以分数为极限的积分及其显示模式

Question

我想学习如何自动编程我的文档以便很好地显示积分和分数。

我的 MWE：

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\pi}{10}} \frac{x^2+x+1}{e^x +3}$ \vspace{1cm}

$\frac{x^2+x+1}{e^x+\frac{3}{2}}$ \vspace{1cm}

\end{document}

上述 MWE 的结果是：

我想知道的是如何对其进行编程，以便如果您有一个带分数的极限，则使用 \tfrac 作为极限，但如果您有一个单独的分数，则使用 \dfrac。

期望结果：

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

$\displaystyle\int_{\tfrac{1}{2}}^{\tfrac{\pi}{10}} \dfrac{x^2+x+1}{e^x +3}$ \vspace{1cm}

$\dfrac{x^2+x+1}{e^x+\dfrac{3}{2}}$ \vspace{1cm}

\end{document}

如能得到任何指导/建议我将非常感激。