下载了一个包含该包的文件。
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\newtheorem{Exc}{Exercice}
\Newassociation{correction}{Soln}{mycor}
\Newassociation{indication}{Indi}{myind}
\renewcommand{\Solnlabel}[1]{\bf \emph{Correction #1}}
\renewcommand{\Indilabel}[1]{\bf \emph{Indication #1}}
\def\exo#1{\futurelet\testchar\MaybeOptArgmyexoo}
\def\MaybeOptArgmyexoo{\ifx[\testchar \let\next\OptArgmyexoo
\else \let\next\NoOptArgmyexoo \fi \next}
\def\OptArgmyexoo[#1]{\begin{Exc}[#1]\normalfont}
\def\NoOptArgmyexoo{\begin{Exc}\normalfont}
\newcommand{\finexo}{\end{Exc}}
\newcommand{\flag}[1]{}
\newtheorem{question}{Question}
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}[1]
{
{\noindent
\textsf{Biblioth\`eque d'exercices}
\hfill \textbf{\textsf{#1}} \\
}{\noindent
\textsf{Topologie}
\hfill \textsf{Feuille n$^{\circ}\,$2}\\
}
\hrule
\begin{center}
\textbf{\textsf{\Large
Continuit\'e
}}
\end{center}
\hrule
\vspace*{1cm}
}
\begin{document}
\Opensolutionfile{mycor}[ficcorex]
\Opensolutionfile{myind}[ficind]
\entete{\'Enoncés}
\section*{Applications continues}
\exo{ 0 , queffelec, 01/10/2003, 3, {}}
Soit $X$ un espace topologique et $f:X\to \mathbb R$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est continue si et seulement si pour tout $\lambda\in \mathbb R$,
les ensembles $\{x\ ;\ f(x)<\lambda\}$ et $\{x\ ;\ f(x)>\lambda\}$ sont des
ouverts de $X$.
\item Montrer que si $f$ est continue, pour tout $\omega$ ouvert de $\mathbb R$,
$f^{-1}(\omega)$ est un $F_\sigma$ ouvert de $X$ ($F_\sigma$= r\'eunion
d\'enombrable de ferm\'es).
\end{enumerate}
\begin{indication}
\begin{enumerate}
\item Utiliser le fait que tout ouvert de $\mathbb R$ est l'union dénombrable d'intervalles ouverts.
\item \'Ecrire un intervalle fermé comme union dénombrable d'intervalles
ouverts, puis utiliser la même remarque que ci-dessus.
\end{enumerate}
\end{indication}
\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item Sens direct. Si $f$ est continue alors $\{x \mid f(x) < \lambda\} =
f^{-1}(]-\infty,\lambda[)$ est un ouvert comme image réciproque par une application continue de l'intervalle ouvert $]-\infty,\lambda[$. De même avec
$]\lambda,+\infty[$.
Réciproque. Tout d'abord, tout intervalle ouvert $]a,b[$, ($a<b$) peut s'écrire
$$]a,b[= ]-\infty,b[ \cap ]a,+\infty[.$$
Donc
$$f^{-1}(]a,b[) = f^{-1}(]-\infty,b[) \cap f^{-1}(]a,+\infty[)$$
est une intersection de deux ouverts donc un ouvert de $X$.
Soit $O$ un ouvert de $\mathbb R$, alors $O$ peut s'écrire comme l'union dénombrables d'intervalles ouverts :
$$O = \bigcup_{i\in I} {]a_i,b_i[}.$$
Donc
$$f^{-1}(O)= \bigcup_{i\in I} f^{-1}(]a_i,b_i[)$$
est une union d'ouvert donc un ouvert de $X$ .
\item Nous le faisons d'abord pour un intervalle ouvert $]a,b[$.
$$]a,b[ = \bigcup_{j\in\mathbb{N}^*} [a+\frac 1n,b-\frac 1n].$$
Donc
$$f^{-1}(]a,b[) = \bigcup_{j\in\mathbb{ N} f^{-1}([a+\frac 1j,b-\frac 1j]),$$
est une union dénombrable de fermés.
Maintenant comme pour la première question, tout ouvert $O$ de $\mathbb R$
s'écrit $O = \bigcup_{i\in I} ]a_i,b_i[$, avec $I$ dénombrable.
Donc on peut écrire
$$f^{-1}(O)= \bigcup_{i\in I}\bigcup_{j\in\mathbb{N}^*} f^{-1}([a_i+\frac 1j,b_i-\frac 1j]),$$
qui est une union dénombrable de fermés (mais c'est un ouvert !).
\end{enumerate}
\end{correction}
\finexo
\end{document}
编译时，答案出现在新页面上。指示也是如此。我希望指示和答案在陈述之后立即出现。
非常感谢您宝贵的建议。