通过给定的旋转和平移角度进行坐标和画布变换

Question 1

我相信您想要实现的目标在 TikZ 中无法实现。

首先，你的公式只使用X和是，绝不是角度γ可能表示绕纸轴（垂直于纸X[总是向右] 和纸是[总是向上]）？

键x，y并且z只将 3D 点转换为纸上的 2D 点，并且然后发生PGF转变。

x = (-135, sqrt(2)) = (-1cm, -1cm)
y = ( 0: 1cm)       = ( 1cm,  0cm)
z = (90: 1cm)       = ( 0cm,  1cm)

坐标(-1, 0, 0)和(0, 1, 1)完全相同：

canvas x = 1cm
canvas y = 1cm

或者简单地(1cm, 1cm)在帆布CS。

此时，TikZ、PGF 或任何转换都无法区分这两者。

在下面的代码中，我将您的公式转换为\pgftramsformcmRot宏。无论您为三个角度选择什么值，黑线（(-1, 0, 0)）和红线（(0, 1, 1)）始终相同。

如果你真的想制作精美的 3D 图形，请选择其他能够实现这一点的工具，例如

渐近线，
pst-solids3d，
pgf图（用于绘图）
或任何其他可以生成可包含在 LaTeX 中的（矢量）图像的软件。

代码

\documentclass[tikz]{standalone}
\newcommand*\pgftransformcmRot[4][.70710678118]{% #2 = theta
                                                % #3 = phi
                                                % #4 = gamma
  \pgftransformcm {cos(#2)+#1*sin(#2)*cos(#4)}
                  {#1*sin(#2)*sin(#4)}
                  {-sin(#3)*sin(#2)+#1*sin(#3)*cos(#2)*cos(#4)}
                  {cos(#3)+#1*sin(#3)*cos(#2)*sin(#4)}}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[x={(-1cm,-1cm)}, y=(0:1cm), z=(90:1cm)]
\path[->, ultra thick, blue] (0,0,0) edge (1,0,0) edge (0,1,0) edge (0,0,1);

\draw[thick] (0,0,0) -- (-1,0,0);
\draw[red]   (0,0,0) -- ( 0,1,1);
\end{tikzpicture}

\begin{tikzpicture}
\useasboundingbox (-2,-2) (2,2);
\tikzset{x={(-1cm,-1cm)}, y=(0:1cm), z=(90:1cm)}
\pgftransformcmRot{0}{45}{0}{\pgfpointorigin}\pgflowlevelsynccm
\path[->, ultra thick, blue] (0,0,0) edge (1,0,0) edge (0,1,0) edge (0,0,1);

\draw[thick] (0,0,0) -- (-1,0,0);
\draw[red]   (0,0,0) -- ( 0,1,1);
\end{tikzpicture}
\end{document}

Answer

我相信您想要实现的目标在 TikZ 中无法实现。

首先，你的公式只使用X和是，绝不是角度γ可能表示绕纸轴（垂直于纸X[总是向右] 和纸是[总是向上]）？

键x，y并且z只将 3D 点转换为纸上的 2D 点，并且然后发生PGF转变。

例如，坐标坐标系设置类似

x = (-135, sqrt(2)) = (-1cm, -1cm)
y = ( 0: 1cm)       = ( 1cm,  0cm)
z = (90: 1cm)       = ( 0cm,  1cm)

坐标(-1, 0, 0)和(0, 1, 1)完全相同：

canvas x = 1cm
canvas y = 1cm

或者简单地(1cm, 1cm)在帆布CS。

此时，TikZ、PGF 或任何转换都无法区分这两者。

在下面的代码中，我将您的公式转换为\pgftramsformcmRot宏。无论您为三个角度选择什么值，黑线（(-1, 0, 0)）和红线（(0, 1, 1)）始终相同。

如果你真的想制作精美的 3D 图形，请选择其他能够实现这一点的工具，例如

渐近线，
pst-solids3d，
pgf图（用于绘图）
或任何其他可以生成可包含在 LaTeX 中的（矢量）图像的软件。

代码

\documentclass[tikz]{standalone}
\newcommand*\pgftransformcmRot[4][.70710678118]{% #2 = theta
                                                % #3 = phi
                                                % #4 = gamma
  \pgftransformcm {cos(#2)+#1*sin(#2)*cos(#4)}
                  {#1*sin(#2)*sin(#4)}
                  {-sin(#3)*sin(#2)+#1*sin(#3)*cos(#2)*cos(#4)}
                  {cos(#3)+#1*sin(#3)*cos(#2)*sin(#4)}}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[x={(-1cm,-1cm)}, y=(0:1cm), z=(90:1cm)]
\path[->, ultra thick, blue] (0,0,0) edge (1,0,0) edge (0,1,0) edge (0,0,1);

\draw[thick] (0,0,0) -- (-1,0,0);
\draw[red]   (0,0,0) -- ( 0,1,1);
\end{tikzpicture}

\begin{tikzpicture}
\useasboundingbox (-2,-2) (2,2);
\tikzset{x={(-1cm,-1cm)}, y=(0:1cm), z=(90:1cm)}
\pgftransformcmRot{0}{45}{0}{\pgfpointorigin}\pgflowlevelsynccm
\path[->, ultra thick, blue] (0,0,0) edge (1,0,0) edge (0,1,0) edge (0,0,1);

\draw[thick] (0,0,0) -- (-1,0,0);
\draw[red]   (0,0,0) -- ( 0,1,1);
\end{tikzpicture}
\end{document}

Question 2

重要的是要记住，TikZ/PGF 是作为 2D 绘图系统设计的，而使用 3D 坐标的能力是其上的一个额外层。这意味着其所有方法都是为 2D 技术设置的。

为了理解其含义，值得研究一下 TikZ/PGF 如何处理坐标。

(x,y)或类型的坐标(x,y,z)被解释为x当前 x 向量的乘积，加上yy 向量和zz 向量的乘积。这些向量都是 2D 向量，因此结果也是 2D 向量，无论原始向量是 2D 还是 3D。
将当前坐标变换矩阵应用于此向量。这是一个 2D 矩阵和 2D 向量（表示平移）。

现在，它具有足够的灵活性来实现从 R^3 到 R^2 的任何仿射变换，但您不能使用它的原生变换技术来操纵变换矩阵的 3D 部分。您必须手动指定它。

以下代码实现了 3D 旋转矩阵（由 Tait-Bryan 角指定），其 2D 投影如下：

[1 0 1/sqrt(2)]
[0 1 1/sqrt(2)]

这只是一个例子，表明这是可能的。如果你想更全面地做到这一点，那么你可以实现实际的 3x3 矩阵乘法，以便更容易指定变换。

\documentclass{article}
%\url{https://tex.stackexchange.com/q/653314/86}
\usepackage{tikz}

\makeatletter

\tikzset{
  show cm/.code={
    \pgfgettransform\@cm\show\@cm
  },
  show xyz/.code={
    \edef\@xyz{%
      (\the\pgf@xx,\the\pgf@xy), %
      (\the\pgf@yx,\the\pgf@yy), %
      (\the\pgf@zx,\the\pgf@zy)%
    }%
    \show\@xyz
  },
  xy/.code 2 args={%
    \tikz@scan@one@point\pgfutil@firstofone#1\relax
    \pgf@xa=\pgf@x
    \pgf@ya=\pgf@y
    \tikz@scan@one@point\pgfutil@firstofone#2\relax
    \pgf@yx=\pgf@x
    \pgf@yy=\pgf@y
    \pgf@xx=\pgf@xa
    \pgf@xy=\pgf@ya
  },
  xyz/.code n args={3}{%
    \tikz@scan@one@point\pgfutil@firstofone#1\relax
    \pgf@xa=\pgf@x
    \pgf@ya=\pgf@y
    \tikz@scan@one@point\pgfutil@firstofone#2\relax
    \pgf@xb=\pgf@x
    \pgf@yb=\pgf@y
    \tikz@scan@one@point\pgfutil@firstofone#3\relax
    \pgf@zx=\pgf@x
    \pgf@zy=\pgf@y
    \pgf@yx=\pgf@xb
    \pgf@yy=\pgf@yb
    \pgf@xx=\pgf@xa
    \pgf@xy=\pgf@ya
    \pgf@xa=\pgf@x
    \pgf@ya=\pgf@y
  },
  rotate 3D/.code n args={3}{%
    \tikzset{
      xyz={%
        (
        {cos(#1) * cos(#2) - sin(#2)/sqrt(2)},
        {sin(#1) * cos(#2) - sin(#2)/sqrt(2)},
        )
      }{%
        (
        {cos(#1) * sin(#2) * sin(#3) - sin(#1) * cos(#3) + cos(#2) * sin(#3)/sqrt(2)},
        {sin(#1) * sin(#2) * sin(#3) + cos(#1) * cos(#3) + cos(#2) * sin(#3)/sqrt(2)},
        )
      }{%
        (
        {cos(#1) * sin(#2) * cos(#3) + sin(#1) * sin(#3) + cos(#2) * cos(#3)/sqrt(2)},
        {sin(#1) * sin(#2) * cos(#3) - cos(#1) * sin(#3) + cos(#2) * cos(#3)/sqrt(2)},
        )
      }
    }
  }
}

\makeatother

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[
  rotate 3D={20}{40}{10},
  show xyz,
  show cm,
]

\draw[->] (0,0,0) -- (1,0,0) node[above] {\(x\)};
\draw[->] (0,0,0) -- (0,1,0) node[above] {\(y\)};
\draw[->] (0,0,0) -- (0,0,1) node[above] {\(z\)};


\end{tikzpicture}
\end{document}

它还增加了一些额外功能。键show cm和show xyz是诊断性的，因此您可以在日志文件或控制台中看到当前向量和矩阵。键xy和xyz允许您一次性指定两个或三个向量（TikZ 只提供了一种一次指定一个向量的方法，这是一个问题 - 例如，x={(0,1)}, y={(1,0)} 应该交换x，y但是没有）。

现在，在您的代码中，您还将坐标转换传输到画布。通常，这不是您想要的，因为这也会转换节点文本，所以我没有包含该部分。

Answer