保持长度固定，使圆弧变平

Question 1

我提出两种结构（答案）：

压平环
压平并拉伸环。

假设环面是分布在内部和外部边界圆之间的一组同心圆。该族中的每个圆在压扁过程中都会变形，最终变成一个线段。在第一种构造中，这些曲线的长度在整个过程中是恒定的。特别是，表示变形环面的平面区域具有恒定的面积。在第二种构造中，这些曲线的长度不断增加，但对应于外部圆的曲线的长度不变。

在给出代码之前，我们先来解释一下。我们考虑一个环面，年代和否外圆上两个直径相对的点 C.我们表示为时间切线C在年代.我们沿着穿过的射线切割环否并希望将其展平，这样，最后，与外圆相对应的曲线成为切线中包含的线段时间和年代它的中点。

我将简要解释一下第一个构造，例如，它出现在 Cavalieri 关于不可分方法的著作中；参见https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_des_indivisibles#:~:text=spirale%20d'Archim%C3%A8de.-,Aire%20du%20disque,varie%20de%200%20%C3%A0%20R它基于以下想法：为了展平外圆，我们将其想象为一根导线，其端点位于否，绕在与时间。如果圆盘半径增加，但圆盘保持与时间，线的演变给出了圆所需的扁平化过程。

建筑是围绕这个限制过程建造的；有一组圆圈C_k 半径增加，描述了外圆的扁平化过程（见上图）。内圆被迫跟随外圆，因为其扁平化过程由与相应内圆同心的圆定义C_k 圈并保持与固定点相切 S'。

为了完成构造，我们计算定义所有这些弧的角度，每个值钾（通过变量\q在下面的代码中）。

第一个构造的代码

\documentclass[margin=10pt]{standalone}
\usepackage[rgb]{xcolor}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{math, calc}
\xdefinecolor{O}{RGB}{255, 102, 17}
\xdefinecolor{R}{RGB}{238, 34, 34}
\xdefinecolor{B}{RGB}{17, 87, 221}

\begin{document}
\tikzmath{%
  real \r, \R, \h, \q;
  \r = 1.5;
  \R = 2.75;
  \h = \R-\r;
}
\begin{tikzpicture}[every node/.style={scale=0.8}, rotate=-90]
  \path[clip] (-\R-2, -10) rectangle (\R+1, 10);
  \path
  (\R, 0) coordinate (S)
  (-\R, 0) coordinate (N);

  \draw[B, fill=B!30, fill opacity=.5, even odd rule]
  (0, 0) circle (\r)
  (0, 0) circle (\R);

  % \foreach \k [evaluate=\k as \q using \r/(\k*\R-\h)]
  % in {1.03, 1.1, 1.2, 1.32, 1.5, 1.7, 2, 2.4, 3, 3.8, 5.1, 8, 17}{%
  \foreach \k [evaluate=\k as \q using \r/(\k*\R-\h)]
  in {1.03, 1.2, 1.5, 2, 3, 5, 8, 17}{%
    \path
    ($({(1-\k)*\R}, 0) + (-{180*\q}: {\k*\R-\h})$) coordinate (A)
    ($({(1-\k)*\R}, 0) + ({180*\q}: {\k*\R-\h})$) coordinate (B)
    ($({(1-\k)*\R}, 0) + ({180/\k}: {\k*\R})$) coordinate (C)
    ($({(1-\k)*\R}, 0) + (-{180/\k}: {\k*\R})$) coordinate (D);    
    \draw[B, fill=B!30, fill opacity=.5]
    (D) -- (A) arc ({-180*\q}: {180*\q}: {\k*\R-\h}) -- 
    (B) -- (C) arc ({180/\k}: {-180/\k}: {\k*\R}) -- cycle;
  }
  \draw[B, fill=B!30, fill opacity=.5] (\r, -{3.142*\r}) -- (\r, {3.142*\r})
  -- (\R, {3.142*\R}) -- (\R, -{3.142*\R}) -- cycle;
\end{tikzpicture}

在第二个构造的代码中，对应于\foreach命令，最后两个将被后面的内容替换。

  \foreach \k in {1.03, 1.2, 1.5, 2, 3, 5, 8, 17}{%
    \path
    ($({(1-\k)*\R}, 0) + (-{180/\k}: {\k*\R-\h})$) coordinate (A)
    ($({(1-\k)*\R}, 0) + ({180/\k}: {\k*\R-\h})$) coordinate (B)
    ($({(1-\k)*\R}, 0) + ({180/\k}: {\k*\R})$) coordinate (C)
    ($({(1-\k)*\R}, 0) + (-{180/\k}: {\k*\R})$) coordinate (D);    
    \draw[B, fill=B!30, fill opacity=.5]
    (D) -- (A) arc ({-180/\k}: {180/\k}: {\k*\R-\h}) -- 
    (B) -- (C) arc ({180/\k}: {-180/\k}: {\k*\R}) -- cycle;
  }
  \draw[B, fill=B!30, fill opacity=.5]
  (\r, -{3.142*\R}) rectangle (\R, {3.142*\R});

评论。由于命令中出现的角度弧是相对于牛轴（TikZ 坐标系），我垂直绘制所有图形，然后旋转图像。

无需进行太多改动，我们就可以获得这两个结构的动画。

例如，这是产生组成第一个动画的图像的代码。

\documentclass[multi=page, margin=10pt]{standalone}
\usepackage[rgb]{xcolor}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{math, calc}
\xdefinecolor{R}{RGB}{238, 34, 34}
\xdefinecolor{B}{RGB}{17, 87, 221}

\begin{document}
\tikzmath{%
  real \r, \R, \h, \q;
  \r = 1.5;
  \R = 2.75;
  \h = \R-\r;
}
\begin{page}
  \begin{tikzpicture}[rotate=-90]
    \path[clip] (-\R-2, -10) rectangle (\R+1, 10);
    \draw[B, fill=B!50, even odd rule]
    (0, 0) circle (\r)
    (0, 0) circle (\R);
  \end{tikzpicture}
\end{page}
  \foreach \k [evaluate=\k as \q using \r/(\k*\R-\h)]
  in {1.03, 1.1, 1.2, 1.32, 1.5, 1.7, 2, 2.4, 3, 3.8, 5.1, 8, 17}{%
  \begin{page}
    \begin{tikzpicture}[rotate=-90]
      \path[clip] (-\R-2, -10) rectangle (\R+1, 10);      
      \path
      ($({(1-\k)*\R}, 0) + (-{180*\q}: {\k*\R-\h})$) coordinate (A)
      ($({(1-\k)*\R}, 0) + ({180*\q}: {\k*\R-\h})$) coordinate (B)
      ($({(1-\k)*\R}, 0) + ({180/\k}: {\k*\R})$) coordinate (C)
      ($({(1-\k)*\R}, 0) + (-{180/\k}: {\k*\R})$) coordinate (D);    
      \draw[B, fill=B!50]
      (D) -- (A) arc ({-180*\q}: {180*\q}: {\k*\R-\h}) -- 
      (B) -- (C) arc ({180/\k}: {-180/\k}: {\k*\R}) -- cycle;
      \draw[R, thick] (A) -- (D)  (B) -- (C);
    \end{tikzpicture}    
  \end{page}
}
\foreach \k in {1, 2, 3, 4}{% the last image lasts longer
  \begin{page}
    \begin{tikzpicture}[rotate=-90]
      \path[clip] (-\R-2, -10) rectangle (\R+1, 10);
      \draw[B, fill=B!50] (\r, -{3.142*\r}) -- (\r, {3.142*\r})
      -- (\R, {3.142*\R}) -- (\R, -{3.142*\R}) -- cycle;
      \draw[R, thick]
      (\r, -{3.142*\r}) -- (\R, -{3.142*\R})
      (\r, {3.142*\r}) -- (\R, {3.142*\R});
    \end{tikzpicture}
  \end{page}
}
\end{document}

Answer

我提出两种结构（答案）：

压平环
压平并拉伸环。

假设环面是分布在内部和外部边界圆之间的一组同心圆。该族中的每个圆在压扁过程中都会变形，最终变成一个线段。在第一种构造中，这些曲线的长度在整个过程中是恒定的。特别是，表示变形环面的平面区域具有恒定的面积。在第二种构造中，这些曲线的长度不断增加，但对应于外部圆的曲线的长度不变。

在给出代码之前，我们先来解释一下。我们考虑一个环面，年代和否外圆上两个直径相对的点 C.我们表示为时间切线C在年代.我们沿着穿过的射线切割环否并希望将其展平，这样，最后，与外圆相对应的曲线成为切线中包含的线段时间和年代它的中点。

我将简要解释一下第一个构造，例如，它出现在 Cavalieri 关于不可分方法的著作中；参见https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_des_indivisibles#:~:text=spirale%20d'Archim%C3%A8de.-,Aire%20du%20disque,varie%20de%200%20%C3%A0%20R它基于以下想法：为了展平外圆，我们将其想象为一根导线，其端点位于否，绕在与时间。如果圆盘半径增加，但圆盘保持与时间，线的演变给出了圆所需的扁平化过程。

建筑是围绕这个限制过程建造的；有一组圆圈C_k 半径增加，描述了外圆的扁平化过程（见上图）。内圆被迫跟随外圆，因为其扁平化过程由与相应内圆同心的圆定义C_k 圈并保持与固定点相切 S'。

为了完成构造，我们计算定义所有这些弧的角度，每个值钾（通过变量\q在下面的代码中）。

第一个构造的代码

\documentclass[margin=10pt]{standalone}
\usepackage[rgb]{xcolor}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{math, calc}
\xdefinecolor{O}{RGB}{255, 102, 17}
\xdefinecolor{R}{RGB}{238, 34, 34}
\xdefinecolor{B}{RGB}{17, 87, 221}

\begin{document}
\tikzmath{%
  real \r, \R, \h, \q;
  \r = 1.5;
  \R = 2.75;
  \h = \R-\r;
}
\begin{tikzpicture}[every node/.style={scale=0.8}, rotate=-90]
  \path[clip] (-\R-2, -10) rectangle (\R+1, 10);
  \path
  (\R, 0) coordinate (S)
  (-\R, 0) coordinate (N);

  \draw[B, fill=B!30, fill opacity=.5, even odd rule]
  (0, 0) circle (\r)
  (0, 0) circle (\R);

  % \foreach \k [evaluate=\k as \q using \r/(\k*\R-\h)]
  % in {1.03, 1.1, 1.2, 1.32, 1.5, 1.7, 2, 2.4, 3, 3.8, 5.1, 8, 17}{%
  \foreach \k [evaluate=\k as \q using \r/(\k*\R-\h)]
  in {1.03, 1.2, 1.5, 2, 3, 5, 8, 17}{%
    \path
    ($({(1-\k)*\R}, 0) + (-{180*\q}: {\k*\R-\h})$) coordinate (A)
    ($({(1-\k)*\R}, 0) + ({180*\q}: {\k*\R-\h})$) coordinate (B)
    ($({(1-\k)*\R}, 0) + ({180/\k}: {\k*\R})$) coordinate (C)
    ($({(1-\k)*\R}, 0) + (-{180/\k}: {\k*\R})$) coordinate (D);    
    \draw[B, fill=B!30, fill opacity=.5]
    (D) -- (A) arc ({-180*\q}: {180*\q}: {\k*\R-\h}) -- 
    (B) -- (C) arc ({180/\k}: {-180/\k}: {\k*\R}) -- cycle;
  }
  \draw[B, fill=B!30, fill opacity=.5] (\r, -{3.142*\r}) -- (\r, {3.142*\r})
  -- (\R, {3.142*\R}) -- (\R, -{3.142*\R}) -- cycle;
\end{tikzpicture}

在第二个构造的代码中，对应于\foreach命令，最后两个将被后面的内容替换。

  \foreach \k in {1.03, 1.2, 1.5, 2, 3, 5, 8, 17}{%
    \path
    ($({(1-\k)*\R}, 0) + (-{180/\k}: {\k*\R-\h})$) coordinate (A)
    ($({(1-\k)*\R}, 0) + ({180/\k}: {\k*\R-\h})$) coordinate (B)
    ($({(1-\k)*\R}, 0) + ({180/\k}: {\k*\R})$) coordinate (C)
    ($({(1-\k)*\R}, 0) + (-{180/\k}: {\k*\R})$) coordinate (D);    
    \draw[B, fill=B!30, fill opacity=.5]
    (D) -- (A) arc ({-180/\k}: {180/\k}: {\k*\R-\h}) -- 
    (B) -- (C) arc ({180/\k}: {-180/\k}: {\k*\R}) -- cycle;
  }
  \draw[B, fill=B!30, fill opacity=.5]
  (\r, -{3.142*\R}) rectangle (\R, {3.142*\R});

评论。由于命令中出现的角度弧是相对于牛轴（TikZ 坐标系），我垂直绘制所有图形，然后旋转图像。

无需进行太多改动，我们就可以获得这两个结构的动画。

例如，这是产生组成第一个动画的图像的代码。

\documentclass[multi=page, margin=10pt]{standalone}
\usepackage[rgb]{xcolor}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{math, calc}
\xdefinecolor{R}{RGB}{238, 34, 34}
\xdefinecolor{B}{RGB}{17, 87, 221}

\begin{document}
\tikzmath{%
  real \r, \R, \h, \q;
  \r = 1.5;
  \R = 2.75;
  \h = \R-\r;
}
\begin{page}
  \begin{tikzpicture}[rotate=-90]
    \path[clip] (-\R-2, -10) rectangle (\R+1, 10);
    \draw[B, fill=B!50, even odd rule]
    (0, 0) circle (\r)
    (0, 0) circle (\R);
  \end{tikzpicture}
\end{page}
  \foreach \k [evaluate=\k as \q using \r/(\k*\R-\h)]
  in {1.03, 1.1, 1.2, 1.32, 1.5, 1.7, 2, 2.4, 3, 3.8, 5.1, 8, 17}{%
  \begin{page}
    \begin{tikzpicture}[rotate=-90]
      \path[clip] (-\R-2, -10) rectangle (\R+1, 10);      
      \path
      ($({(1-\k)*\R}, 0) + (-{180*\q}: {\k*\R-\h})$) coordinate (A)
      ($({(1-\k)*\R}, 0) + ({180*\q}: {\k*\R-\h})$) coordinate (B)
      ($({(1-\k)*\R}, 0) + ({180/\k}: {\k*\R})$) coordinate (C)
      ($({(1-\k)*\R}, 0) + (-{180/\k}: {\k*\R})$) coordinate (D);    
      \draw[B, fill=B!50]
      (D) -- (A) arc ({-180*\q}: {180*\q}: {\k*\R-\h}) -- 
      (B) -- (C) arc ({180/\k}: {-180/\k}: {\k*\R}) -- cycle;
      \draw[R, thick] (A) -- (D)  (B) -- (C);
    \end{tikzpicture}    
  \end{page}
}
\foreach \k in {1, 2, 3, 4}{% the last image lasts longer
  \begin{page}
    \begin{tikzpicture}[rotate=-90]
      \path[clip] (-\R-2, -10) rectangle (\R+1, 10);
      \draw[B, fill=B!50] (\r, -{3.142*\r}) -- (\r, {3.142*\r})
      -- (\R, {3.142*\R}) -- (\R, -{3.142*\R}) -- cycle;
      \draw[R, thick]
      (\r, -{3.142*\r}) -- (\R, -{3.142*\R})
      (\r, {3.142*\r}) -- (\R, {3.142*\R});
    \end{tikzpicture}
  \end{page}
}
\end{document}

Question 2

这只是部分答案，但我觉得将我的代码放在这里比反复编辑我的问题更合适。回顾一下：我最初的问题是（创造一个术语）如何解开环形物？我的目的是画一个“模拟”图，切割顶部的环并弯曲两部分直到它们水平放置（参见我原始问题中的第一个图）。

第 1 部分：切割和弯曲圆弧

首先，这是“展开弧”的代码。结果与我在编辑问题时呈现的结果类似，只是现在我有一种更可靠的方法来计算“固定点”（在示例中，位于中心南位置的点）和“切点”（在示例中，从中心北位置开始并逐渐向左/向右拉动直到其位于等于半径的水平距离处的点）的位置。

我修改了arc命令，使用圆心作为输入，而不是圆周上的点（如命令所预期的那样arc）。这里是我了解了如何做到这一点的地方。我对通常的语法做了一个小改动，因为我希望能够以这种方式调用：(center)(radius)(start angle:end angle)。那是因为我打算用以下方式调用环：(center)(inner radius:outer radius)(start angle:end angle)。我希望能够输入环的中心，而不是圆周上的一个点，因为这对我来说似乎更自然。

然后我介绍了一个扩张因子，即增加圆弧半径以产生展开效果的因子。半径从“固定点”向中心增加。为了保持圆弧长度固定，圆弧命令中使用的“结束角度”必须根据膨胀值进行更改。

\documentclass[margin=3mm]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepackage[EULERGREEK]{sansmath}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{shapes}
\usetikzlibrary{shapes.misc}% "cross out" shape
\usepackage{amssymb}% symbols
\pgfdeclarelayer{bg}
\pgfdeclarelayer{fg}
\pgfsetlayers{bg,main,fg}

% \arcus(center)(radius)(start angle:end angle)
\newcommand\arcus{}
\def\arcus(#1)(#2)(#3:#4){%
  ($(#1)+({#2*cos(#3)},{#2*sin(#3)})$)arc(#3:#4:#2)}

% \cutarcus(center)(radius)(fixpoint:cutpoint)(dilation)
\newcommand\cutarcus{}
\def\cutarcus(#1)(#2)(#3:#4)(#5){%
  ($(#1)+({#2*cos(#3)},{#2*sin(#3)})$)arc(#3:#3+(#4-#3)/#5:#2*#5)}

% mark the cutpoint (depends on dilation factor)
\def\cutpoint[#1,(#2)](#3)(#4)(#5:#6)(#7){%
  \path\cutarcus(#3)(#4)(#5:#6)(#7)node[#1,pos=1,font=\tiny]{#2};}

% mark the fixpoint (independent of dilation factor)
\def\fixpoint[#1,(#2)](#3)(#4)(#5:#6)(#7){%
  \path\cutarcus(#3)(#4)(#5:#6)(#7)node[#1,pos=0,font=\tiny]{#2};}

\tikzset{%
  center/.style={circle, fill, fill=white, draw=black, minimum size=2pt, inner sep=0pt, outer sep=0pt},
  fixpoint/.style={diamond, fill, fill=black, draw=black, minimum size=2pt, inner sep=0pt, outer sep=0pt},
  cutpoint/.style={circle, fill, fill=black, draw=black, minimum size=2pt, inner sep=0pt, outer sep=0pt},}

\begin{document}

\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\tiny,scale=1]

% background layer
\begin{pgfonlayer}{bg}
  % define grid lines
  \draw[help lines, color=gray!30, dashed, line width=0.5pt]% 
    (-3.5,-1.5) grid (3.5,1.5);
\end{pgfonlayer}

% foreground layer
\clip (-1.5,-1.5) rectangle + (3,4.5);

\begin{pgfonlayer}{fg}

\foreach \m in {1,2,4,8,16,32,64}
%\foreach \m in {1,1.1,...,100}
{%
  \draw[red]\cutarcus(0,0)(1)(270:90)(\m);
  \draw[blue]\cutarcus(0,0)(1)(-90:90)(\m);
  % label the cutpoints
  \cutpoint[blue,($\bullet$)](0,0)(1)(-90:90)(\m);
  \cutpoint[red,($\bullet$)](0,0)(1)(270:90)(\m);
}%

% label the center
\node at (0,0) [font=\tiny] {$\circ$};

% label the fixed point
\fixpoint[black,($\mathbin{\blacklozenge}$)](0,0)(1)(-90:90)(1);

% make a legend  
\matrix [draw,below left] at (3,3) {
  \node [center,label=right:center] {}; \\
  \node [fixpoint,label=right:fixed point] {}; \\
  \node [cutpoint,label=right:cut point] {}; \\
};

\end{pgfonlayer}

\end{tikzpicture}

\end{document}

颜色只是表明我将问题分为两部分（这里是左图和右图）的一种方式。如果仔细查看代码，您会发现我的图例是通过创建tikz样式生成的，而图中的标签则依赖于其他代码。那是因为我事后才制作了图例，我无法快速看到如何使图例与使用的符号一致（反之亦然），因此决定继续。

第 2 部分：切割和弯曲环形件 [未完成]

现在开始“切割环”。代码似乎产生了正确的线条，但遗憾的是颜色填充没有正确应用。也许有人可以帮助我解决这个问题。或者提供更好的解决方案。

\documentclass[margin=3mm]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}

% \cutarcus(center)(radius)(fixpoint:cutpoint)(dilation)
\newcommand\cutarcus{}
\def\cutarcus(#1)(#2)(#3:#4)(#5){%
  ($(#1)+({#2*cos(#3)},{#2*sin(#3)})$)arc(#3:#3+(#4-#3)/#5:#2*#5)}

% \cutannulus(center)(inner radius:outer radius)(fixpoint:cutpoint)(dilation)
\newcommand\cutannulus{}
\def\cutannulus[#1](#2)(#3:#4)(#5:#6)(#7){%
  \filldraw[fill opacity=0.5,#1,even odd rule]\cutarcus(#2)(#3)(#5:#6)(#7)\cutarcus(#2)(#4)(#5:#6)(#7)}

\begin{document}

\begin{tikzpicture}

\filldraw[fill=gray!50]\arcus(0,0)(1)(-180:180);
\cutannulus[fill=blue!50](0,0)(1:2)(270:90)(1);
\cutannulus[fill=blue!50](0,0)(1:2)(-90:90)(1);

\begin{scope}[yshift=-5cm,on grid]
\filldraw[fill=gray!50]\arcus(0,0)(1)(-180:180);
\cutannulus[fill=blue!50](0,0)(1:2)(270:90)(1.5);
\cutannulus[fill=blue!50](0,0)(1:2)(-90:90)(1.5);
\end{scope}

\end{tikzpicture}

\end{document}

填充颜色未正确应用：

由于我创建tikz命令的经验有限，它们对空格非常敏感。参数之间不能有空格（当然，必须遵守括号格式）。

Answer