为什么尽管 {} 对是平衡的，但最后还是会出现缺少 } 的错误？

Question

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{vietnam}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts} 
\begin{document}
\begin{align*}
     $||x + y||^{2} &=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}|x_{j}+y_{j}|^{2} \\
     &\leq\displaystyle\sum_{j=1}^{n}|x_{j}|^{2}+2 \displaystyle\sum_{j=1}^{n}|x_{j}||y_{j}| +\displaystyle\sum_{j=1}^{n} |y_{j}|^{2} \\
     &\leq \displaystyle\sum_{j=1}^{n}|x_{j}|^{2} + 2 \bigg(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}|x_{j}|^{2}\bigg) ^{\dfrac{1}{2}}\bigg(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}|y_{j} |^{2}\bigg)^{\dfrac{1}{2}}+\displaystyle \sum_{j=1}^{n}|y_{j} |^{2}\\
    &= \bigg[\bigg(\displaystyle\sum_{j=1}^{n} |x_{j}|^{2}\bigg)^{\dfrac{1}{2}}+\bigg(\displaystyle \sum_{j=1}^{n} |y_{j}|^{2}\bigg)^{\dfrac{1}{2}}\bigg]^{2}. \\$
\end{align*}
\end{document}

Answer 1

除了删除环境$开头和结尾处的符号align*并删除多余的\displaystyle指令之外，您还应该用 替换所有 实例，^{\dfrac{1}{2}}从而^{1/2}节省大量垂直空白。我认为添加一行也是一个好主意，如下所示。另外，请考虑加载包mathtools（包的超集amsmath）并使用其\DeclarePairedDelimiter宏来定义\abs和\norm，以使代码更易读且更易于调试。最后，不要只写\bigg(和\bigg)，而要写\biggl(和\biggr)，以改善高分隔符周围的间距。

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[T5]{fontenc}
\usepackage[vietnamese]{babel}
\usepackage{amssymb} % amssymb loads amsfonts automatically
\usepackage{mathtools} % for '\DeclarePairedDelimiter' macro
\DeclarePairedDelimiter\abs\lvert\rvert
\DeclarePairedDelimiter\norm\lVert\rVert
\newcommand\sumj{\sum_{j=1}^n} % handy shortcut macro
 
\begin{document}

\begin{align*}
\norm{x + y}^2 
&=        \sumj\abs{x_j + y_j}^2 \\
&\le      \sumj\abs{x_j}^2
        +2\sumj\abs{x_j}\abs{y_j} 
         +\sumj\abs{y_j}^2 \\
&\le      \sumj\abs{x_j}^2 + 
  2\biggl(\sumj\abs{x_j}^2\!\biggr)^{\!\!1/2}
   \biggl(\sumj\abs{y_j}^2\!\biggr)^{\!\!1/2}
         +\sumj\abs{y_j}^2 \\
&= \biggl[
   \biggl(\sumj\abs{x_j}^2\!\biggr)^{\!\!1/2}
  +\biggl(\sumj\abs{y_j}^2\!\biggr)^{\!\!1/2}
 \,\biggr]^2 \\
&=  \bigl( \norm{x} + \norm{y} \bigr)^{\!2}.
\end{align*}

\end{document}

Answer 2

这里发生的事情不太清楚。请考虑使用语法高亮并正确输入代码。

无论如何，希望我能理解你的意思，其中有几个错误。

• $为什么在 align 环境中使用？
• 为什么使用双竖线来表示规范而不是\lVert和\rVert？
• 没有理由使用\displaystyle

固定代码如下

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{vietnam}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts} 

\begin{document}
\begin{align*}
    \lVert x + y \rVert^2 &= \sum_{j=1}^{n} \lvert x_{j} + y_{j} \rvert^2 \\
    &\leq \sum_{j=1}^{n} \lvert x_{j} \rvert^2 + 2 \sum_{j=1}^{n} \lvert x_{j} \rvert \lvert y_{j} \rvert + \sum_{j=1}^{n} \lvert y_{j} \rvert^2 \\
    &\leq \sum_{j=1}^{n} \lvert x_{j} \rvert^2 + 2 \left( \sum_{j=1}^{n} \lvert x_{j} \rvert^2 \right)^{\frac{1}{2}} \left( \sum_{j=1}^{n} \lvert y_{j} \rvert^2 \right)^{\frac{1}{2}} + \sum_{j=1}^{n} \lvert y_{j} \rvert^2 \\
    &= \left[ \left( \sum_{j=1}^{n} \lvert x_{j} \rvert^2 \right)^{\frac{1}{2}} + \left( \sum_{j=1}^{n} \lvert y_{j} \rvert^2 \right)^{\frac{1}{2}} \right]^2.
\end{align*}
\end{document}

以下是在 OverLeaf 上编译的结果