如何制作谢尔宾斯基地毯的迭代

Question 1

这是一个将白色节点放置在适当位置的宏。

\sierpinski[options]{levels}

我想到的选项是scale=，但rotate=同样有效。或者xscale=如果你想要不是正方形的矩形。请务必使用transform shape。

\documentclass{article}

\usepackage{tikz}

\newcommand{\sierpinski}[2][]{\tikz[#1]{
  \draw[fill=black] rectangle(1,1);
    \foreach \n[evaluate=\n as \m using \n-1, evaluate=\n as \s using 1/3^\n, evaluate=\m as \p using 3^\m] in {1,...,#2}{
      \foreach \k[evaluate=\k as \x using (2*\k-1)/2/3^\m] in {1,...,\p}{
        \foreach \j[evaluate=\j as \y using (2*\j-1)/2/3^\m] in {1,...,\p}{
          \node[fill=white, minimum size=\s cm, inner sep=0] at (\x,\y){};
}}}}}

\begin{document}

\tikz{\draw[fill=black] rectangle(1,1);}\quad\sierpinski{1}\quad\sierpinski{2}\quad\sierpinski{3}\quad\sierpinski{4}

\end{document}

这是\sierpinski[scale=3, transform shape]{5}，这几乎就是我的机器可以处理的全部。它是 O(9ⁿ)，所以请做好等待的准备。

Answer

这是一个将白色节点放置在适当位置的宏。

\sierpinski[options]{levels}

我想到的选项是scale=，但rotate=同样有效。或者xscale=如果你想要不是正方形的矩形。请务必使用transform shape。

\documentclass{article}

\usepackage{tikz}

\newcommand{\sierpinski}[2][]{\tikz[#1]{
  \draw[fill=black] rectangle(1,1);
    \foreach \n[evaluate=\n as \m using \n-1, evaluate=\n as \s using 1/3^\n, evaluate=\m as \p using 3^\m] in {1,...,#2}{
      \foreach \k[evaluate=\k as \x using (2*\k-1)/2/3^\m] in {1,...,\p}{
        \foreach \j[evaluate=\j as \y using (2*\j-1)/2/3^\m] in {1,...,\p}{
          \node[fill=white, minimum size=\s cm, inner sep=0] at (\x,\y){};
}}}}}

\begin{document}

\tikz{\draw[fill=black] rectangle(1,1);}\quad\sierpinski{1}\quad\sierpinski{2}\quad\sierpinski{3}\quad\sierpinski{4}

\end{document}

这是\sierpinski[scale=3, transform shape]{5}，这几乎就是我的机器可以处理的全部。它是 O(9ⁿ)，所以请做好等待的准备。

Question 2

拥有最新的https://ctan.org/pkg/pst-fractal并运行 lualatex：

\documentclass[pstricks]{standalone}
\usepackage{pst-fractal} 
\begin{document}    

\begin{pspicture}(18,3)
\multido{\iA=1+1,\iB=0+12}{6}{%
  \psSierCarpet[scale=0.25,n=\iA](\iB,0.2)}
\end{pspicture}

\end{document}

并带有选项basecolor=red,linecolor=blue：

Answer

拥有最新的https://ctan.org/pkg/pst-fractal并运行 lualatex：

\documentclass[pstricks]{standalone}
\usepackage{pst-fractal} 
\begin{document}    

\begin{pspicture}(18,3)
\multido{\iA=1+1,\iB=0+12}{6}{%
  \psSierCarpet[scale=0.25,n=\iA](\iB,0.2)}
\end{pspicture}

\end{document}

并带有选项basecolor=red,linecolor=blue：

Question 3

您已经得到了想要的 tikz 答案，所以我可以随意添加使用 MetaPost/MetaFun 制作的答案。代码可能可以优化，也许可以用 tikz 做类似的事情（但我做不到）。第一个版本绘制一个正方形并循环并取消填充应该是白色的部分。第二个使用递归。

关于时间：

First version: 2.9s
Second version: 1.8s

我已将其包装到 ConTeXt lmtx 中的 MetaPost 页面中。该文件可以用进行编译context。

\starttext
\startMPpage[offset=1dk]
vardef sierpinski(expr w, n) =
image(
fill unitsquare scaled w ;
for i = 1 upto n :
    for j = 1 upto (3^(i-1)) :
        for k = 1 upto (3^(i-1)) :
            unfill unitsquare scaled (w/(3^i)) shifted ( (3*j-2)*w/(3^i), (3*k-2)*w/(3^i) ) ;
        endfor
    endfor
endfor)
enddef ;

for i = 1 upto 3 :
    draw sierpinski(3cm,i)   shifted (4*(i-1)*cm,  0  ) ;
    draw sierpinski(3cm,i+3) shifted (4*(i-1)*cm, -4cm) ;
endfor ;
\stopMPpage

\startMPpage[offset=1dk]
vardef Sierpinski(expr w,n) =
    save tmppic ;
    picture tmppic ;
    if n = 1 :
        image(
        fill unitsquare scaled w ;
        unfill unitsquare scaled (w/3) shifted (w/3,w/3) ;
        )
    else :
        tmppic := Sierpinski(w, n - 1) scaled 1/3 ;
        image(
        for i = 1 upto 3 :
            for j = 1 upto 3 :
                if ((i*j) <> 4) :
                    draw tmppic shifted (((i-1)/3)*w,((j-1)/3)*w) ;
                fi
            endfor
        endfor
        ) 
    fi
enddef ;

for i = 1 upto 3 :
    draw Sierpinski(3cm,i)   shifted (4*(i-1)*cm,  0  ) ;
    draw Sierpinski(3cm,i+3) shifted (4*(i-1)*cm, -4cm) ;
endfor ;
\stopMPpage
\stoptext

据我所知，两种变体的输出看起来相同，因此我只显示其中一种。

Answer