如何使用 Texmaker 修复 Beamer 构建错误
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\title{Le dahut}
%\author[Radin]{Ethiem Radin}
%\institute[Univ. Gévaudan]{UFR de Biologie\\ Université du Gévaudan}
%\date[MDCCXLVI]{Rencontres Quinte Essence, MDCCXLVI}
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\begin{document}
\chapter{\Large{séries entières}}
%\begin{thm}
%Soit $f:I\mapsto \mathbb{R}$ continue telle que
%\end{thm}
\textbf{Définition} : \newline
\begin{itemize}
\item On appelle série entière de la variable complexe $z$ de coefficients $(a_n)_n$ la série (de fonctions) $\displaystyle \underset{n\geq 0}{\dsum }a_{n}z^{n}$.
\item On appelle série entière de la variable réelle $x$ de coefficients $(a_n)_n$ la série (de fonctions) $
\displaystyle \sum a_{n}x^{n}.$
\end{itemize}
Remarque
1. Un polyn\^{o}me est une sèrie entière dont les coefficients sont
nuls $\grave{\text{\`{a}}}\text{\`{a}partir d'un certain rang }$.
3. La sèrie entière $\sum a_{n}x^{n}$ converge au moins pour $z=0$;
sa somme est pour $z=0$ est ègal \`{a} $a_{0}.$
{\textbf{Lemme d'Abel}}
\begin{thm}
Soit $\displaystyle \sum a_{n}z^{n}$ \textit{une sèrie entière et} $z_{0}\in \mathbb{C}$, alors les propositions suivantes sont équivalentes
\begin{itemize}
\item La suite $(a_{n}z_{0}^{n})$.
\item La sèrie $\sum_{n\geq }a_{n}z^{n}$ converge pour tout complexe $z$ tel que $|z|\leq |z_{0}|$
\end{itemize}
\end{thm}
\begin{thm}
Soit $\displaystyle \sum a_{n}z^{n}$ \textit{une sèrie entière et} $z_{0}$ un complexe non nul tel que la suite $(a_{n}z_{0}^{n})$ soit bornée.
Pour tout complexe} $z$ : $a_{n}z^{n}=O(|\displaystyle \frac{z}{z_{0}}|^{n})$ .Pour tout complexe} $z$ \textit{tel que} $|z|<|z_{0}|$, \textit{la sèrie numérique} $\displaystyle \sum a_{n}z^{n}$ est
absolument convergente.
\end{thm}
\textbf{Thèorème \ :[Lemme d'Abel ]}
\textit{Soit} $\displaystyle \sum a_{n}z^{n}$ \textit{une série entière et} $z_{0}$ \textit{un complexe non nul tel que la suite} $(a_{n}z_{0}^{n})$ soit bornée.
\begin{enumerate}
\item \textit{Pour tout complexe} $z$ : $a_{n}z^{n}=O\left( \left \vert \frac{
z}{z_{0}}\right \vert ^{n}\right) $ .
\item \textit{Pour tout complexe} $z$ \textit{tel que} $|z|<|z_{0}|$,
\textit{la sèrie numèrique} $\displaystyle \sum a_{n}z^{n}$ \textit{
est absolument convergente}.
\end{enumerate}
\textbf{Démonstration }
\begin{enumerate}
\item Pour tout $z\in \mathbb{C}$ : $|a_{n}z^{n}|=\left \vert
a_{n}z_{0}^{n}\right \vert \left \vert \frac{z}{z_{0}}\right \vert ^{n}=O\left(
\left \vert \frac{z}{z_{0}}\right \vert ^{n}\right) .$
\item Si $|z|<|z_{0}|$, la sèrie gèomètrique $\displaystyle \sum
\left \vert \frac{z}{z_{0}}\right \vert ^{n}$ converge, donc la sèrie $
\displaystyle \sum |a_{n}z^{n}|$ converge ègalement : la sèrie $
\displaystyle \sum a_{n}z^{n}$ est absolument convergente.
\end{enumerate}
\subsection{Rayon de convergence}
Soit $\displaystyle \sum a_{n}z^{n}$ une sèrie entière. L'ensemble
des rèels positifs $r$ tels que la suite $(a_{n}r^{n})_{n}$ soit born
èe
est un intervalle contenant $0.$
{\textbf{Définition}}
On appelle rayon de convergence de la série entière $\displaystyle \sum a_{n}z^{n}$ par :
$$ R=\sup \{r\in \mathbb{R}_{+},(a_{n}r^{n})bornée}.$$
Si $R=0$, alors pour tout $z$ non nul,la suite $(a_{n}z^{n})$ n'est pas bornée.
\textbf{Exemple 1.}
$\displaystyle \sum n^{n}z^{n}$ est grossièrement$t$ divergente pour tout $z\in \mathbb{C}^{\ast }.$
$\bullet $ Si $R=+\infty $ : la suite $(a_{n}r^{n})$ est bornèe pour tout $r\in \mathbb{R}^{+}.$ Pour tout complexe $z$, il existe $r\in \mathbb{R}+\mathrm{t}\mathrm{e}1$ que $|z|<r$
: la sèrie $\displaystyle \sum a_{n}z^{n}$ est absolument convergente pour tout $z\in \mathbb{C}.$
\textbf{Exemple 1}$\displaystyle \sum \frac{z^{n}}{n!}$ est absolument
\textit{convergente pour tout} $z\in \mathbb{C}$, car \textit{la suite} $(
\displaystyle \frac{z^{n}}{n!})$ \textit{converge} vers $0$, \textit{et} est
\textit{donc} bornèe.
$\bullet $ Si $0<R<+\infty $:
\begin{itemize}
\item Pour tout $z\in \mathbb{C}$ tel que $|z|<R$, il existe un rèel $r$ strictement compris entre $|z|$ et $R$ tel que la suite $(a_{n}r^{n})_{n}$ soit bornèe : la sèrie $\displaystyle \sum a_{n}z^{n}$ est absolument convergente.
\item Pour tout $z\in \mathbb{C}$ tel que $|z|>R$, la suite $\left(a_{n}z^{n}\right) _{n}$ n'est pas bornèe: la sèrie $\displaystyle\sum a_{n}z^{n}$ est grossièrement divergente.
\item Pour $|z|=R$, on ne peut rien dire a priori de la sèrie $\displaystyle \sum a_{n}z^{n}$ : elle peut \^{e}tre convergente (absolumentou non), ou divergente (grossièrement ou non).
\end{itemize}
\textbf{Dèfinition}
Le disque ouvert de centre $O$ de rayon $R$ est appelè disque de
convergence; $\left] -R,R\right[ $ l'intervalle de convergence.
\begin{itemize}
\item A l'intèrieur du disque de convergence, la sèrie converge
absolument.
\item A l'extèrieur du disque de convergence, la sèrie diverge grossi
èrement.
\item Sur le cercle de convergence, on ne peut gènèralement rien
dire.
\item Cependant deux rèsultats importants \`{a} retenir .
\begin{enumerate}
\item Si la sèrie converge absolument en un point du cercle, elle
converge absolument sur tout le cercle.
\item Si la sèrie diverge grossièrement en un point du cercle, elle
diverge grossièrement sur tout le cercle.
\end{enumerate}
\end{itemize}
\bigskip
Soit $\displaystyle \sum a_{n}z^{n}$ une sèrie entière de rayon de
convergence $R>0.$
\begin{itemize}
\item Si la sèrie $\displaystyle \sum a_{n}z_{0}^{n}$ converge, alors
alors $R\geq \left \vert z_{0}\right \vert .$
\item Si la sèrie $\displaystyle \sum a_{n}z_{1}^{n}$ diverge , alors $
R\leq \left \vert z_{1}\right \vert .$
\item Si la suite $\left( a_{n}z_{0}^{n}\right) _{n}$ ne tend pas vers $0$,
alors sèrie $\displaystyle \sum a_{n}z^{n}$ converge pour $z=z_{0}$,
alors $R\geq \left \vert z_{0}\right \vert .$
\end{itemize}
\end{document}