不常见的连续分数表达形式

Question 1

带有array一些视觉格式：

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,array}

\usepackage{lipsum}

\begin{document}

\lipsum[3][1-4]
\[
\setlength{\arraycolsep}{0pt}
\newcommand{\md}[2][1.45]{\mathbin{\raisebox{-#1ex}[0pt][0pt]{$\displaystyle#2$}}}
\md{\frac{n_0}{n_1}=q_1+{}}
\begin{array}[t]{ *{9}{>{\displaystyle{\mathstrut}}c<{{}}} }
1 \\
\cline{1-3}
\md{q_2} & \md{+}   & 1 \\
\cline{3-5}
         &          & \md{q_3} & \md{+} & 1 \\
\cline{5-7}
         &          &          &        & \md{q_4} & \md{+} & \md[3]{\ddots} \\
&&&&&&& \md{+} & 1 \\
\cline{9-9}
&&&&&&&   & q_{k-1} + \cfrac{1}{q_k}
\end{array}
\]
\lipsum[3][1-4]
\[
\setlength{\arraycolsep}{0pt}
\newcommand{\md}[2][1.45]{\mathbin{\raisebox{-#1ex}[0pt][0pt]{$\displaystyle#2$}}}
\md{3{,}14159=3+{}}
\begin{array}[t]{ *{13}{>{\displaystyle{\mathstrut}}c<{{}}} }
1 \\
\cline{1-3}
\md{7} & \md{+} & 1 \\
\cline{3-5}
&& \md{15} & \md{+} & 1 \\
\cline{5-7}
&&&& \md{1} & \md{+} & 1 \\
\cline{7-9}
&&&&&& \md{25} & \md{+} & 1 \\
\cline{9-11}
&&&&&&&& \md{1} & \md{+} & 1 \\
\cline{11-13}
&&&&&&&&&& 7 & + & \cfrac{1}{4}
\end{array}
\]
\lipsum[3][1-4]

\end{document}

Answer

带有array一些视觉格式：

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,array}

\usepackage{lipsum}

\begin{document}

\lipsum[3][1-4]
\[
\setlength{\arraycolsep}{0pt}
\newcommand{\md}[2][1.45]{\mathbin{\raisebox{-#1ex}[0pt][0pt]{$\displaystyle#2$}}}
\md{\frac{n_0}{n_1}=q_1+{}}
\begin{array}[t]{ *{9}{>{\displaystyle{\mathstrut}}c<{{}}} }
1 \\
\cline{1-3}
\md{q_2} & \md{+}   & 1 \\
\cline{3-5}
         &          & \md{q_3} & \md{+} & 1 \\
\cline{5-7}
         &          &          &        & \md{q_4} & \md{+} & \md[3]{\ddots} \\
&&&&&&& \md{+} & 1 \\
\cline{9-9}
&&&&&&&   & q_{k-1} + \cfrac{1}{q_k}
\end{array}
\]
\lipsum[3][1-4]
\[
\setlength{\arraycolsep}{0pt}
\newcommand{\md}[2][1.45]{\mathbin{\raisebox{-#1ex}[0pt][0pt]{$\displaystyle#2$}}}
\md{3{,}14159=3+{}}
\begin{array}[t]{ *{13}{>{\displaystyle{\mathstrut}}c<{{}}} }
1 \\
\cline{1-3}
\md{7} & \md{+} & 1 \\
\cline{3-5}
&& \md{15} & \md{+} & 1 \\
\cline{5-7}
&&&& \md{1} & \md{+} & 1 \\
\cline{7-9}
&&&&&& \md{25} & \md{+} & 1 \\
\cline{9-11}
&&&&&&&& \md{1} & \md{+} & 1 \\
\cline{11-13}
&&&&&&&&&& 7 & + & \cfrac{1}{4}
\end{array}
\]
\lipsum[3][1-4]

\end{document}

Question 2

我确信有更简单的方法，但这似乎可以完成。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\def\mywd{35pt}
\begin{document}
\[
  \frac{n_0}{n_1} = q_1 + \dfrac{\makebox[\mywd][l]{$1$}}
  {\makebox[\mywd][l]{$q_2 + \dfrac{\makebox[\mywd][l]{$1$}}
  {\makebox[\mywd][l]{$q_3 + \dfrac{\makebox[\mywd][l]{$1$}}
  {\makebox[\mywd][l]{$q_4 + 
   \raisebox{-6pt}{$\ddots$}
   \raisebox{-12pt}{+$\dfrac{\makebox[\mywd][l]{$1\kern30pt$}}
  {q_{k-1} + \dfrac{1}
  {q_k}}$}$}}$}}$}}
\]
\end{document}

Answer

我确信有更简单的方法，但这似乎可以完成。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\def\mywd{35pt}
\begin{document}
\[
  \frac{n_0}{n_1} = q_1 + \dfrac{\makebox[\mywd][l]{$1$}}
  {\makebox[\mywd][l]{$q_2 + \dfrac{\makebox[\mywd][l]{$1$}}
  {\makebox[\mywd][l]{$q_3 + \dfrac{\makebox[\mywd][l]{$1$}}
  {\makebox[\mywd][l]{$q_4 + 
   \raisebox{-6pt}{$\ddots$}
   \raisebox{-12pt}{+$\dfrac{\makebox[\mywd][l]{$1\kern30pt$}}
  {q_{k-1} + \dfrac{1}
  {q_k}}$}$}}$}}$}}
\]
\end{document}

Question 3

这个练习最难的部分是掌握正确的间距。

首先，您需要将对齐到1上方q_i。为此，您需要测量每个的宽度q_i并手动放置1。辅助宏很方便：

\def\leftfrac#1#2#3#4{\frac % {#1} {#2#3#4}
  {\setbox0=\hbox{$\displaystyle#2$}
    \hbox to\wd0{\hfil$\displaystyle#1$\hfil}\hfill}
  {\displaystyle#2#3#4}}

\[ \leftfrac 1 {q_i} + 1 \]

下一步是在不扩展规则的情况下继续分数。这是最棘手的部分，因为我们想要保留规则和之间的间距以及1周围的适当二进制间距+，同时保留分数的整体宽度和高度。

我们通过在每个分数后面加上两个跳跃来解决这个问题，这两个跳跃都等于后面部分的宽度q_i，但第一个是负数，第二个是正数。然后，在连分数中，如果我们能以某种方式移出第二个跳跃并将其放在分数后面，我们就应该得到我们需要的一切了。

扩展上面的宏：

\def\leftfrac#1#2#3#4{% #1 \over #2 #3 #4
  % measure partial and full denominator
  \setbox0=\hbox{$\displaystyle#2$}
  \setbox2=\hbox{$\displaystyle#2#3#4$}
  \frac
    % a strut in the numerator ensures proper spacing
    {\hbox to\wd0{\hfil
      $\displaystyle
      \strut #1 $
      \hfil} \hfill}
    % move the last skip of the denominator out of the fraction
    {\displaystyle#2#3#4
      \dimen0=\lastskip \unskip
      \expandafter\egroup
        \expandafter\hskip
          \the\dimen0
      \bgroup}
  % two opposite skips (will cancel unless interfered with)
  \hskip\dimexpr\wd0-\wd2
  \hskip\dimexpr\wd2-\wd0 \relax
}

\[
  \leftfrac 1 {q_1} +
    {\leftfrac 1 {q_2} + 
       {\leftfrac 1 {q_3} + 1}
    } .
\]

我在示例中放置了一个点，以向您展示水平宽度是所有分数的总宽度。请注意，这\strut对于在个位周围获得适当的垂直间距至关重要。

现在，作为最后一步，添加对角点和右下角的分数。我们必须先测量后者；然后我们可以利用我们的新\leftfrac移动将最后一个跳过移出其第四个参数的事实：

\[ \frac {n_0}{n_1} = q_1 +
   \leftfrac 1 {q_2} +
      {\leftfrac 1 {q_3} +
         {\leftfrac 1 {q_4} +
            { % lower the ddots a bit
              \setbox0=\hbox{$\displaystyle\ddots$}
              \lower5pt\box0
              % measure the lower-right fraction
              \setbox0=\hbox{$\displaystyle
                {} + \leftfrac 1 {q_{k-1}} + {\frac {\strut1}{q_k}}$}
              \lower7pt\copy0
              % give two skips for \leftfrac to shift
              \hskip-\wd0
              \hskip+\wd0
            }
         }
      }
\]

这将为您提供您所要求形式的方程式：

Answer