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\begin{document}
\chapter{Notion d'extension de corps }
\section{Extension d'anneau}
\begin{defi}
Soit $A$ un anneau, on appel \textbf{\textcolor{blue}{extension}} de $A$ tout anneau $B$
tel que $A$ est une sous-anneau de $B$. Dans ce cas on note \textcolor{blue}{$B/A$} ou \textcolor{blue}{$B:A$} ou \textcolor{blue}{$A\myarrow B$}.
\end{defi}
\section{Extension de corps}
Maintenant on introduisant la notion d'extension de corps.
\begin{defi}
Étant donné un corps $K$, on appelle \textbf{\textcolor{blue}{extension}} de $K$ tout corps $L$ contenant $K$ et on note \textcolor{blue}{$L/K$} ou \textcolor{blue}{$L:K$} ou \textcolor{blue}{$K\myarrow L$}.
\end{defi}
\begin{exemples}
\newlist{coloritemize}{itemize}{1}
\setlist[coloritemize]{label=\textcolor{blue}{\textbullet}}
\begin{coloritemize}
\item Tout corps de caractéristique $0$ est une extension du corps $\mathds{Q}$.
En particulier, les inclusions $\mathds{Q} \subset \mathds{R}\subset \mathds{C}$ montrent que $\mathds{R}$ et $\mathds{C}$ sont extensions de $\mathds{Q}$ et que $\mathds{C}$ est extension de $\mathds{R}$.\\
Utilisons les notations donc on a : $\mathds{C}/\mathds{R}$, $\ \mathds{C}/\mathds{Q}$, $\ \mathds{R}/\mathds{Q}$.
\item Soit $L:=\{p+qi\ |\ (p,q)\in \mathds{Q}\times \mathds{Q}\ et\ i^2=-1 \}$.\\
On vérifie que $L$ est un sous-corps de $\mathds{C}$ contenant $\mathds{Q}$, donc L est une extension de $\mathds{Q}$, et, $\mathds{C}$ est une extension de $L$.
\end{coloritemize}
\end{exemples}
\begin{defi}
On dira qu'un corps $K'$ est un \textbf{\textcolor{blue}{corps intermédiaire}} pour une extension $L/K$, si
$K \subset K' \subset L$.
\end{defi}
\section{Degré d'une extension de corps}
\begin{defi}
Soit $L/K$ une extension, la dimension de l'espace vectoriel $L$
sur $K$ s'appel \textbf{\textcolor{blue}{degré}} de l'extension $L/K$. On le note \textbf{\textcolor{blue}{$[L:K]$}}.
\end{defi}
\begin{voc}
Si $L$ est de dimension fini sur $K$, on dit que $L$ est une extension de \textbf{\textcolor{blue}{degré fini}} sur $K$ et
$[L:K]=dim_KL$. Dans ce cas on note $[L:K]<\infty$. \\
Si $L$ est de dimension infinie sur $K$, on dit que $L$ est une extension de \textbf{\textcolor{blue}{degré infini}} sur $K$. Dans ce cas on note $[L:K]=\infty$.
\end{voc}
\begin{lema}\label{l1}
Soit $L/K$ une extension de degré $[L:K]=1$, $\{\alpha\}$ une base de $L/K$ alors: $$\exists k\in K\ /\ k\alpha=1.$$
\end{lema}
\begin{preuve}
K est un corps $\implies$ $K\neq\emptyset$ $\implies$ $\exists k_1\in K$ tel que $k_1 \neq 0$, or $\{\alpha\}$ une base de $L/K$ et $k_1 \in$ L \\$\implies$ $k_1=a\alpha$, avec $a\in K$, $k_1$ est inversible dans $K$ $\implies$
$1=k_1^{-1}a \alpha$, par suite il suffit de poser $k=k_1^{-1}a$.\QED
\end{preuve}
\begin{props}
Soit $L/K$ une extension, alors:
$$[L:K]=1 \iff L=K.$$
\end{props}
\begin{preuve}
$(\implies)$\\
Supposons que $[L:K]=1$, d'après le lemme $\ref{l1}$, $\exists k\in K\ /\ k\alpha=1$, donc $\alpha\in K$ (car $\alpha=k^{-1}\in K$).
Or on a: $\forall x\in L$, $x=k'\alpha$ avec $k'\in K$ $\implies$ $x\in K$ (car $K$ est un corps), ce qui donne $L\subset K$, et par définition $K\subset L$, d'où $L=K$.\\
($\Longleftarrow$)\\
Supposons que $L=K$, alors $\{1_L\}$ est une base de L dans K, par suite $[L:K]=1$.\QED
\end{preuve}
\begin{props}\label{p1}
Soient $M/K$ une extension, $L$ un corps intermédiaire de
$M/K$, $(x_i)_{i\in I}$ une base de $L/K$, $(y_j)_{j\in J}$ une base de $M/L$, alors $(x_i y_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une base de $M/K$.
\end{props}
\begin{preuve}
\textcolor{magenta}{Montrons que $(x_i y_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une famille génératrice de $M/K$}.\\\\
$(y_j)_{j\in J}$ une base de $M/L$ $\implies$ $\forall z\in M,\ z=\sum\limits_{j\in J} \alpha_j y_j$, où $(\alpha_j)_{j\in J}$ presque nuls dans L. D'une part $\forall j\in J,\ \alpha_j\in L$. D'autre part $(x_i)_{i\in I}$ base de $L/K$ $\implies$ $\alpha_j=\sum\limits_{i\in I} \beta_{ij} x_i$, où $(\beta_{ij})_{i\in I}$ presque nuls dans $K$. On remplace dans z, on trouve $z=\sum\limits_{j\in J} (\sum\limits_{i\in I} \beta_{ij} x_i) y_j =\sum\limits_{(i,j)\in I\times J} \beta_{ij} x_i y_j$, on a montré que:
$$\forall z\in M, \exists (\beta_{ij})_{i\in I}\subset K\ \ tel\ que\ \ z=\sum\limits_{(i,j)\in I\times J} \beta_{ij} x_i y_j.$$
\textcolor{magenta}{Montrons que $(x_i y_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une famille libre de $M/K$}.\\\\
Soit $(c_{ij})_{i\in I}\subset K$ tel que $\sum\limits_{(i,j)\in I\times J} c_{ij} x_i y_j=0$, où $(c_{ij})_{i\in I}$ presque nuls dans $K$, alors on a:
\begin{align*}
\sum\limits_{(i,j)\in I\times J} c_{ij} x_i y_j=\sum\limits_{j\in J} (\sum\limits_{i\in I} c_{ij} x_i) y_j=0 & \implies \sum\limits_{i\in I} c_{ij} x_i=0\ \ \big(car:\ (y_j)_{j\in J}\ une\ base\ de\ M/L \big) \\
& \implies c_{ij}=0,\ \forall (i,j)\in I\times J\ \big(car:\ (x_i)_{i\in I}\ une\ base\ de\ L/K\big).
\end{align*}\QED
\end{preuve}
\begin{coro}
Soient $M/K$ une extension, $L$ un corps intermédiaire de
$M/K$, alors:
$$ [M:K]=[M:L][L:K].$$
De plus: $$ [M:K]<\infty \iff [M:L]<\infty \ et\ [L:K]<\infty .$$
\end{coro}
\begin{preuve}
Soit $(x_i)_{i\in I}$ une base de $L/K$, $(y_j)_{j\in J}$ une base de $M/L$, alors d'après la proposition \ref{p1}, $(x_i y_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une base de $M/K$, et on a;
\begin{align*}
[M:K]&= Card\big( \big\{(x_i y_j)_{(i,j)\in I\times J} \big\}\big) \\
& = Card(I\times J) \\
& = Card(I)\times Card(J)\\
& = [M:L][L:K].
\end{align*}
L'egalité $ [M:K]=[M:L][L:K],$ justifiée l'équivalence\\
$$ [M:K]<\infty \iff [M:L]<\infty \ et\ [L:K]<\infty .$$
\QED
\end{preuve}
\section{Nombres algébriques - Nombres transcendants}
\begin{defi}
Soit $L/K$ une extension de corps, $\alpha \in L$, on dit que $\alpha$ est:\\
$\centerdot$ \textbf{\textcolor{blue}{Algébrique}} sur $K$ si: $\exists P\in K[X]-\{0\}$, tel que $P(\alpha)=0$.\\
$\centerdot$ \textbf{\textcolor{blue}{Transcendant}} sur $K$, dans le cas contraire, c'est à dire:
$\forall P\in K[X]-\{0\}$, on a $P(\alpha)\neq 0$.
\end{defi}
\begin{exemples}
\newlist{coloritemize}{itemize}{1}
\setlist[coloritemize]{label=\textcolor{blue}{\textbullet}}
\begin{coloritemize}
\item Tout élément de K est algébrique sur K.
\item Les nombres $i$, $\sqrt{2}$ sont algébriques sur $\mathds{Q}$. En effet: $i$ est racine de $X^2+1$, $\sqrt{2}$ est racine de $X^2-2$.
\item On montre que $\pi$ et $e$ sont transcendants sur $\mathds{Q}$.
\end{coloritemize}
\end{exemples}
\begin{props}
Soit $L/K$ une extension, $\alpha \in L$. Il est équivalent de dire:
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item $\alpha$ est algébrique sur K.
\item $[K[\alpha]:K]< \infty $.
\item $ K[\alpha]$ est un corps.
\item $ K[\alpha]$=$ K(\alpha)$.
\item $[K(\alpha):K]< \infty $.
\item $\exists M$ un corps intermédiaire de $L/K$ telles que $[M:K]<$ $\infty$ $\ $ et $\ $ $\alpha \in M$.
\end{enumerate}
\end{props}
\begin{props}
Soient $L/K$ une extension, $\alpha \in L$, $M$ un corps intermédiaire de $L/K$, on a :
$$\alpha\ est\ algébrique\ sur\ K \implies \alpha\ est\ algébrique\ sur\ M.$$
\end{props}
\begin{props}
Soit $L/K$ une extension, $\alpha \in L$ algébrique sur $K$, alors $\exists !Q\in K[X]$
irréductible et unitaire tel que :
$$\forall P\in K[X],\ \ \ \ \big(\ P(\alpha) = 0 \iff Q|P\ \big).$$
\end{props}
Gardons les hypothèses de cette proposition, on a:
\begin{defi}
Le polynôme $Q$ s'appel polynôme irréductible de l'élément algébrique $\alpha$.\\ On le note : \textcolor{blue}{$Irr(\alpha/K)$} ou \textcolor{blue}{$Irr(\alpha,K)$}.
\end{defi}
\begin{exemples}
\newlist{coloritemize}{itemize}{1}
\setlist[coloritemize]{label=\textcolor{blue}{\textbullet}}
\begin{coloritemize}
\item $\forall \alpha \in K$, on a $Irr(\alpha/K)=X-\alpha$.
\item $Irr(\sqrt{2}/\mathds{Q})=X^2-2$.
\item $Irr(\sqrt[3]{2}/\mathds{Q})=X^3-2$.
\item $Irr(i / \mathds{R})=X^2+1$.
\item $Irr(\sqrt{2}+\sqrt{3},\mathds{Q})=X^4-10X^2+1$.
\end{coloritemize}
\end{exemples}
\begin{props}
Soit $L/K$ une extension, $\alpha\in L$ algébrique sur $K$, $Q=Irr(\alpha/K)$, $P\in K[X]$, Il est
équivalent de dire:
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item $P$ est de degré le plus petit tel que $P(\alpha)=0$.
\item $P$ est irréductible et $P(\alpha)=0$.
\item $P\thicksim Q$.
\end{enumerate}
\end{props}
\begin{props}
Soit $L/K$ une extension, $\alpha\in L$ algébrique sur $K$, soit $M$ un corps intermédiaire de
$L/K$, on a :$$Irr(\alpha/M)\ |\ Irr(\alpha/K).$$
\end{props}
\begin{props}
Soit $L/K$ une extension, $\alpha\in L$ algébrique sur $K$, $Q=Irr(\alpha/K)$, et $n=d$\textdegree$(Q)$, alors:
$$\{1,\alpha,\alpha^2,...\ ,\alpha^{n-1}\}$$
est une \textcolor{blue}{base} de $K(\alpha)/K$.
\end{props}
\begin{defi}
Soit $L/K$ une extension, $\alpha\in L$ algébrique sur $K$, $Q=Irr(\alpha/K)$, le degré de $Q$
\center{s'appel \textcolor{blue}{degré} de l'élément algébrique $\alpha$ sur $K$. On le note \textcolor{blue}{$d$\textdegree$(\alpha/K)$}.}
\end{defi}
\begin{props}
Soit $L/K$ une extension, $(\alpha$,$\beta)$ $\in L^2$ algébriques sur $K$, alors :
$$ \alpha+\beta,\ \ \alpha - \beta,\ \ \alpha \beta,\ \ \frac{\alpha}{\beta}\ (si\ \beta\neq0)$$
sont \textcolor{blue}{algébriques} sur $K$.
\end{props}
\begin{coro}
Soit $L/K$ une extension, l'ensemble des éléments de $L$ algébrique sur $K$ est un
\center{ \textcolor{blue}{corps intermédiaire} de $L/K$.}
\end{coro}
\begin{defi}
Soit $L/K$ une extension, l'ensemble des éléments de $L$ algébrique sur $K$, s'appel
\center{\textcolor{blue}{clôture algébrique} de $K$ dans $L$ (ou de $L/K$).}
\end{defi}
Dans cette section on va définir la notion d'extension algébrique qui a une relation très important avec la clôture algébrique.
\section{Extensions algébriques - Extensions transcendantes}
\begin{defi}
Une extension $L/K$ est dite \textcolor{blue}{algébrique}, si:
\begin{align*}
\forall \alpha \in L,\ \alpha\ est\ algébrique\ sur\ K.
\end{align*}
Une extension non algébrique est dite extension \textcolor{blue}{transcendante}.
\end{defi}
\begin{remarks}
\textcolor{red}{1)}$\ $ Soit $L/K$ une extension, soit $M$ un corps intermédiaire de $L/K$, alors $M$ est
la clôture algébrique de $L/K$, si et seulement si :
\newlist{coloritemize}{itemize}{1}
\setlist[coloritemize]{label=\textcolor{blue}{\textbullet}}
\begin{coloritemize}
\item $M/K$ algébrique.
\item Pour tout corps intermédiaire $M'$ de $L/K$ on a:
\begin{align*}
M'/K\ algébrique \implies M'\subset M.
\end{align*}
\end{coloritemize}
\textcolor{red}{2)}$\ $On peut aussi définir l'extension algébrique à l'aide de la clôture algébrique, on a :$\ $ \center{$L/K$ algébrique $\iff$ La clôture algébrique de $K$ dans $L$, est $L$.}
\end{remarks}
\begin{props}
Toute extension finie est \textbf{\textcolor{blue}{algébrique}}.
\end{props}
\begin{props}
Soient $L/K$ extension, $M$ corps intermédiaire de $L/K$, alors:
$$ L/K\ est\ algébrique \iff L/M\ \ et\ \ M/K\ sont\ algébriques $$
\end{props}
\begin{lema}
Soient $L/K$ extension, $M$ corps intermédiaire de $L/K$, $\alpha\in L$, on a:
\begin{align*}
\big(\ \ (\alpha\ algébrique\ sur\ M)\ \ et\ \ (M/K\ algébrique)\ \ \big) \implies (\alpha\ algébrique\ sur\ K)
\end{align*}
\end{lema}
\begin{props}
Soit $M/M'$ une sous extension d'une extension $L/K$, on a :
$$L/K\ algébrique \implies M/M'\ algébrique. $$
\end{props}
\begin{props}
Soient $L/K$ une extension, $A\subset L$, alors:
$$\forall \alpha\in A,\ \alpha\ algébrique\ sur\ K \implies K(A)/K\ est\ algébrique. $$
\end{props}
\begin{props}
Soit $L/K$ une extension, $\Omega/L$ une extension, $S\subset\Omega$, on a :
$$L/K\ algébrique\implies L(S)/K(S)\ algébrique.$$
\end{props}
\begin{defi}
Soient $K_1$ et $K_2$ des sous-corps d'un corps $K$, on appel \textcolor{blue}{sous-corps produit} des sous-corps $K_1$ et $K_2$ le sous-corps de K engendré par $K_1\cup K_2$.
\center{On le note $\textcolor{blue}{K_1K_2}$.}
\end{defi}
\begin{remark}
Voici une autre écriture du sous-corps produit $K$.
$$ K_1 K_2 = K_1(K_2) = K_2(K_1) = P(K_1\cup K_2),$$
où $P$ est le sous-corps \textcolor{blue}{premier} de $K$.
\begin{props}
Soit $L/K$ une extension, $\Omega$ une extension de $L$, soit $M$ un sous-corps de $\Omega$, on a :
$$L/K\ algébrique \implies LM/KM\ algébrique.$$
\end{props}
\end{remark}
\end{document}
答案1
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