我目前正在 Overleaf 中处理一份文档，但在格式化方程式和数学表达式时遇到了麻烦。具体来说，我想用文字逐一列出解决方案的步骤，但无法对齐方程式并让它们正确显示。
我不断收到几条错误消息，例如“缺少插入的 $”、“命令 \item 在数学模式下无效”、“出现问题 - 可能缺少 \item”和“命令 \end{enumerate} 在数学模式下无效”。
我认为这些错误与我在文档中使用的数学符号和表达式有关。我知道我需要用特殊标记将所有数学表达式和符号括起来才能创建“数学模式”。我尝试过使用$...$内联数学模式，或\[...\]使用数学环境之一（例如方程式）显示数学模式，但我似乎仍然犯了一些错误。
有人能帮我对齐方程式并让它们正确显示吗？任何建议或意见都将不胜感激。提前谢谢您！
其中有一部分是瑞典语，我必须将其翻译成英语（以便于理解）：
\documentclass{article}
\usepackage{graphicx} % Required for inserting images
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{geometry}
\title{Krysstal 2}
\author{D}
\date{April 2023}
\begin{document}
\section*{Uppgift}
3. Calculate the determinant of the matrix below. Note that the number of multiplications and additions needed to calculate the determinant depends on how it is expanded!
$$
\left[\begin{array}{lllll}
1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 7 & 0 & 5 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 6 & 0 & 8 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right] .
$$
\subsection*{Lösning}
To calculate the determinant of a $5 \times 5$ matrix, we use cofactor expansion. First, we choose the row or column with the most zeros, which in this case is the last row, to reduce the problem by one step. Then, we write the determinant as a sum of products of terms. Each term corresponds to an element in the selected row or column and its minor, obtained by deleting the row and column that correspond to the element, multiplied by $(-1)^{i+j}$ where $i$ and $j$ are the row and column indices of the element. Then we expand along the selected row using cofactor expansion, which reduces the problem by one more step. Finally, we use Sarrus's rule to calculate the determinant of a $3 \times 3$ matrix.
\begin{enumerate}
\item We are to calculate the determinant of a $5 \times 5$ matrix. To solve the problem, we will use cofactor expansion, choosing the row or column with the most zeros. In this case, it is the last row that has the most zeros (4). We have a $5 \times 5$ matrix that looks like this:
$$
\left[\begin{array}{lllll}
1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 7 & 0 & 5 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 6 & 0 & 8 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right] .
$$
\item Then we write out the determinant by taking a sum of products. We use the last row as our expansion row, since it has the most zeros. We get:
$$
\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 7 & 0 & 5 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 6 & 0 & 8 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right| = (0)(-1)^{5+1}\left| \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 4 \\
7 & 0 & 5 & 0 \\
2 & 1 & 3 & 0 \\
6 & 0 & 8 & 0
\end{array}\right|
+ (0)(-1)^{5+2}\left| \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 5 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 8 & 0 \\
\end{array}\right| \\
+ (0)(-1)^{5+3}\left| \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 7 & 5 & 0 \\
0 & 2 & 3 & 0 \\
0 & 6 & 8 & 0
\end{array}\right| \\
$$
$$
+ (0)(-1)^{5+4} \left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 0 & 5 \\
0 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 6 & 0 & 8
\end{array}\right|
+ (1)(-1)^{5+5} \left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 0 & 5 \\
0 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 6 & 0 & 8
\end{array}\right| \\
= \left|\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 0 & 5 \\
0 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 6 & 0 & 8
\end{array}\right| $$\\
\text{Utvecklar längs rad 1:}\\$$
$$
$$
\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 0 & 5 \\
0 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 6 & 0 & 8
\end{array}\right|=(1)(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ccc}
7 & 0 & 5 \\
2 & 1 & 3 \\
6 & 0 & 8
\end{array}\right| + (0)(-1)^{1+2} \left|\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 5 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 8
\end{array}\right|+(0)(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{ccc}
0 & 7 & 5 \\
0 & 2 & 3 \\
0 & 6 & 0
\end{array}\right| \\ $$+ (0)(-1)^{1+4} \left|\begin{array}{lll}
0 & 7 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 6 & 0
\end{array}\right| = \left|\begin{array}{lll}
0 & 7 & 5 \\
0 & 2 & 3 \\
0 & 6 & 8\end{array}\right|
$$
\\
$$
\item \text{Using Sarrus' rule to calculate the determinant:} \\
$$\begin{vmatrix}7&0&5\\ 2&1&3\\ 6&0&8\end{vmatrix} \begin{matrix}7&0\\ 2&1\\ 6&0\end{matrix} =\left( 7\cdot 1\cdot 8\right) -\left( 6\cdot 1\cdot 5\right) =26$$
\end{enumerate}
\end{document}
并带有\[…\]分隔符（我没有注意到任何重大变化。注意，这是瑞典语）：
\documentclass{article}
\usepackage{graphicx} % Required for inserting images
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{geometry}
\title{Krysstal 2}
\author{D}
\date{April 2023}
\begin{document}
\section*{Uppgift}
3. Beräkna determinanten till matrisen nedan. Notera att antalet multiplikationer och additioner man behöver göra beror på hur man utvecklar determinanten!
\[
\left[\begin{array}{lllll}
1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 7 & 0 & 5 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 6 & 0 & 8 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right] .
\]
\subsection*{Lösning}
För att beräkna determinanten för en $5 \times 5$ matris används kofaktorutveckling. Först väljs raden eller kolumnen som har flest nollor, i detta fall den sista raden, för att reducera problemet ett steg. Sedan skrivs determinanten som en summa av produkter av termer. Varje term svarar mot ett element i den valda raden eller kolumnen och dess minor, som fås genom att stryka bort raden och kolumnen som korresponderar med elementet, multiplicerat med $(-1)^{i+j}$ där $i$ och $j$ är rad- respektive kolumnindex för elementet. Därefter utvecklar vi längs raden med hjälp av kofaktorutveckling, vilket reducerar problemet ytterligare ett steg. Slutligen används Sarrus regel för att beräkna determinanten av en $3 \times 3$ matris.
\begin{enumerate}
\item Vi ska beräkna determinanten för en $5 \times 5$ matris. För att lösa problemet kommer vi använda cofaktor expansion, där vi väljer den rad eller kolumn som har flest nollor. I detta fall är det sista raden som har flest nollor (4). Vi har en $5 \times 5$ matris som ser ut som följer:
\[
\left[\begin{array}{lllll}
1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 7 & 0 & 5 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 6 & 0 & 8 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right] .
\]
\item Sedan skriver vi ut determinanten genom att göra en summa av produkter. Vi använder den sista raden som vår utvecklingsrad, eftersom den har flest nollor. Vi får:
\[
\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 7 & 0 & 5 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 6 & 0 & 8 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right| = (0)(-1)^{5+1}\left| \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 4 \\
7 & 0 & 5 & 0 \\
2 & 1 & 3 & 0 \\
6 & 0 & 8 & 0
\end{array}\right|
+ (0)(-1)^{5+2}\left| \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 5 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 8 & 0 \\
\end{array}\right| \\
+ (0)(-1)^{5+3}\left| \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 7 & 5 & 0 \\
0 & 2 & 3 & 0 \\
0 & 6 & 8 & 0
\end{array}\right| \\
\]
\[
+ (0)(-1)^{5+4} \left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 0 & 5 \\
0 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 6 & 0 & 8
\end{array}\right|
+ (1)(-1)^{5+5} \left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 0 & 5 \\
0 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 6 & 0 & 8
\end{array}\right| \\
= \left|\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 0 & 5 \\
0 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 6 & 0 & 8
\end{array}\right| \]\\
\text{Utvecklar längs rad 1:}\\
\[
\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 0 & 5 \\
0 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 6 & 0 & 8
\end{array}\right|=(1)(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ccc}
7 & 0 & 5 \\
2 & 1 & 3 \\
6 & 0 & 8
\end{array}\right| + (0)(-1)^{1+2} \left|\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 5 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 8
\end{array}\right|+(0)(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{ccc}
0 & 7 & 5 \\
0 & 2 & 3 \\
0 & 6 & 0
\end{array}\right| \\ \]+ (0)(-1)^{1+4} \left|\begin{array}{lll}
0 & 7 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 6 & 0
\end{array}\right| = \left|\begin{array}{lll}
0 & 7 & 5 \\
0 & 2 & 3 \\
0 & 6 & 8\end{array}\right|
\[
\\
\]
\item \text{Använder Sarrus regel för att räkna ut determinanten:} \\
\[\begin{vmatrix}7&0&5\\ 2&1&3\\ 6&0&8\end{vmatrix} \begin{matrix}7&0\\ 2&1\\ 6&0\end{matrix} =\left( 7\cdot 1\cdot 8\right) -\left( 6\cdot 1\cdot 5\right) =26\]
\end{enumerate}
\end{document}
答案1
您的代码包含许多错误和遗漏。在我看来，最严重的问题是未能使用该amsmath包的任何多行数学环境（align*尤其是环境）来排版用于开发行列式的两个三行表达式。
我的主要建议是逐行比较您的原始代码和下面显示的代码。研究该软件包用户指南的第 3 节“显示的方程式”，amsmath特别是研究第 3.6 小节“相互对齐的方程式组”中align和align*环境的语法可能是个好主意。如果您对下面显示的部分代码的作用有疑问，请告诉我。
\documentclass{article}
\usepackage{graphicx} % Required for inserting images
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[a4paper,margin=2.5cm]{geometry} % set page parameters as needed
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[swedish]{babel}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}
\section*{Uppgift}
3. Beräkna determinanten till matrisen nedan. Notera att antalet multiplikationer och additioner man behöver göra beror på hur man utvecklar determinanten!
\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 7 & 0 & 5 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 6 & 0 & 8 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
\subsection*{Lösning}
För att beräkna determinanten för en $5 \times 5$ matris används kofaktorutveckling. Först väljs raden eller kolumnen som har flest nollor, i detta fall den sista raden, för att reducera problemet ett steg. Sedan skrivs determinanten som en summa av produkter av termer. Varje term svarar mot ett element i den valda raden eller kolumnen och dess minor, som fås genom att stryka bort raden och kolumnen som korresponderar med elementet, multiplicerat med $(-1)^{i+j}$ där $i$ och $j$ är rad- respektive kolumnindex för elementet. Därefter utvecklar vi längs raden med hjälp av kofaktorutveckling, vilket reducerar problemet ytterligare ett steg. Slutligen används Sarrus regel för att beräkna determinanten av en $3 \times 3$ matris.
\begin{enumerate}[left=0pt]
\item Vi ska beräkna determinanten för en $5 \times 5$ matris. För att lösa problemet kommer vi använda cofaktor expansion, där vi väljer den rad eller kolumn som har flest nollor. I detta fall är det sista raden som har flest nollor~(4). Vi har en $5 \times 5$ matris som ser ut som följer:
\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 7 & 0 & 5 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 6 & 0 & 8 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
\item Sedan skriver vi ut determinanten genom att göra en summa av produkter. Vi använder den sista raden som vår utvecklingsrad, eftersom den har flest nollor. Vi får:
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 7 & 0 & 5 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 6 & 0 & 8 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
&=
(0)(-1)^{5+1}
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 & 4 \\
7 & 0 & 5 & 0 \\
2 & 1 & 3 & 0 \\
6 & 0 & 8 & 0
\end{vmatrix}
+ (0)(-1)^{5+2}
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 5 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 8 & 0 \\
\end{vmatrix}
+ (0)(-1)^{5+3}
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 7 & 5 & 0 \\
0 & 2 & 3 & 0 \\
0 & 6 & 8 & 0
\end{vmatrix} \\ % <-- line break
&\quad
+ (0)(-1)^{5+4}
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 0 & 5 \\
0 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 6 & 0 & 8
\end{vmatrix}
+ (1)(-1)^{5+5}
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 0 & 5 \\
0 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 6 & 0 & 8
\end{vmatrix} \\ % <-- line break
&=
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 0 & 5 \\
0 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 6 & 0 & 8
\end{vmatrix}
\end{align*}
Utvecklar längs rad 1:
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 0 & 5 \\
0 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 6 & 0 & 8
\end{vmatrix}
&=
(1)(-1)^{1+1}
\begin{vmatrix}
7 & 0 & 5 \\
2 & 1 & 3 \\
6 & 0 & 8
\end{vmatrix}
+ (0)(-1)^{1+2}
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 5 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 8
\end{vmatrix} \\ % <-- line break
&\quad
+(0)(-1)^{1+3}
\begin{vmatrix}
0 & 7 & 5 \\
0 & 2 & 3 \\
0 & 6 & 0
\end{vmatrix}
+(0)(-1)^{1+4}
\begin{vmatrix}
0 & 7 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 6 & 0
\end{vmatrix} \\ % <-- line break
&=
\begin{vmatrix}
7 & 0 & 5 \\
2 & 1 & 3 \\
6 & 0 & 8
\end{vmatrix}
\end{align*}
\item Använder Sarrus regel för att räkna ut determinanten:
\[
\begin{vmatrix}
7&0&5 \\ 2&1&3 \\ 6&0&8
\end{vmatrix}
\begin{matrix}
7&0 \\ 2&1 \\ 6&0
\end{matrix}
= ( 7\cdot 1\cdot 8) - ( 6\cdot 1\cdot 5) = 26\,.
\]
\end{enumerate}
\end{document}