如何设置 \middle 的边界框

Question 1

这很好地说明了为什么盲目地依赖\left、\middle和\right不是一个好主意。只需分别使用\biggl\langle、和的 4 个实例\biggm\vert（并去掉\,间隔符！），\biggr\rangle即使用固定大小。

请注意以下代码中印刷支撑架的使用——\vphantom{\bigg\vert}以确保两个过度支撑位于相同的高度。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\begin{equation}
    n\biggl\langle\frac{1}{n}t \biggm\vert v\biggr\rangle
    =\overbrace{%
       \biggl\langle\frac{1}{n}t \biggm\vert v\biggr\rangle
       +\dots+
       \biggl\langle\frac{1}{n}t \biggm\vert v\biggr\rangle%
       }^n
    =\biggl\langle \, 
     \overbrace{%
       \frac{1}{n}t +\dots+ \frac{1}{n}t%
       \vphantom{\bigg\vert}%  <-- insert a typographic strut
       }^n
       \biggm\vert v\biggr\rangle
    =\langle t\mid v\rangle
\end{equation}
\end{document}

附录：根据您发布的屏幕截图判断，您可能使用的是 Palatino 文本和数学字体，而不是“基本”或默认的 Computer Modern 文本和数学字体。如果是这种情况，则使用会创建不必要的大分隔符。如果您愿意使用代替，\bigg[lmr]我建议您使用或分别调整、和的大小。\Big[lmr]\tfrac{1}{n}\frac{1}{n}\big[lmr]\langle\vert\rangle

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{newpxtext,newpxmath} % optional: Palatino text and math fonts
\begin{document}
\begin{align}
%% Case (a): \frac along with \Bigl, \Bigm, \Bigr
      n\Bigl\langle\frac{1}{n}t \Bigm\vert v \Bigr\rangle
    &={\overbrace{%
       \Bigl\langle\frac{1}{n}t \Bigm\vert v \Bigr\rangle
       +\dots+
       \Bigl\langle\frac{1}{n}t \Bigm\vert v \Bigr\rangle%
       }^n}
    =\Bigl\langle \, 
     \overbrace{%
       \frac{1}{n}t +\dots+ \frac{1}{n}t%
       }^n
       \Bigm\vert v \Bigr\rangle
    =\langle t\mid v \rangle \\
%% Case (b): \tfrac along with \bigl, \bigm, \bigr
      n\bigl\langle\tfrac{1}{n}t \bigm\vert v \bigr\rangle
    &={\overbrace{%
       \bigl\langle\tfrac{1}{n}t \bigm\vert v \bigr\rangle
       +\dots+
       \bigl\langle\tfrac{1}{n}t \bigm\vert v \bigr\rangle%
       }^n}
    =\bigl\langle
     \overbrace{%
       \tfrac{1}{n}t +\dots+ \tfrac{1}{n}t%
       }^n
       \bigm\vert v \bigr\rangle
    =\langle t\mid v \rangle
\end{align}
\end{document}

Answer

这很好地说明了为什么盲目地依赖\left、\middle和\right不是一个好主意。只需分别使用\biggl\langle、和的 4 个实例\biggm\vert（并去掉\,间隔符！），\biggr\rangle即使用固定大小。

请注意以下代码中印刷支撑架的使用——\vphantom{\bigg\vert}以确保两个过度支撑位于相同的高度。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\begin{equation}
    n\biggl\langle\frac{1}{n}t \biggm\vert v\biggr\rangle
    =\overbrace{%
       \biggl\langle\frac{1}{n}t \biggm\vert v\biggr\rangle
       +\dots+
       \biggl\langle\frac{1}{n}t \biggm\vert v\biggr\rangle%
       }^n
    =\biggl\langle \, 
     \overbrace{%
       \frac{1}{n}t +\dots+ \frac{1}{n}t%
       \vphantom{\bigg\vert}%  <-- insert a typographic strut
       }^n
       \biggm\vert v\biggr\rangle
    =\langle t\mid v\rangle
\end{equation}
\end{document}

附录：根据您发布的屏幕截图判断，您可能使用的是 Palatino 文本和数学字体，而不是“基本”或默认的 Computer Modern 文本和数学字体。如果是这种情况，则使用会创建不必要的大分隔符。如果您愿意使用代替，\bigg[lmr]我建议您使用或分别调整、和的大小。\Big[lmr]\tfrac{1}{n}\frac{1}{n}\big[lmr]\langle\vert\rangle

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{newpxtext,newpxmath} % optional: Palatino text and math fonts
\begin{document}
\begin{align}
%% Case (a): \frac along with \Bigl, \Bigm, \Bigr
      n\Bigl\langle\frac{1}{n}t \Bigm\vert v \Bigr\rangle
    &={\overbrace{%
       \Bigl\langle\frac{1}{n}t \Bigm\vert v \Bigr\rangle
       +\dots+
       \Bigl\langle\frac{1}{n}t \Bigm\vert v \Bigr\rangle%
       }^n}
    =\Bigl\langle \, 
     \overbrace{%
       \frac{1}{n}t +\dots+ \frac{1}{n}t%
       }^n
       \Bigm\vert v \Bigr\rangle
    =\langle t\mid v \rangle \\
%% Case (b): \tfrac along with \bigl, \bigm, \bigr
      n\bigl\langle\tfrac{1}{n}t \bigm\vert v \bigr\rangle
    &={\overbrace{%
       \bigl\langle\tfrac{1}{n}t \bigm\vert v \bigr\rangle
       +\dots+
       \bigl\langle\tfrac{1}{n}t \bigm\vert v \bigr\rangle%
       }^n}
    =\bigl\langle
     \overbrace{%
       \tfrac{1}{n}t +\dots+ \tfrac{1}{n}t%
       }^n
       \bigm\vert v \bigr\rangle
    =\langle t\mid v \rangle
\end{align}
\end{document}

Question 2

您的问题有两个独立的方面：

在标准的 Computer Modern 数学字体中，最大的尺寸\langle和\rangle覆盖了显示样式分数；
无论如何，分隔符的大小都应选择能够覆盖整个公式，由于，因此整个公式的大小非常高\overbrace。

例如，如果你加载yhmath提供更多尺寸的\langle，\rangle你得到

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{yhmath}

\begin{document}

\begin{equation}
    n\left\langle\frac{1}{n}t\,\middle|\,v\right\rangle
     =\overbrace{\left\langle\frac{1}{n}t\,\middle|\,v\right\rangle
    +\cdots+\left\langle\frac{1}{n}t\,\middle|\,v\right\rangle}^n
    = \left\langle \overbrace{\frac{1}{n}t+\cdots+\frac{1}{n}t}^n\,\middle|\, v\right\rangle
    =\langle t\mid v\rangle
\end{equation}

\end{document}

现在您是否看到了表达式第一部分中的尖括号是由于最大尺寸造成的？

在这种情况下，我不会使用\left、\middle和\right。但是，如果您确实需要它，则可以在尺寸计算中隐藏过度支撑，前提是您将其考虑在整个方程式中。

这有点像黑客行为，但在某些情况下它不会太严重。

我留下来yhmath展示所选的分隔符不会变得太大。诀窍是使用幻影和粉碎，在一种情况下，\obrace将其变成一个命令，该命令只排版材料，而不会过度支撑。

需要小心使括号和上标处于相同的高度。

总而言之，最好按照以下建议使用手动调整大小的分隔符米科。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{yhmath}

\newcommand{\obrace}[2]{{\overbrace{#1}^{#2}}}
\newcommand{\noobrace}[2]{#1}

\begin{document}

Some text above some text above some text above some text above
some text above some text above some text above some text above
\begin{equation}
\newcommand{\myexpra}{%
  \left\langle\frac{1}{n}t\,\middle|\,v\right\rangle
  +\cdots+\left\langle\frac{1}{n}t\;\middle|\;v\right\rangle
}
\newcommand{\myexprb}{\obrace{\vphantom{\myexpra}\frac{1}{n}t+\cdots+\frac{1}{n}t}{n}}
  n\left\langle\frac{1}{n}t\;\middle|\;v\right\rangle
  =
  \obrace{\myexpra}{n}
  =
  \left\langle\,
    \smash{\myexprb}\vphantom{\let\obrace\noobrace\myexprb}
  \;\middle|\;v
  \right\rangle
  =\langle t\mid v\rangle
\end{equation}
Some text below some text below some text below some text below
some text below some text below some text below some text below

\end{document}

顺便说一下，\,太小了，使用\;。

或者直到最后一刻才避免分数：

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{yhmath}

\newcommand{\obrace}[2]{{\overbrace{#1}^{#2}}}

\begin{document}

If $q$ is any rational number, we have
\begin{equation*}
n\langle qt\mid v\rangle =
\obrace{\langle qt\mid v\rangle}{n} =
\langle\,\obrace{qt+\dots+qt\vphantom{\langle}}{n}\mid v\rangle =
\langle nqt\mid v\rangle
\end{equation*}
and, with $q=1/n$, we obtain
\begin{equation}
n\biggl\langle \frac{1}{n}t\biggm| v\biggr\rangle=\langle t\mid v\rangle
\end{equation}

\end{document}

Answer