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如何在 LaTeX 里面写出函数的和？

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如何在 LaTeX 里面写出函数的和？ 
\documentclass[border=10pt,pstricks]{standalone}
\usepackage{pst-func,amsmath,amssymb}
\usepackage{xfp}
\begin{document}
    \psset{xunit=1,yunit=2,linewidth=1pt}
    \begin{pspicture}[plotpoints=500](-.5,-1.5)(12,2)
    %
    \def\numerator#1{\fpeval{(-1)^(#1)/(fact(#1)*fact(#1))}}
    \def\function#1{(x/2)^(2*#1)}
    \def\hihihaha#1{\numerator#1*\function#1}
    %%
    \psclip{\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](-.5,-1)(11,1.2)}
    \psset{algebraic}
    \psplot[linecolor=blue!50!orange]{0}{3}{\hihihaha{0}+\hihihaha{1}} % =2
    \psplot[linecolor=red!50!orange]{0}{5}{\hihihaha{0}+\hihihaha{1}+\hihihaha{2}} % =4
    \psplot[linecolor=blue!50!red]{0}{6}{\hihihaha{0}+\hihihaha{1}+\hihihaha{2}+\hihihaha{3}} %=6
    \psplot[linecolor=blue!50!yellow]{0}{8}{\hihihaha{0}+\hihihaha{1}+\hihihaha{2}+\hihihaha{3}+\hihihaha{4}} %=8
    \psplot[linecolor=pink!50!orange]{0}{10}{\hihihaha{0}+\hihihaha{1}+\hihihaha{2}+\hihihaha{3}+\hihihaha{4}+\hihihaha{5}} %=10
    \psplot[linecolor=pink!50!cyan]{0}{12}{\hihihaha{0}+\hihihaha{1}+\hihihaha{2}+\hihihaha{3}+\hihihaha{4}+\hihihaha{5}+\hihihaha{6}} %=12
    \psplot[linecolor=green!50!orange]{0}{14}{\hihihaha{0}+\hihihaha{1}+\hihihaha{2}+\hihihaha{3}+\hihihaha{4}+\hihihaha{5}+\hihihaha{6}+\hihihaha{7}} %=14
    \psplot[linecolor=pink!50!red]{0}{16}{\hihihaha{0}+\hihihaha{1}+\hihihaha{2}+\hihihaha{3}+\hihihaha{4}+\hihihaha{5}+\hihihaha{6}+\hihihaha{7}+\hihihaha{8}} %=16
    \psplot[linecolor=blue!50!green]{0}{18}{\hihihaha{0}+\hihihaha{1}+\hihihaha{2}+\hihihaha{3}+\hihihaha{4}+\hihihaha{5}+\hihihaha{6}+\hihihaha{7}+\hihihaha{8}+\hihihaha{9}} %=18
    \psplot[linecolor=cyan!50]{0}{18}{\hihihaha{0}+\hihihaha{1}+\hihihaha{2}+\hihihaha{3}+\hihihaha{4}+\hihihaha{5}+\hihihaha{6}+\hihihaha{7}+\hihihaha{8}+\hihihaha{9}+\fpeval{1/(fact(10)*fact(10))}*x^20/\fpeval{2^20}} %=20
    \endpsclip
    \psBessel{0}{0}{10}%
    \psaxes[showorigin=false,arrowinset=.2,arrowsize=.2,%
    xsubticks=2,xsubticksize=1,ticksize=0 7pt,Dx=2]{->}(0,0)(-.5,-1.5)(11,2)
    \rput(6,.75){$\displaystyle
        J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \left(\frac{x}{2}\right)^{2k}}{k!\Gamma(k+1)}
        $}%
    \uput[-90](3,-1){$n=2$}
    \uput[-90](4.2,-1){$n=6$}
    \uput[-90](6,-1){$n=10$}
    \uput[-90](7.7,-1){$n=14$}
    \uput[-90](9.2,-1){$n=18$}
    \uput[-90](10,-.2){$J_0(x)$}
    %%%
    \uput[90](4,1.2){$n=4$}
    \uput[90](5.3,1.2){$n=8$}
    \uput[90](6.8,1.2){$n=12$}
    \uput[90](8.4,1.2){$n=16$}
    \uput[90](10,1.2){$n=20$}
    \end{pspicture}
\end{document}

在此处输入图片描述

问题：

  1. 如何\hihihaha通过递归重写？（这意味着我希望它更短）
  2. 当然，如何sum在 LaTeX 中编写函数？（有任何建议）它的意思是 --with k=1, LaTeX 打印the content of \hihihaha{0}+\hihihaha{1}，with k=2, LaTeX 打印the content of \hihihaha{0}+\hihihaha{1}+\hihihaha{2}，... ！

答案1

这里有一种方法可以做到——使用嵌套的\multido：

在此处输入图片描述

\documentclass[border=10pt,pstricks]{standalone}

\usepackage{pst-func,xfp}

\begin{document}

\psset{xunit=1,yunit=2,linewidth=1pt}
\begin{pspicture}[plotpoints=500](-.5,-1.5)(12,2)

  \psclip{\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](-.5,-1)(11,1.2)}

    \psset{algebraic}

    \colorlet{linecol1}{blue!50!orange}
    \colorlet{linecol2}{red!50!orange}
    \colorlet{linecol3}{blue!50!red}
    \colorlet{linecol4}{blue!50!yellow}
    \colorlet{linecol5}{pink!50!orange}
    \colorlet{linecol6}{pink!50!cyan}
    \colorlet{linecol7}{green!50!orange}
    \colorlet{linecol8}{pink!50!red}
    \colorlet{linecol9}{blue!50!green}
    \colorlet{linecol10}{cyan!50}

    \multido{\iA=2+1,\iL=3+2,\iC=1+1}{10}{%
      \def\x{0 }%
      \multido{\iB=0+1}{\iA}{%
        \xdef\x{\x + \fpeval{(-1)^(\iB) / (fact(\iB) * fact(\iB))} * x^\inteval{2 * \iB} / \fpeval{2^(2 * \iB)}}
      }%
      \psplot[linecolor=linecol\iC]{0}{\iL}{\x}
    }

  \endpsclip

  \psBessel{0}{0}{10}%
  \psaxes[showorigin=false,arrowinset=.2,arrowsize=.2,%
  xsubticks=2,xsubticksize=1,ticksize=0 7pt,Dx=2]{->}(0,0)(-.5,-1.5)(11,2)

  \rput(6,.75){$\displaystyle
    J_0(x) = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{(-1)^k \left( \frac{x}{2} \right)^{2 k}}{k! \Gamma(k + 1)}
    $}%
  \uput[-90](3,-1){$n = 2$}
  \uput[-90](4.2,-1){$n = 6$}
  \uput[-90](6,-1){$n = 10$}
  \uput[-90](7.7,-1){$n = 14$}
  \uput[-90](9.2,-1){$n = 18$}
  \uput[-90](10,-.2){$J_0(x)$}
  %%%
  \uput[90](4,1.2){$n = 4$}
  \uput[90](5.3,1.2){$n = 8$}
  \uput[90](6.8,1.2){$n = 12$}
  \uput[90](8.4,1.2){$n = 16$}
  \uput[90](10,1.2){$n = 20$}
\end{pspicture}

\end{document}

变量定义包括：

  • \iA（i整数 2，...，11）：每个函数中的元素数量
  • \iL（i整数 3，...，21）：x-max，据此评估函数
  • \iC（i从 1 到 10 的整数）：用于提取线条颜色linecol\iC（也可以只使用\iA并改变颜色linecolX）
  • \iB（i从 0 开始的整数，...，\iA）：扩展的内部术语序列以匹配指定的函数

外层\multido初始化\x并\psplot为函数\x。内层通过逐步添加第 项\multido来构造。在 的每次迭代中，都会添加一项\x\iB\multido\x

答案2

另一种方法是使用Asymptote，自动计算图表的端点：

//
// sumfunc.asy
//
settings.tex="pdflatex";
import graph; import math; import palette;
size(14cm,6cm,IgnoreAspect);
import fontsize;defaultpen(fontsize(8pt));
texpreamble("\usepackage{lmodern}");
real xmin=0,xmax=10.2, ymin=-1,ymax=1;
real dxmin=0, dxmax=0.22, dymin=dxmax, dymax=dxmax;
xaxis(xmin-dxmin,xmax+dxmax,RightTicks(Step=1,step=0.5,OmitTick(0)),above=true);
yaxis(ymin-dymin,ymax+dymax,LeftTicks (Step=1,step=0.5),above=true);

pair f(real x){return (x,Jn(0,x));}
pair fn(real x, real n){
  real a=1, s=1;
  for(int k=1;k<=n;++k){ 
    a*=-(x/2)^2/k^2; s+=a;
  }
  return (x,s);
}
typedef pair pairFreal(real);
pairFreal Fn(int n){return new pair(real x){return fn(x,n);};}
real[] yClip={-1.1,1.1};
guide[] gfn;
for(int i=0;i<10;++i){
  guide g=graph(Fn(i+1),xmin,xmax);
  g=firstcut(g,(xmin, yClip[i%2])--(xmax, yClip[i%2])).before;
  gfn.push(g);
}

pen[] fnPen=Gradient(gfn.length+1,lightblue,darkblue);

guide gf=graph(f,xmin,xmax);
draw(gf,fnPen[fnPen.length-1]+1.2bp);
label("$J_0(x)$",relpoint(gf,1),plain.S);
for(int i=gfn.length-1;i>=0;--i){ 
  draw(gfn[i],fnPen[i]+0.7bp);
  label("$n=$"+string((i+1)*2),relpoint(gfn[i],1),(0,-(-1)^i));
}

label("$J_0(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}"+ 
"\frac{(-x^2)^k}{4^k(k!)^2}$",(5,0.6),UnFill);

在此处输入图片描述

答案3

这是我上面的评论。它表明，对于足够大的值，n贝塞尔函数可以得到很好的近似。总和在循环中累积，该循环还将中间总和存储在可以在另一个循环中绘制的宏中。（原则上，一个循环足以完成所有事情，但问题是如何在 LaTeX 中定义总和。）幸运的是，pstricks 现在加载了pgffor，所以我可以循环遍历你的颜色而无需任何额外的努力。

\documentclass[border=10pt,pstricks]{standalone}
\usepackage{pst-func,amsmath,amssymb}
\usepackage{xfp}
\begin{document}
    \psset{xunit=1,yunit=2,linewidth=1pt}
    \begin{pspicture}[plotpoints=500](-.5,-1.5)(13,2)
    %
    \def\numerator#1{\fpeval{(-1)^(#1)/(fact(#1)*fact(#1))}}
    \def\function#1{(x/2)^(2*#1)}
    \def\hihihaha#1{\numerator#1*\function#1}
    \foreach \X in {0,...,20}
    {\ifnum\X=0
    \xdef\mysum{\expandafter\hihihaha{\X}}%
    \else
    \ifodd\X
    \xdef\mysum{\mysum\expandafter\hihihaha{\X}}%
    \else
    \xdef\mysum{\mysum+\expandafter\hihihaha{\X}}%
    \fi
    \expandafter\xdef\csname mysum\romannumeral\X\endcsname{\mysum}
    \fi}
    \typeout{\mysumi}
    %%
    \psclip{\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](-.5,-1)(11,1.2)}
    \psset{algebraic}
    \foreach \Color [count=\X]in {blue!50!orange, %=2
    red!50!orange, %=4
    blue!50!red,%=6
    blue!50!yellow,%=8
    pink!50!orange,%=10
    pink!50!cyan,%=12
    green!50!orange,%=14
    pink!50!red,%=16
    blue!50!green,%=18
    cyan!50}%=20
    {\expandafter\psplot[linecolor=\Color]{0}{18}{\csname mysum\romannumeral\X\endcsname}}
    \psplot[linecolor=red]{0}{18}{\mysum} %=20
    \endpsclip
    \psBessel{0}{0}{10}%
    \psaxes[showorigin=false,arrowinset=.2,arrowsize=.2,%
    xsubticks=2,xsubticksize=1,ticksize=0 7pt,Dx=2]{->}(0,0)(-.5,-1.5)(11,2)
    \rput(6,.75){$\displaystyle
        J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \left(\frac{x}{2}\right)^{2k}}{k!\Gamma(k+1)}
        $}%
    \uput[-90](3,-1){$n=2$}
    \uput[-90](4.2,-1){$n=6$}
    \uput[-90](6,-1){$n=10$}
    \uput[-90](7.7,-1){$n=14$}
    \uput[-90](9.2,-1){$n=18$}
    \uput[0](10.8,-0.2){$n=40$}
    \uput[-90](10,-.2){$J_0(x)$}
    %%%
    \uput[90](4,1.2){$n=4$}
    \uput[90](5.3,1.2){$n=8$}
    \uput[90](6.8,1.2){$n=12$}
    \uput[90](8.4,1.2){$n=16$}
    \uput[90](10,1.2){$n=20$}
    \end{pspicture}
\end{document}

在此处输入图片描述

答案4

\documentclass[border=10pt,pstricks]{standalone}
\usepackage{pst-func,pst-math,amsmath,xfp}
\makeatletter
\def\myBessel{\@ifnextchar[{\myBessel@i}{\myBessel@i[]}}
\def\myBessel@i[#1]#2{{%%%  #2 = kmax
  \pst@killglue
  \psset{plotpoints=500,#1}%
  \psplot{0}{\inteval{#2+2}}{% #2=kmax
    /Sum 1 def
    1 1 #2 { /k exch def
     -1 k exp x 2 div k dup add exp mul % -1^k (x/2)^(2k)
     k 1 add GAMMA k tx@AddMathFunc begin ! end mul  % denominator
     Div  
     Sum add /Sum exch def
    } for
    Sum
  }%
}\ignorespaces}
\makeatother

\begin{document}
\psset{yunit=2}
\begin{pspicture}[plotpoints=500](-.5,-1.5)(12,2)
\psclip{\psframe[linestyle=none](-.5,-1)(11,1.2)}
\multido{\iA=1+1,\iB=10+10}{10}{\myBessel[linewidth=1.5pt,linecolor=red!\iB]{\iA}}
\psBessel{0}{0}{10}%
\endpsclip
\psaxes[showorigin=false,arrowinset=.2,arrowsize=.2,%
    xsubticks=2,xsubticksize=1,ticksize=0 7pt,Dx=2]{->}(0,0)(-.5,-1.5)(11,2)
\rput(6,.75){$\displaystyle
    J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \left(\frac{x}{2}\right)^{2k}}{k!\Gamma(k+1)}$}%
\uput[-90](3,-1){$n=2$}   \uput[-90](4.2,-1){$n=6$}
\uput[-90](6,-1){$n=10$}  \uput[-90](7.7,-1){$n=14$}
\uput[-90](9.2,-1){$n=18$}\uput[-90](10,-.2){$J_0(x)$}
    %%%
\uput[90](4,1.2){$n=4$}   \uput[90](5.3,1.2){$n=8$}
\uput[90](6.8,1.2){$n=12$}\uput[90](8.4,1.2){$n=16$}
\uput[90](10,1.2){$n=20$}
\end{pspicture}
\end{document}

在此处输入图片描述

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